طرق تحليل السلاسل الزمنية. السلاسل الزمنية الأساليب الإحصائية لتحليل السلاسل الزمنية

تحليل السلاسل الزمنية

مقدمة

الفصل 1. تحليل السلاسل الزمنية

1.1 السلاسل الزمنية وعناصرها الأساسية

1.2 الارتباط التلقائي لمستويات السلاسل الزمنية وتحديد بنيتها

1.3 نمذجة اتجاه السلاسل الزمنية

1.4 طريقة المربعات الصغرى

1.5 تخفيض معادلة الاتجاه إلى شكل خطي

1.6 تقدير معلمات معادلة الانحدار

1.7 نماذج السلاسل الزمنية الإضافية والمتعددة

1.8 السلاسل الزمنية الثابتة

1.9 تطبيق تحويل فورييه السريع على سلسلة زمنية ثابتة

1.10 الارتباط التلقائي للمخلفات. معيار دوربين واتسون

مقدمة

في كل مجال تقريبا هناك ظواهر مثيرة للاهتمام ومهمة للدراسة في تطورها وتغيرها مع مرور الوقت. في الحياة اليومية، على سبيل المثال، قد تكون ظروف الأرصاد الجوية وأسعار منتج معين وخصائص معينة للحالة الصحية للفرد وما إلى ذلك محل اهتمام مع مرور الوقت. بمرور الوقت، يتغير النشاط التجاري، وطريقة عملية إنتاج معينة، وعمق نوم الشخص، وتصور البرنامج التلفزيوني. يمثل مجمل القياسات لأي خاصية من هذا النوع خلال فترة زمنية معينة السلاسل الزمنية.

تسمى مجموعة الأساليب الحالية لتحليل هذه السلسلة من الملاحظات تحليل السلاسل الزمنية.

السمة الرئيسية التي تميز تحليل السلاسل الزمنية عن الأنواع الأخرى من التحليل الإحصائي هي أهمية الترتيب الذي يتم به إجراء الملاحظات. إذا كانت الملاحظات مستقلة إحصائيًا في العديد من المشكلات، فعادةً ما تكون تابعة في السلاسل الزمنية، ويمكن تحديد طبيعة هذا الاعتماد من خلال موضع الملاحظات في التسلسل. يمكن لطبيعة السلسلة وبنية العملية التي تولد السلسلة أن تحدد مسبقًا الترتيب الذي يتم به تشكيل التسلسل.

هدفيتكون العمل من الحصول على نموذج لسلسلة زمنية منفصلة في المجال الزمني، والذي يتمتع بأقصى قدر من البساطة وأقل عدد من المعلمات وفي نفس الوقت يصف الملاحظات بشكل مناسب.

الحصول على مثل هذا النموذج مهم للأسباب التالية:

1) يمكن أن يساعد في فهم طبيعة النظام الذي يولد السلاسل الزمنية؛

2) التحكم في العملية التي تولد السلسلة؛

3) يمكن استخدامه للتنبؤ الأمثل بالقيم المستقبلية للسلاسل الزمنية؛

من الأفضل وصف السلاسل الزمنية نماذج غير ثابتةحيث تعتبر الاتجاهات وغيرها من الخصائص الزائفة المستقرة، والتي ربما تتغير مع مرور الوقت، ظواهر إحصائية وليست حتمية. بالإضافة إلى ذلك، غالبًا ما تكون السلاسل الزمنية المرتبطة بالاقتصاد ملحوظة موسميأو المكونات الدورية؛ قد تختلف هذه المكونات بمرور الوقت ويجب وصفها بنماذج إحصائية دورية (ربما غير ثابتة).

دع السلسلة الزمنية المرصودة تكون y 1 , y 2 , . . ., ذ ن . وسوف نفهم هذا الإدخال على النحو التالي. هناك أرقام T تمثل ملاحظة بعض المتغيرات في لحظات T متساوية البعد من الزمن. للراحة، يتم ترقيم هذه اللحظات بالأعداد الصحيحة 1، 2، . . .,ت. النموذج الرياضي العام (الإحصائي أو الاحتمالي) هو نموذج من الشكل:

y t = f(t) + u t , t = 1, 2, . . .، ت.

في هذا النموذج، تعتبر المتسلسلة المرصودة بمثابة مجموع بعض التسلسلات الحتمية تمامًا (f(t))، والتي يمكن تسميتها مكونًا رياضيًا، ومتوالية عشوائية (u t)، والتي تخضع لبعض القوانين الاحتمالية. (وفي بعض الأحيان يتم استخدام مصطلحي الإشارة والضوضاء لهذين المكونين، على التوالي). هذه المكونات من السلسلة المرصودة غير قابلة للملاحظة؛ فهي كميات نظرية. ولا يعتمد المعنى الدقيق لهذا التحليل على البيانات نفسها فحسب، بل يعتمد جزئيًا على المقصود بتكرار التجربة التي تنتج عنها هذه البيانات. يتم استخدام ما يسمى بتفسير "التردد" هنا. ويعتقد أنه، على الأقل من حيث المبدأ، من الممكن تكرار الوضع برمته، والحصول على مجموعات جديدة من الملاحظات. قد تتضمن المكونات العشوائية، من بين أمور أخرى، أخطاء في الملاحظة.

تتناول هذه الورقة نموذج السلاسل الزمنية الذي يتم فيه فرض مكون عشوائي على الاتجاه، مما يشكل عملية ثابتة عشوائية. في مثل هذا النموذج يفترض أن مرور الوقت لا يؤثر على المكون العشوائي بأي شكل من الأشكال. بتعبير أدق، من المفترض أن التوقع الرياضي (أي القيمة المتوسطة) للمكون العشوائي يساوي الصفر، والتباين يساوي بعض الثوابت، وأن قيم u t في أوقات مختلفة غير مترابطة. وبالتالي، يتم تضمين أي اعتماد على الوقت في المكون المنهجي f(t). قد يعتمد التسلسل f(t) على بعض المعاملات غير المعروفة وعلى الكميات المعروفة التي تتغير بمرور الوقت. في هذه الحالة، يطلق عليه "وظيفة الانحدار". أثبتت طرق الاستدلال الإحصائي لمعاملات دالة الانحدار فائدتها في العديد من مجالات الإحصاء. إن تفرد الأساليب المتعلقة بالسلاسل الزمنية على وجه التحديد هو أنها تدرس تلك النماذج التي تكون فيها الكميات المذكورة أعلاه والتي تتغير بمرور الوقت هي وظائف معروفة لـ t.

الفصل 1. تحليل السلاسل الزمنية

1.1 السلاسل الزمنية وعناصرها الرئيسية

السلسلة الزمنية هي مجموعة من قيم أي مؤشر لعدة لحظات أو فترات زمنية متتالية. يتشكل كل مستوى من مستويات السلسلة الزمنية تحت تأثير عدد كبير من العوامل، والتي يمكن تقسيمها إلى ثلاث مجموعات:

· العوامل التي تشكل اتجاه السلسلة.

· العوامل التي تشكل التقلبات الدورية في السلسلة.

· العوامل العشوائية.

ومع اختلاف مجموعات هذه العوامل في العملية أو الظاهرة قيد الدراسة، فإن اعتماد مستويات السلسلة على الزمن يمكن أن يتخذ أشكالاً مختلفة. أولاًمعظم السلاسل الزمنية للمؤشرات الاقتصادية لها اتجاه يميز التأثير التراكمي طويل المدى للعديد من العوامل على ديناميكيات المؤشر قيد الدراسة. ومن الواضح أن هذه العوامل، إذا أُخذت بشكل منفصل، يمكن أن يكون لها تأثير متعدد الاتجاهات على المؤشر قيد الدراسة. ومع ذلك، فإنها تشكل معًا اتجاهًا تصاعديًا أو متناقصًا.

ثانيًا،قد يتعرض المؤشر قيد الدراسة لتقلبات دورية. وقد تكون هذه التقلبات موسمية، إذ تعتمد أنشطة عدد من القطاعات الاقتصادية والزراعية على الوقت من العام. إذا توفرت كميات كبيرة من البيانات على مدى فترات طويلة من الزمن، فمن الممكن تحديد التقلبات الدورية المرتبطة بالديناميكيات الشاملة للسلسلة الزمنية.

بعض السلاسل الزمنية لا تحتوي على اتجاه أو مكون دوري، ويتم تشكيل كل مستوى لاحق كمجموع المستوى المتوسط ​​للسلسلة وبعض المكونات العشوائية (إيجابية أو سلبية).

في معظم الحالات، يمكن تمثيل المستوى الفعلي للسلسلة الزمنية كمجموع أو منتج للاتجاه والمكونات الدورية والعشوائية. يسمى النموذج الذي يتم فيه عرض سلسلة زمنية كمجموع المكونات المدرجة نموذج المضافةالسلاسل الزمنية. يسمى النموذج الذي يتم فيه عرض سلسلة زمنية كمنتج للمكونات المدرجة نموذج مضاعفالسلاسل الزمنية. تتمثل المهمة الرئيسية للدراسة الإحصائية لسلسلة زمنية فردية في تحديد وقياس كل عنصر من المكونات المذكورة أعلاه من أجل استخدام المعلومات التي تم الحصول عليها للتنبؤ بالقيم المستقبلية للسلسلة.

1.2 الارتباط الذاتي لمستويات السلاسل الزمنية وتحديد بنيتها

إذا كان هناك اتجاه وتقلبات دورية في سلسلة زمنية، فإن قيم كل مستوى لاحق من السلسلة تعتمد على المستويات السابقة. يسمى الاعتماد الارتباطي بين المستويات المتعاقبة لسلسلة زمنية الارتباط الذاتي لمستويات السلسلة.

ويمكن قياسها كميا باستخدام معامل الارتباط الخطي بين مستويات السلسلة الزمنية الأصلية ومستويات هذه السلسلة، منزاحة بعدة خطوات زمنية.

إحدى صيغ العمل لحساب معامل الارتباط الذاتي هي:

كمتغير x، سننظر إلى المتسلسلة y 2, y 3, ..., y n; كمتغير y – السلسلة y 1, y 2, . . . ,ص ن – 1 . ثم الصيغة أعلاه سوف تأخذ الشكل:

وبالمثل، يمكن تحديد معاملات الارتباط الذاتي للأوامر الثانية والعليا. وبالتالي، فإن معامل الارتباط الذاتي من الدرجة الثانية يميز مدى قرب الاتصال بين المستويين y t و y t – 1 ويتم تحديده بواسطة الصيغة

يتم استدعاء عدد الفترات التي يتم حساب معامل الارتباط الذاتي لها lagom. مع زيادة التأخر، يتناقص عدد أزواج القيم التي يتم حساب معامل الارتباط الذاتي منها. يرى بعض المؤلفين أنه من المستحسن استخدام القاعدة لضمان الموثوقية الإحصائية لمعاملات الارتباط الذاتي - يجب ألا يزيد الحد الأقصى للتأخر عن (n/4).

تصف الملاحظات الثلاث السابقة نماذج الانحدار التي تسمح لك بالتنبؤ بالاستجابة بناءً على قيم المتغيرات التوضيحية. وفي هذه المذكرة، نعرض كيفية استخدام هذه النماذج والأساليب الإحصائية الأخرى لتحليل البيانات التي تم جمعها على مدى فترات زمنية متتالية. وفقا لخصائص كل شركة مذكورة في السيناريو، سننظر في ثلاثة أساليب بديلة لتحليل السلاسل الزمنية.

سيتم توضيح المادة بمثال شامل: توقع دخل ثلاث شركات. تخيل أنك تعمل كمحلل في شركة مالية كبيرة. لتقييم آفاق الاستثمار لعملائك، تحتاج إلى التنبؤ بأرباح ثلاث شركات. للقيام بذلك، قمت بجمع بيانات حول الشركات الثلاث التي تهتم بها - إيستمان كوداك، شركة كابوت وول مارت. وبما أن الشركات تختلف في نوع النشاط التجاري، فإن كل سلسلة زمنية لها خصائصها الفريدة. ولذلك، يجب استخدام نماذج مختلفة للتنبؤ. كيف يتم اختيار أفضل نموذج تنبؤي لكل شركة؟ كيفية تقييم آفاق الاستثمار على أساس نتائج التنبؤ؟

تبدأ المناقشة بتحليل البيانات السنوية. تم توضيح طريقتين لتسوية هذه البيانات: المتوسط ​​المتحرك والتجانس الأسي. ثم يوضح كيفية حساب الاتجاه باستخدام المربعات الصغرى وطرق التنبؤ الأكثر تقدمًا. وأخيرا، تمتد هذه النماذج إلى السلاسل الزمنية التي تم إنشاؤها من البيانات الشهرية أو ربع السنوية.

قم بتنزيل المذكرة بالتنسيق أو بالأمثلة بالتنسيق

التنبؤ في الأعمال التجارية

مع تغير الظروف الاقتصادية بمرور الوقت، يجب على المديرين توقع التأثير الذي ستحدثه هذه التغييرات على شركاتهم. التنبؤ هو إحدى الطرق لضمان التخطيط الدقيق. على الرغم من العدد الكبير من الأساليب المطورة، إلا أنها تسعى جميعها إلى نفس الهدف - للتنبؤ بالأحداث التي ستحدث في المستقبل لأخذها في الاعتبار عند وضع الخطط واستراتيجيات التطوير للشركة.

يواجه المجتمع الحديث باستمرار الحاجة إلى التنبؤ. على سبيل المثال، يتعين على أعضاء الحكومة، من أجل وضع سياسات جيدة، أن يتنبأوا بمستويات البطالة، والتضخم، والإنتاج الصناعي، وضرائب الدخل على الأفراد والشركات. لتحديد متطلبات المعدات والموظفين، يجب على المسؤولين التنفيذيين في شركات الطيران التنبؤ بدقة بحجم الحركة الجوية. من أجل توفير مساحة كافية للسكن، يرغب مديرو الكلية أو الجامعة في معرفة عدد الطلاب الذين سيسجلون في مؤسستهم في العام المقبل.

هناك طريقتان مقبولتان بشكل عام للتنبؤ: النوعي والكمي. تعتبر أساليب التنبؤ النوعي ذات أهمية خاصة عندما لا تكون البيانات الكمية متاحة للباحث. وكقاعدة عامة، هذه الأساليب ذاتية للغاية. إذا كانت البيانات المتعلقة بتاريخ موضوع الدراسة متاحة للإحصائي، فيجب استخدام أساليب التنبؤ الكمي. تسمح لك هذه الطرق بالتنبؤ بحالة الكائن في المستقبل بناءً على البيانات المتعلقة بماضيه. تنقسم طرق التنبؤ الكمي إلى فئتين: تحليل السلاسل الزمنية وطرق تحليل السبب والنتيجة.

السلاسل الزمنيةهي مجموعة من البيانات الرقمية التي تم الحصول عليها على مدى فترات زمنية متتالية. تتنبأ طريقة تحليل السلاسل الزمنية بقيمة المتغير العددي بناءً على قيمه الماضية والحالية. على سبيل المثال، تشكل أسعار الأسهم اليومية في بورصة نيويورك سلسلة زمنية. ومن الأمثلة الأخرى على السلاسل الزمنية القيم الشهرية لمؤشر أسعار المستهلك، والقيم الربع سنوية للناتج المحلي الإجمالي، وإيرادات المبيعات السنوية للشركة.

طرق تحليل العلاقات بين السبب والنتيجةتسمح لك بتحديد العوامل التي تؤثر على قيم المتغير المتوقع. وتشمل هذه أساليب تحليل الانحدار المتعدد مع المتغيرات المتأخرة، ونمذجة الاقتصاد القياسي، وتحليل المؤشرات الرائدة، وطرق تحليل مؤشرات الانتشار والمؤشرات الاقتصادية الأخرى. سنتحدث فقط عن طرق التنبؤ بناءً على تحليل الوقت. سصفوف ×.

مكونات النموذج الزمني الضربي الكلاسيكي سصفوف ×

الافتراض الرئيسي الذي يقوم عليه تحليل السلاسل الزمنية هو ما يلي: العوامل المؤثرة على الكائن قيد الدراسة في الحاضر والماضي سوف تؤثر عليه في المستقبل. وبالتالي، فإن الأهداف الرئيسية لتحليل السلاسل الزمنية هي تحديد وإبراز العوامل ذات الصلة بالتنبؤ. ولتحقيق هذا الهدف تم تطوير العديد من النماذج الرياضية لدراسة تقلبات المكونات المتضمنة في نموذج السلسلة الزمنية. ربما يكون النموذج الأكثر شيوعًا هو النموذج الضربي الكلاسيكي للبيانات السنوية والفصلية والشهرية. لتوضيح نموذج السلسلة الزمنية المضاعفة الكلاسيكية، خذ بعين الاعتبار البيانات المتعلقة بالدخل الفعلي لشركة Wrigley Jr. الشركة للفترة من 1982 إلى 2001 (الشكل 1).

أرز. 1. رسم بياني للدخل الإجمالي الفعلي لشركة Wrigley Jr. الشركة (بملايين الدولارات بالأسعار الجارية) للفترة من 1982 إلى 2001

كما نرى، على مدار 20 عامًا، كان إجمالي الدخل الفعلي للشركة في اتجاه متزايد. ويسمى هذا الاتجاه طويل المدى بالاتجاه. اتجاهليس العنصر الوحيد في السلسلة الزمنية. بالإضافة إلى ذلك، تحتوي البيانات على مكونات دورية وغير منتظمة. دوري عنصريصف كيف تتقلب البيانات صعودا وهبوطا، وغالبا ما ترتبط بدورات الأعمال. ويتراوح طوله من 2 إلى 10 سنوات. إن شدة أو اتساع المكون الدوري ليست ثابتة أيضًا. في بعض السنوات، قد تكون البيانات أعلى من القيمة التي تنبأ بها الاتجاه (أي بالقرب من ذروة الدورة)، وفي سنوات أخرى - أقل (أي في الجزء السفلي من الدورة). أي بيانات مرصودة لا تقع على منحنى الاتجاه ولا تخضع للاعتماد الدوري تسمى غير منتظمة أو مكونات عشوائية. إذا تم تسجيل البيانات يوميا أو ربع سنوي، هناك مكون إضافي يسمى موسمي. تظهر جميع مكونات السلاسل الزمنية النموذجية للتطبيقات الاقتصادية في الشكل 1. 2.

أرز. 2. العوامل المؤثرة على السلاسل الزمنية

ينص نموذج السلسلة الزمنية المضاعفة الكلاسيكي على أن أي قيمة ملحوظة هي حاصل ضرب المكونات المدرجة. إذا كانت البيانات سنوية، الملاحظة يأنا، مُتَجَانِس أناالسنة، ويتم التعبير عنها بالمعادلة:

(1) ص ط = تي ط* ج ط* أنا أنا

أين تي ط- قيمة الاتجاه، ج ط أنا-السنة العاشرة، أنا أنا أنا-السنة.

إذا تم قياس البيانات شهريا أو ربع سنوي، والملاحظة ص ط، المقابلة للفترة i، يتم التعبير عنها بالمعادلة:

(2) Y i = T i *S i *C i *I i

أين تي ط- قيمة الاتجاه، س ط- قيمة المكون الموسمي في أنا-الفترة الرابعة، ج ط- قيمة المكون الدوري في أنا-الفترة الرابعة، أنا أنا- قيمة المكون العشوائي في أنا-الفترة.

في المرحلة الأولى من تحليل السلاسل الزمنية، يتم إنشاء رسم بياني للبيانات وتحديد اعتماده على الوقت. أولا، تحتاج إلى معرفة ما إذا كان هناك زيادة أو نقصان على المدى الطويل في البيانات (أي الاتجاه)، أو ما إذا كانت السلسلة الزمنية تتأرجح حول خط أفقي. إذا لم يكن هناك اتجاه، فيمكن استخدام طريقة المتوسطات المتحركة أو التجانس الأسي لتسهيل البيانات.

تجانس السلاسل الزمنية السنوية

ذكرنا في النص شركة كابوت. يقع مقرها الرئيسي في بوسطن، ماساتشوستس، وهي متخصصة في إنتاج وبيع المواد الكيميائية ومواد البناء والمواد الكيميائية الدقيقة وأشباه الموصلات والغاز الطبيعي المسال. تمتلك الشركة 39 مصنعًا في 23 دولة. وتبلغ القيمة السوقية للشركة حوالي 1.87 مليار دولار، وأسهمها مدرجة في بورصة نيويورك تحت الاختصار SVT. يظهر دخل الشركة للفترة المحددة في الشكل. 3.

أرز. 3. إيرادات شركة كابوت في 1982-2001 (مليارات الدولارات)

وكما نرى، فإن الاتجاه طويل المدى لارتفاع الأرباح يحجبه عدد كبير من التقلبات. وبالتالي، فإن التحليل البصري للرسم البياني لا يسمح لنا بالقول أن البيانات لها اتجاه. في مثل هذه الحالات، يمكنك تطبيق أساليب المتوسط ​​المتحرك أو التجانس الأسي.

المتوسطات المتحركة.طريقة المتوسط ​​المتحرك ذاتية للغاية وتعتمد على طول الفترة ل، تم اختياره لحساب متوسط ​​القيم. ومن أجل القضاء على التقلبات الدورية، يجب أن يكون طول الفترة عددًا صحيحًا مضاعفًا لمتوسط ​​طول الدورة. المتوسطات المتحركة لفترة محددة من الطول ل، قم بتكوين سلسلة من القيم المتوسطة المحسوبة لتسلسلات الطول ل. تتم الإشارة إلى المتوسطات المتحركة بالرموز ماجستير (ل).

لنفترض أننا نريد حساب المتوسطات المتحركة لمدة خمس سنوات من البيانات المقاسة ن= 11 سنة. بسبب ال ل= 5، تشكل المتوسطات المتحركة لمدة خمس سنوات سلسلة من المتوسطات المحسوبة من خمس قيم متتالية في السلسلة الزمنية. يتم حساب المتوسط ​​المتحرك الأول من المتوسطات الخمسية عن طريق جمع بيانات السنوات الخمس الأولى ثم تقسيمها على خمسة:

يتم حساب المتوسط ​​المتحرك الثاني لمدة خمس سنوات عن طريق جمع البيانات للأعوام من 2 إلى 6 ثم القسمة على خمسة:

وتستمر هذه العملية حتى يتم حساب المتوسط ​​المتحرك لآخر خمس سنوات. عند العمل مع البيانات السنوية، يجب أن تفترض الرقم ل(طول الفترة المختارة لحساب المتوسطات المتحركة) فردي. في هذه الحالة، من المستحيل حساب المتوسطات المتحركة للأول ( ل– 1)/2 والأخيرة ( ل– 1)/ سنتين . ولذلك، عند العمل مع المتوسطات المتحركة لمدة خمس سنوات، ليس من الممكن إجراء حسابات للسنتين الأوليين والسنتين الأخيرتين. يجب أن تكون السنة التي يتم حساب المتوسط ​​المتحرك لها في منتصف فترة زمنية ل. لو ن= 11، أ ل= 5، المتوسط ​​المتحرك الأول يجب أن يتوافق مع السنة الثالثة، والثاني إلى الرابع، والأخير إلى التاسع. في التين. ويبين الشكل 4 المتوسطات المتحركة لمدة 3 و 7 سنوات المحسوبة لأرباح شركة كابوت من عام 1982 إلى عام 2001.

أرز. 4. الرسوم البيانية للمتوسطات المتحركة لمدة 3 و7 سنوات المحسوبة لأرباح شركة كابوت

لاحظ أنه عند حساب المتوسطات المتحركة لمدة ثلاث سنوات، يتم تجاهل القيم المرصودة المقابلة للسنوات الأولى والأخيرة. وبالمثل، عند حساب المتوسطات المتحركة لمدة سبع سنوات، لا توجد نتائج للسنوات الثلاث الأولى والأخيرة. بالإضافة إلى ذلك، تعمل المتوسطات المتحركة لمدة سبع سنوات على تسهيل السلسلة الزمنية أكثر بكثير من المتوسطات المتحركة لمدة ثلاث سنوات. وذلك لأن المتوسط ​​المتحرك لمدة سبع سنوات يتوافق مع فترة أطول. ولسوء الحظ، كلما طالت الفترة، قل عدد المتوسطات المتحركة التي يمكن حسابها وعرضها على الرسم البياني. ولذلك، لا ينصح باختيار أكثر من سبع سنوات لحساب المتوسطات المتحركة، حيث أن الكثير من النقاط سوف تسقط من بداية ونهاية الرسم البياني، الأمر الذي سيشوه شكل السلسلة الزمنية.

تجانس الأسي.لتحديد الاتجاهات طويلة المدى التي تميز التغيرات في البيانات، بالإضافة إلى المتوسطات المتحركة، يتم استخدام طريقة التجانس الأسي. تتيح هذه الطريقة أيضًا إمكانية إجراء تنبؤات قصيرة المدى (خلال فترة واحدة)، عندما يظل وجود اتجاهات طويلة المدى محل شك. ونتيجة لذلك، فإن طريقة التمهيد الأسي لها ميزة كبيرة على طريقة المتوسط ​​المتحرك.

تحصل طريقة التجانس الأسي على اسمها من سلسلة من المتوسطات المتحركة المرجحة بشكل كبير. تعتمد كل قيمة في هذا التسلسل على جميع القيم المرصودة السابقة. ميزة أخرى لطريقة التمهيد الأسي مقارنة بطريقة المتوسط ​​المتحرك هي أنه عند استخدام الأخير، يتم تجاهل بعض القيم. مع التجانس الأسي، تتناقص الأوزان المخصصة للقيم المرصودة بمرور الوقت، بحيث عند اكتمال الحساب، ستحصل القيم الأكثر شيوعًا على الوزن الأكبر، وستحصل القيم النادرة على الوزن الأقل. على الرغم من العدد الهائل من العمليات الحسابية، يتيح لك Excel تنفيذ طريقة التجانس الأسي.

معادلة تسمح لك بتسوية سلسلة زمنية خلال فترة زمنية عشوائية أنا، يحتوي على ثلاثة مصطلحات: القيمة الحالية المرصودة يأنا، تنتمي إلى سلسلة زمنية، قيمة ممهدة سابقة بشكل كبير هأنا –1 والوزن المخصص دبليو.

(3) E 1 = Y 1 E i = WY i + (1 – W)E i–1 , i = 2, 3, 4, …

أين هأنا- قيمة السلسلة الممهدة بشكل أسي المحسوبة أنا-الفترة الرابعة، ه ط –1 - قيمة السلسلة الممهدة بشكل أسي المحسوبة لـ ( أنا– 1) الفترة ال, ص ط- القيمة المرصودة للسلسلة الزمنية في أنا-الفترة الرابعة، دبليو- الوزن الذاتي، أو معامل التجانس (0< دبليو < 1).

إن اختيار عامل التجانس، أو الوزن المخصص لأعضاء السلسلة، له أهمية أساسية لأنه يؤثر بشكل مباشر على النتيجة. لسوء الحظ، هذا الاختيار شخصي إلى حد ما. إذا أراد الباحث ببساطة استبعاد التقلبات الدورية أو العشوائية غير المرغوب فيها من السلسلة الزمنية، فيجب اختيار قيم صغيرة دبليو(قريب من الصفر). ومن ناحية أخرى، إذا تم استخدام السلاسل الزمنية للتنبؤ، فمن الضروري تحديد وزن كبير دبليو(قريب من الوحدة). في الحالة الأولى، تكون الاتجاهات طويلة المدى في السلاسل الزمنية واضحة للعيان. وفي الحالة الثانية، تزداد دقة التنبؤ على المدى القصير (الشكل 5).

أرز. 5 مخططات سلاسل زمنية متجانسة بشكل كبير (W = 0.50 و W = 0.25) لبيانات أرباح شركة Cabot Corporation من عام 1982 إلى عام 2001؛ للحصول على صيغ الحساب، راجع ملف Excel

تم الحصول على القيمة الممهدة بشكل كبير لـ أنا- الفاصل الزمني، يمكن استخدامه كتقدير للقيمة المتوقعة في ( أنا+1)-الفاصل الزمني:

للتنبؤ بأرباح شركة كابوت لعام 2002 على أساس سلسلة زمنية متجانسة بشكل كبير تتوافق مع الوزن دبليو= 0.25، يمكن استخدام القيمة الممهدة المحسوبة لعام 2001. من الشكل. ويبين الشكل 5 أن هذه القيمة تساوي 1651.0 مليون دولار أمريكي وعندما تتوفر بيانات عن دخل الشركة في عام 2002 يمكننا تطبيق المعادلة (3) والتنبؤ بمستوى الدخل في عام 2003 باستخدام القيمة السلسة للدخل في عام 2002:

حزمة التحليليمكن لـ Excel إنشاء رسم بياني متجانس أسي بنقرة واحدة. اذهب من خلال القائمة بيانات → تحليل البياناتوحدد الخيار تجانس الأسي(الشكل 6). في النافذة التي تفتح تجانس الأسيتعيين المعلمات. لسوء الحظ، يسمح لك الإجراء ببناء سلسلة سلسة واحدة فقط، لذلك إذا كنت تريد "اللعب" بالمعلمة دبليوكرر الإجراء.

أرز. 6. رسم رسم بياني تمهيدي أسي باستخدام حزمة التحليل

المربعات الصغرى تتجه والتنبؤ

من بين مكونات السلسلة الزمنية، يتم دراسة الاتجاه في أغلب الأحيان. إنه الاتجاه الذي يسمح لنا بعمل تنبؤات قصيرة المدى وطويلة المدى. لتحديد الاتجاه طويل المدى في سلسلة زمنية، يتم عادةً إنشاء رسم بياني يتم فيه رسم البيانات المرصودة (قيم المتغير التابع) على المحور الرأسي، والفواصل الزمنية (قيم المتغير المستقل) يتم رسمها على المحور الأفقي. في هذا القسم، نصف الإجراء الخاص بتحديد الاتجاهات الخطية والتربيعية والأسية باستخدام طريقة المربعات الصغرى.

نموذج الاتجاه الخطيهو أبسط نموذج يستخدم للتنبؤ: ص ط = β 0 + β 1 العاشر ط + εi. معادلة الاتجاه الخطي:

بالنسبة لمستوى أهمية معين α، يتم رفض الفرضية الصفرية إذا كان الاختبار ر-الإحصائيات أكبر من المستوى الحرج العلوي أو أقل من المستوى الحرج الأدنى ر-التوزيعات. وبعبارة أخرى، فإن القاعدة الحاسمة تصاغ على النحو التالي: إذا ر > رشأو ر < ر ل، فرضية العدم ح 0تم رفضه، وإلا فلن يتم رفض الفرضية الصفرية (الشكل 14).

أرز. 14. مجالات رفض الفرضيات لمعيار ثنائي الجانب لأهمية معلمة الانحدار الذاتي أ ص، صاحب أعلى ترتيب

إذا كانت الفرضية الصفرية ( أ ص= 0) لم يتم رفضه، مما يعني أن النموذج المحدد يحتوي على عدد كبير جدًا من المعلمات. يسمح لك المعيار بتجاهل المصطلح الرئيسي للنموذج وتقدير نموذج ترتيب الانحدار الذاتي ص-1. يجب أن يستمر هذا الإجراء حتى فرضية العدم ح 0لن يتم رفضه.

1. اختر طلبا رتقدير نموذج الانحدار الذاتي، مع الأخذ في الاعتبار حقيقة ذلك ر- معيار الأهمية لديه ن-2ر-1درجات الحرية.
2. توليد سلسلة من المتغيرات ر"مع lag" بحيث يتأخر المتغير الأول بفاصل زمني واحد، والثاني بفاصلين، وهكذا. يجب أن تتأخر القيمة الأخيرة رفترات زمنية (انظر الشكل 15).
3. يتقدم حزمة التحليل Excel لحساب نموذج الانحدار الذي يحتوي على الكل رقيم سلسلة زمنية مع تأخر.
4. تقييم أهمية المعلمة أ ر، ذات الترتيب الأعلى: أ) إذا تم رفض الفرضية الصفرية، الكل رحدود؛ ب) إذا لم يتم رفض الفرضية الصفرية، ارفضها رالمتغير وكرر الخطوتين 3 و4 لنموذج جديد بما في ذلك ص-1معامل. يعتمد اختبار أهمية النموذج الجديد على ر-المعايير، يتم تحديد عدد درجات الحرية بعدد جديد من المعلمات.
5. كرر الخطوتين 3 و4 حتى يصبح الحد الرئيسي لنموذج الانحدار الذاتي ذا دلالة إحصائية.

لإظهار نموذج الانحدار الذاتي، دعونا نعود إلى تحليل السلاسل الزمنية للأرباح الحقيقية لـ Wm. ريجلي جونيور. في التين. ويبين الشكل 15 البيانات المطلوبة لبناء نماذج الانحدار الذاتي من الرتبة الأولى والثانية والثالثة. لبناء نموذج من الدرجة الثالثة، هناك حاجة إلى كافة أعمدة هذا الجدول. عند إنشاء نموذج انحدار ذاتي من الدرجة الثانية، يتم تجاهل العمود الأخير. عند إنشاء نموذج انحدار ذاتي من الدرجة الأولى، يتم تجاهل العمودين الأخيرين. وبالتالي، عند إنشاء نماذج الانحدار الذاتي من الدرجة الأولى والثانية والثالثة، من بين 20 متغيرًا، يتم استبعاد واحد واثنين وثلاثة على التوالي.

يبدأ اختيار نموذج الانحدار الذاتي الأكثر دقة بنموذج من الدرجة الثالثة. للتشغيل الصحيح حزمة التحليليتبع كفاصل الإدخال يالإشارة إلى النطاق B5:B21 والفاصل الزمني للإدخال X– C5:E21. تظهر بيانات التحليل في الشكل. 16.

دعونا نتحقق من أهمية المعلمة أ 3، صاحب أعلى ترتيب. تقييمه أ 3هو -0.006 (الخلية C20 في الشكل 16)، والخطأ المعياري هو 0.326 (الخلية D20). لاختبار الفرضيات H 0: A 3 = 0 و H 1: A 3 ≠ 0 نحسب ر-إحصائيات:

ر-المعايير مع n–2p–1 = 20–2*3–1 = 13 درجة حرية تساوي: ر ل=STUDENT.OBR(0.025,13) = –2.160; تي يو=STUDENT.OBR(0.975,13) = +2.160. منذ -2.160< ر = –0,019 < +2,160 и ر= 0.985 > α = 0.05، فرضية العدم ح 0لا يمكن رفضه. ولذلك، فإن معلمة الدرجة الثالثة ليست ذات دلالة إحصائية في نموذج الانحدار الذاتي ويجب إزالتها.

دعونا نكرر التحليل لنموذج الانحدار الذاتي من الدرجة الثانية (الشكل 17). تقدير المعلمة ذات الترتيب الأعلى 2= -0.205، والخطأ القياسي هو 0.276. لاختبار الفرضيات H 0: A 2 = 0 و H 1: A 2 ≠ 0 نحسب ر-إحصائيات:

عند مستوى الأهمية α = 0.05، تكون القيم الحرجة ذات الوجهين ر-المعايير مع n–2p–1 = 20–2*2–1 = 15 درجة حرية تساوي: ر ل=STUDENT.OBR(0.025,15) = –2.131; تي يو=STUDENT.OBR(0.975,15) = +2.131. منذ -2.131< ر = –0,744 < –2,131 и ر= 0.469 > α = 0.05، فرضية العدم ح 0لا يمكن رفضه. ولذلك، فإن معلمة الدرجة الثانية ليست ذات دلالة إحصائية ويجب إزالتها من النموذج.

دعونا نكرر التحليل لنموذج الانحدار الذاتي من الدرجة الأولى (الشكل 18). تقدير المعلمة ذات الترتيب الأعلى أ 1= 1.024، وخطأها المعياري 0.039. لاختبار الفرضيات H 0: A 1 = 0 و H 1: A 1 ≠ 0، نحسب ر-إحصائيات:

عند مستوى الأهمية α = 0.05، تكون القيم الحرجة ذات الوجهين ر-المعايير مع n–2p–1 = 20–2*1–1 = 17 درجة حرية تساوي: ر ل=STUDENT.OBR(0.025,17) = –2.110; تي يو=STUDENT.OBR(0.975,17) = +2.110. منذ -2.110< ر = 26,393 < –2,110 и ر = 0,000 < α = 0,05, нулевую гипотезу ح 0ينبغي رفضه. ولذلك، فإن معلمة الدرجة الأولى ذات دلالة إحصائية ولا ينبغي إزالتها من النموذج. لذلك، فإن نموذج الانحدار الذاتي من الدرجة الأولى يقارب البيانات الأصلية بشكل أفضل من غيرها. باستخدام التقديرات 0 = 18,261, أ 1= 1.024 وقيمة السلسلة الزمنية للعام الماضي - Y 20 = 1,371.88، يمكننا التنبؤ بقيمة الدخل الحقيقي للشركة Wm. ريجلي جونيور. الشركة عام 2002:

اختيار نموذج التنبؤ المناسب

تم وصف ستة طرق للتنبؤ بقيم السلاسل الزمنية أعلاه: نماذج الاتجاه الخطي والتربيعي والأسي ونماذج الانحدار الذاتي للأوامر الأولى والثانية والثالثة. هل هناك نموذج أمثل؟ أي من النماذج الستة الموصوفة ينبغي استخدامه للتنبؤ بقيمة السلسلة الزمنية؟ فيما يلي أربعة مبادئ يجب أن ترشدك عند اختيار نموذج تنبؤ مناسب. وتستند هذه المبادئ إلى تقديرات دقة النموذج. من المفترض أنه يمكن التنبؤ بقيم السلسلة الزمنية من خلال دراسة قيمها السابقة.

مبادئ اختيار نماذج التنبؤ:

• إجراء التحليل المتبقي.
• تقدير حجم الخطأ المتبقي باستخدام الفروق المربعة.
• تقدير حجم الخطأ المتبقي باستخدام الفروق المطلقة.
• الاسترشاد بمبدأ الاقتصاد.

تحليل البقايا.تذكر أن الباقي هو الفرق بين القيم المتوقعة والمرصودة. بعد بناء نموذج لسلسلة زمنية، يجب عليك حساب المتبقي لكل منها نفترات. كما يظهر في الشكل. 19، اللوحة أ، إذا كان النموذج مناسبًا، فإن البقايا تمثل المكون العشوائي للسلسلة الزمنية وبالتالي يتم توزيعها بشكل غير منتظم. من ناحية أخرى، كما هو موضح في اللوحات المتبقية، إذا لم يكن النموذج كافيًا، فقد يكون للبقايا علاقة منهجية لا تأخذ في الاعتبار الاتجاه (اللوحة ب)، أو الدوري (اللوحة ج)، أو الموسمية المكون (اللوحة د).

أرز. 19. تحليل البقايا

قياس الأخطاء المتبقية المطلقة والجذرية.إذا لم يسمح لك تحليل البقايا بتحديد نموذج واحد مناسب، فيمكنك استخدام طرق أخرى تعتمد على تقدير حجم الخطأ المتبقي. ومن المؤسف أن الإحصائيين لم يتوصلوا إلى توافق في الآراء بشأن أفضل تقدير للأخطاء المتبقية في النماذج المستخدمة في التنبؤ. استنادًا إلى مبدأ المربعات الصغرى، يمكنك أولاً إجراء تحليل الانحدار وحساب الخطأ المعياري للتقدير إس إكس واي. عند تحليل نموذج معين، هذه القيمة هي مجموع الفروق المربعة بين القيم الفعلية والمتوقعة للسلسلة الزمنية. إذا قام النموذج بتقريب قيم السلسلة الزمنية عند نقاط زمنية سابقة بشكل مثالي، فإن الخطأ المعياري للتقدير هو صفر. ومن ناحية أخرى، إذا كان أداء النموذج سيئًا في تقريب قيم السلسلة الزمنية عند نقاط زمنية سابقة، فإن الخطأ المعياري للتقدير يكون كبيرًا. وبالتالي، من خلال تحليل مدى كفاية العديد من النماذج، من الممكن اختيار نموذج يحتوي على الحد الأدنى من الخطأ المعياري في التقدير S XY .

العيب الرئيسي لهذا النهج هو المبالغة في الأخطاء عند التنبؤ بالقيم الفردية. بمعنى آخر أي فرق كبير بين الكميات يأناو Ŷ أناعند حساب مجموع الأخطاء المربعة، يتم تربيع SSE، أي. يزيد. لهذا السبب، يفضل العديد من الإحصائيين استخدام متوسط ​​الانحراف المطلق (MAD) لتقييم مدى كفاية نموذج التنبؤ:

عند تحليل نماذج محددة، تكون قيمة MAD هي متوسط ​​القيم المطلقة للاختلافات بين القيم الفعلية والمتوقعة للسلسلة الزمنية. إذا كان النموذج يقارب قيم السلسلة الزمنية عند نقاط زمنية سابقة بشكل مثالي، فإن متوسط ​​الانحراف المطلق هو صفر. من ناحية أخرى، إذا لم يقترب النموذج من قيم السلاسل الزمنية هذه بشكل جيد، فإن متوسط ​​الانحراف المطلق يكون كبيرًا. وبالتالي، من خلال تحليل مدى كفاية العديد من النماذج، من الممكن اختيار النموذج الذي لديه أدنى متوسط ​​للانحراف المطلق.

مبدأ الاقتصاد.إذا كان تحليل الأخطاء المعيارية للتقديرات ومتوسط ​​الانحرافات المطلقة لا يسمح بتحديد النموذج الأمثل، فيمكنك استخدام الطريقة الرابعة، استنادا إلى مبدأ البخل. وينص هذا المبدأ على أنه من بين عدة نماذج متساوية ينبغي للمرء أن يختار أبسطها.

من بين نماذج التنبؤ الستة التي تمت مناقشتها في هذا الفصل، أبسطها هي نماذج الانحدار الخطي والتربيعي، بالإضافة إلى نموذج الانحدار الذاتي من الدرجة الأولى. النماذج الأخرى أكثر تعقيدًا.

مقارنة بين أربع طرق للتنبؤ.لتوضيح عملية اختيار النموذج الأمثل، دعونا نعود إلى السلسلة الزمنية المكونة من قيم الدخل الحقيقي لشركة Wm. ريجلي جونيور. شركة. دعونا نقارن بين أربعة نماذج: نموذج الانحدار الذاتي الخطي والتربيعي والأسي والانحدار الذاتي من الدرجة الأولى. (نماذج الانحدار الذاتي من الدرجة الثانية والثالثة تعمل فقط على تحسين دقة التنبؤ بقيم سلسلة زمنية معينة بشكل طفيف، لذلك يمكن تجاهلها). يوضح الشكل 20 الرسوم البيانية المتبقية التي تم إنشاؤها من خلال تحليل أربع طرق للتنبؤ باستخدام حزمة التحليلاكسل. يجب عليك توخي الحذر عند استخلاص النتائج من هذه الرسوم البيانية لأن السلسلة الزمنية تحتوي على 20 نقطة فقط. للتعرف على طرق البناء، راجع الورقة المقابلة لملف Excel.

أرز. 20. الرسوم البيانية للمخلفات التي تم إنشاؤها من تحليل أربع طرق للتنبؤ باستخدام حزمة التحليلاكسل

لا يوجد نموذج آخر غير نموذج الانحدار الذاتي من الدرجة الأولى يأخذ في الاعتبار المكون الدوري. هذا النموذج هو الذي يقترب بشكل أفضل من الملاحظات ويتميز بالبنية الأقل منهجية. لذا، فقد أظهر تحليل بقايا الطرق الأربعة أن نموذج الانحدار الذاتي من الدرجة الأولى هو الأفضل، في حين أن النماذج الخطية والتربيعية والأسية أقل دقة. للتحقق من ذلك، دعونا نقارن الأخطاء المتبقية لهذه الطرق (الشكل 21). يمكنك التعرف على منهجية الحساب عن طريق فتح ملف Excel. في التين. يشار إلى 21 قيمة فعلية ص ط(عمود دخل حقيقي)، القيم المتوقعة Ŷ أنا، وكذلك البقايا هأنالكل من النماذج الأربعة. وبالإضافة إلى ذلك، يتم عرض القيم سYXو مجنون. لجميع نماذج الكميات الأربعة سYXو مجنوننفس الشيء تقريبًا. النموذج الأسي أسوأ نسبيا، في حين أن النماذج الخطية والتربيعية متفوقة في الدقة. كما هو متوقع، أصغر القيم سYXو مجنونلديه نموذج الانحدار الذاتي من الدرجة الأولى.

أرز. 21. مقارنة أربع طرق للتنبؤ باستخدام مؤشرات S YX و MAD

بعد اختيار نموذج تنبؤ محدد، تحتاج إلى مراقبة التغييرات الإضافية في السلسلة الزمنية بعناية. من بين أمور أخرى، يتم إنشاء مثل هذا النموذج للتنبؤ بشكل صحيح بقيم سلسلة زمنية في المستقبل. ولسوء الحظ، فإن نماذج التنبؤ هذه لا تأخذ في الاعتبار التغيرات في هيكل السلسلة الزمنية. من الضروري للغاية مقارنة ليس فقط الخطأ المتبقي، ولكن أيضًا دقة التنبؤ بقيم السلاسل الزمنية المستقبلية التي تم الحصول عليها باستخدام نماذج أخرى. بعد قياس قيمة جديدة يأناوفي الفترة الزمنية المرصودة، يجب مقارنتها على الفور بالقيمة المتوقعة. إذا كان الفرق كبيرا جدا، فيجب مراجعة نموذج التنبؤ.

التنبؤ الزمني سسلسلة x بناءً على البيانات الموسمية

لقد قمنا حتى الآن بدراسة السلاسل الزمنية التي تتكون من بيانات سنوية. ومع ذلك، تتكون العديد من السلاسل الزمنية من كميات يتم قياسها ربع سنوي وشهري وأسبوعي ويومي وحتى كل ساعة. كما يظهر في الشكل. 2، إذا تم قياس البيانات شهريا أو ربع سنوي، ينبغي أن يؤخذ في الاعتبار العنصر الموسمي. في هذا القسم، سنلقي نظرة على الطرق التي تسمح لنا بالتنبؤ بقيم هذه السلاسل الزمنية.

السيناريو الموصوف في بداية الفصل يتعلق بشركة Wal-Mart Stores, Inc. تبلغ القيمة السوقية للشركة 229 مليار دولار، وأسهمها مدرجة في بورصة نيويورك تحت الاختصار WMT. تنتهي السنة المالية للشركة في 31 يناير، وبالتالي فإن الربع الرابع من عام 2002 يشمل نوفمبر وديسمبر 2001، بالإضافة إلى يناير 2002. تظهر السلسلة الزمنية للدخل الربع سنوي للشركة في الشكل. 22.

أرز. 22. الأرباح ربع السنوية لشركة Wal-Mart Stores, Inc. (مليون دولار)

بالنسبة لسلسلة ربع سنوية مثل هذه، يحتوي النموذج الضربي الكلاسيكي، بالإضافة إلى الاتجاه والمكونات الدورية والعشوائية، على مكون موسمي: ص ط = تي ط* س ط* ج ط* أنا أنا

التنبؤ بالدورة الشهرية ووقتها سسلسلة x باستخدام طريقة المربعات الصغرى.يعتمد نموذج الانحدار، الذي يتضمن مكونًا موسميًا، على نهج مشترك. لحساب الاتجاه، يتم استخدام طريقة المربعات الصغرى الموضحة سابقًا، ولمراعاة المكون الموسمي، يتم استخدام متغير فئوي (لمزيد من التفاصيل، راجع القسم نماذج الانحدار المتغير الوهمية وتأثيرات التفاعل). يتم استخدام النموذج الأسي لتقريب السلاسل الزمنية مع مراعاة المكونات الموسمية. في نموذج يقارب سلسلة زمنية ربع سنوية، كنا بحاجة إلى ثلاثة متغيرات وهمية لحساب أربعة أرباع س 1, س 2و س 3وفي نموذج السلاسل الزمنية الشهرية، يتم تمثيل 12 شهرًا باستخدام 11 متغيرًا وهميًا. نظرًا لأن هذه النماذج تستخدم متغير السجل كاستجابة ص ط، لكن لا ص طلحساب معاملات الانحدار الحقيقية، من الضروري إجراء تحويل عكسي.

لتوضيح عملية بناء نموذج يقارب سلسلة زمنية ربع سنوية، دعونا نعود إلى أرباح وول مارت. تم الحصول على معلمات النموذج الأسي باستخدام حزمة التحليلإكسل، كما هو موضح في الشكل. 23.

أرز. 23. تحليل الانحدار للأرباح ربع السنوية لشركة Wal-Mart Stores, Inc.

يمكن ملاحظة أن النموذج الأسي يقارب البيانات الأصلية بشكل جيد. معامل الارتباط المختلط ص 2 يساوي 99.4% (الخلايا J5)، معامل الارتباط المختلط المعدل - 99.3% (الخلايا J6)، الاختبار F-الإحصائيات - 1,333.51 (الخلايا M12)، و ر-القيمة هي 0.0000. عند مستوى دلالة α = 0.05، يكون كل معامل انحدار في نموذج السلسلة الزمنية المضاعفة الكلاسيكية ذا دلالة إحصائية. وبتطبيق عملية التقوية عليهم، نحصل على المعلمات التالية:

احتمال يتم تفسيرها على النحو التالي.

استخدام معاملات الانحدار ب ط، يمكنك التنبؤ بالإيرادات التي تحققها شركة ما في ربع معين. على سبيل المثال، دعونا نتوقع إيرادات الشركة للربع الرابع من عام 2002 ( Xأنا = 35):

سجل = ب 0 + ب 1 Xأنا = 4,265 + 0,016*35 = 4,825

= 10 4,825 = 66 834

وبالتالي، ووفقاً للتوقعات، كان من المفترض أن تحصل الشركة في الربع الأخير من عام 2002 على إيرادات تعادل 67 مليار دولار (من غير المرجح أن تكون التوقعات دقيقة إلى أقرب مليون). لتمديد التنبؤ لفترة زمنية خارج السلسلة الزمنية، على سبيل المثال، إلى الربع الأول من عام 2003 ( Xأنا = 36, س 1= 1)، يجب إجراء الحسابات التالية:

سجل شي = ب 0 + ب 1Xأنا + ب2 س1 = 4,265 + 0,016*36 – 0,093*1 = 4,748

10 4,748 = 55 976

الفهارس

تُستخدم المؤشرات كمؤشرات تستجيب للتغيرات في الوضع الاقتصادي أو النشاط التجاري. هناك أنواع عديدة من المؤشرات، مثل مؤشرات الأسعار، ومؤشرات الكمية، ومؤشرات القيمة، والمؤشرات الاجتماعية. في هذا القسم سننظر فقط في مؤشر الأسعار. فِهرِس- قيمة بعض المؤشرات الاقتصادية (أو مجموعة المؤشرات) عند نقطة زمنية محددة، معبرًا عنها كنسبة مئوية من قيمتها عند نقطة الأساس الزمنية.

مؤشر الأسعار.يعكس مؤشر الأسعار البسيط النسبة المئوية للتغير في سعر السلعة (أو مجموعة السلع) خلال فترة زمنية معينة مقارنة بسعر تلك السلعة (أو مجموعة السلع) في نقطة زمنية محددة في الماضي. عند حساب مؤشر الأسعار، يجب عليك أولاً تحديد فترة زمنية أساسية - وهي فترة زمنية في الماضي سيتم إجراء المقارنات معها. عند اختيار إطار زمني أساسي لمؤشر معين، يتم تفضيل فترات الاستقرار الاقتصادي على فترات التوسع الاقتصادي أو الانكماش. بالإضافة إلى ذلك، لا ينبغي أن تكون الفترة المرجعية بعيدة جدًا حتى لا تتأثر نتائج المقارنة بالتغيرات في التكنولوجيا وعادات المستهلك. يتم حساب مؤشر الأسعار باستخدام الصيغة:

أين أنا أنا- مؤشر الأسعار في أناسنة، رأنا- السعر في أناسنة، قاعدة P- السعر في سنة الأساس.

مؤشر الأسعار هو النسبة المئوية للتغير في سعر المنتج (أو مجموعة المنتجات) في فترة زمنية معينة مقارنة بسعر المنتج في نقطة زمنية أساسية. على سبيل المثال، النظر في مؤشر أسعار البنزين الخالي من الرصاص في الولايات المتحدة في الفترة من 1980 إلى 2002 (الشكل 24). على سبيل المثال:

أرز. 24. سعر جالون البنزين الخالي من الرصاص ومؤشر الأسعار البسيط في الولايات المتحدة من 1980 إلى 2002 (سنوات الأساس 1980 و1995)

لذلك، في عام 2002، كان سعر البنزين الخالي من الرصاص في الولايات المتحدة أعلى بنسبة 4.8٪ مما كان عليه في عام 1980. 24 يوضح الرقم القياسي للأسعار في عامي 1981 و 1982 كان أعلى من الرقم القياسي للأسعار عام 1980، ومن ثم حتى عام 2000 لم يتجاوز مستوى الأساس. وبما أنه تم اختيار عام 1980 كفترة الأساس، فمن المحتمل أن يكون من المنطقي اختيار سنة أقرب، مثل عام 1995. ومعادلة إعادة حساب المؤشر فيما يتعلق بفترة الأساس الزمنية الجديدة هي:

أين أناجديد- مؤشر الأسعار الجديد، أناقديم- مؤشر الأسعار القديم، أناجديد base – قيمة مؤشر الأسعار في سنة الأساس الجديدة عند الحساب لسنة الأساس القديمة.

لنفترض أنه تم اختيار عام 1995 كقاعدة جديدة. وباستخدام الصيغة (10) نحصل على الرقم القياسي الجديد للأسعار لعام 2002:

لذلك، في عام 2002، ارتفعت تكلفة البنزين الخالي من الرصاص في الولايات المتحدة بنسبة 13.9٪ عما كانت عليه في عام 1995.

المؤشرات السعرية المركبة غير المرجحة.على الرغم من أن مؤشر أسعار أي منتج فردي له أهمية لا شك فيها، إلا أن الأهم من ذلك هو مؤشر أسعار مجموعة من السلع، والذي يسمح للمرء بتقدير تكلفة ومستوى معيشة عدد كبير من المستهلكين. يعين مؤشر الأسعار المركب غير المرجح، المحدد بالصيغة (11)، وزنًا متساويًا لكل نوع من المنتجات على حدة. يعكس مؤشر الأسعار المركب النسبة المئوية للتغير في سعر مجموعة من السلع (غالبًا ما تسمى سلة السوق) خلال فترة زمنية معينة مقارنة بسعر تلك المجموعة من السلع عند نقطة مرجعية زمنية.

أين ر أنا- رقم المنتج (1، 2،…، ن), ن- عدد السلع في المجموعة قيد النظر، - مجموع الأسعار لكل منها نالبضائع في فترة من الزمن ر- مجموع الأسعار لكل منها نالبضائع في الفترة الزمنية الصفرية - قيمة المؤشر المركب غير المرجح في الفترة الزمنية ر.

في التين. 25 يوضح متوسط ​​أسعار ثلاثة أنواع من الفواكه للفترة من 1980 إلى 1999. ولحساب الرقم القياسي المركب غير المرجح للأسعار في سنوات مختلفة تم استخدام الصيغة (11) باعتبار عام 1980 سنة الأساس.

لذلك، في عام 1999، كان السعر الإجمالي لرطل التفاح، ورطل الموز، ورطل البرتقال أعلى بنسبة 59.4% من السعر الإجمالي لهذه الفاكهة في عام 1980.

أرز. 25. الأسعار (بالدولار) لثلاثة أنواع من الفواكه ومؤشر الأسعار المركب غير المرجح

يعبر مؤشر الأسعار المركب غير المرجح عن التغيرات في أسعار مجموعة كاملة من السلع مع مرور الوقت. على الرغم من سهولة حساب هذا المؤشر، إلا أن له عيبين واضحين. أولا، عند حساب هذا المؤشر، تعتبر جميع أنواع السلع ذات أهمية متساوية، وبالتالي فإن السلع باهظة الثمن تكتسب تأثيرا لا مبرر له على المؤشر. ثانيا، لا يتم استهلاك جميع السلع بشكل مكثف على قدم المساواة، وبالتالي فإن التغيرات في أسعار السلع الأقل استهلاكا تؤثر على المؤشر غير المرجح بشكل كبير.

مؤشرات الأسعار المركبة المرجحة.ونظرا لعيوب المؤشرات السعرية غير المرجحة، فإن المؤشرات السعرية المرجحة التي تأخذ في الاعتبار الفروق في الأسعار ومستويات استهلاك السلع التي تشكل سلة المستهلك هي الأفضل. هناك نوعان من مؤشرات الأسعار المركبة المرجحة. مؤشر أسعار لابير، المحددة بالصيغة (12)، تستخدم مستويات الاستهلاك في سنة الأساس. ويأخذ مؤشر الأسعار المركب المرجح في الاعتبار مستويات استهلاك السلع التي تشكل سلة المستهلك، مع تخصيص وزن معين لكل منتج.

أين ر- الفترة الزمنية (0، 1، 2، ...)، أنا- رقم المنتج (1، 2،…، ن), ن أنافي الفترة الزمنية الصفرية، - قيمة مؤشر لابيريه في الفترة الزمنية ر.

تظهر حسابات مؤشر Lapeyret في الشكل. 26؛ يتم استخدام عام 1980 كسنة الأساس.

أرز. 26. الأسعار (بالدولار) والكمية (الاستهلاك بالجنيه للفرد) لثلاثة أنواع من الفواكه ومؤشر لابيريت

لذلك، فإن مؤشر Lapeyret في عام 1999 هو 154.2. ويشير هذا إلى أن هذه الأنواع الثلاثة من الفاكهة كانت في عام 1999 أغلى بنسبة 54.2% مما كانت عليه في عام 1980. علماً أن هذا المؤشر أقل من المؤشر غير المرجح 159.4 لأن سعر البرتقال، أقل الفاكهة استهلاكاً، ارتفع أكثر من سعر التفاح والموز. بمعنى آخر، نظرًا لأن أسعار الفواكه الأكثر استهلاكًا ارتفعت بمعدل أقل من أسعار البرتقال، فإن مؤشر لابيريه أصغر من المؤشر المركب غير المرجح.

مؤشر أسعار باشيستخدم مستويات استهلاك المنتج في الفترة الزمنية الحالية وليس في الفترة الزمنية الأساسية. وبالتالي، يعكس مؤشر باش بشكل أكثر دقة التكلفة الإجمالية لاستهلاك السلع في وقت معين. ومع ذلك، فإن هذا المؤشر له عيبان مهمان. أولا، من الصعب عموما تحديد مستويات الاستهلاك الحالية. لهذا السبب، تستخدم العديد من المؤشرات الشائعة مؤشر Lapeyret بدلاً من مؤشر Paasche. ثانياً، إذا ارتفع سعر سلعة معينة في سلة المستهلك بشكل حاد، فإن المشترين يخفضون مستوى استهلاكهم بدافع الضرورة، وليس بسبب التغيرات في الأذواق. يتم حساب مؤشر Paasche باستخدام الصيغة:

أين ر- الفترة الزمنية (0، 1، 2، ...)، أنا- رقم المنتج (1، 2،…، ن), ن- عدد البضائع في المجموعة قيد النظر، - عدد وحدات البضائع أنافي الفترة الزمنية الصفرية، - قيمة مؤشر Paasche في الفترة الزمنية ر.

تظهر حسابات مؤشر Paasche في الشكل. 27؛ يتم استخدام عام 1980 كسنة الأساس.

أرز. 27. الأسعار (بالدولار) والكمية (الاستهلاك بالجنيه للفرد) لثلاثة أنواع من الفواكه ومؤشر باش

لذلك، فإن مؤشر باش في عام 1999 هو 147.0. ويشير هذا إلى أنه في عام 1999 كانت هذه الأنواع الثلاثة من الفاكهة أغلى بنسبة 47.0٪ عما كانت عليه في عام 1980.

بعض مؤشرات الأسعار الشعبية.هناك العديد من مؤشرات الأسعار المستخدمة في الأعمال والاقتصاد. الأكثر شعبية هو مؤشر أسعار المستهلك (CPI). رسميًا، يُطلق على هذا المؤشر اسم CPI-U للتأكيد على أنه يتم حسابه للمدن (الحضرية)، على الرغم من أنه كقاعدة عامة يُسمى ببساطة مؤشر أسعار المستهلك (CPI). يتم نشر هذا المؤشر شهريًا من قبل مكتب إحصاءات العمل الأمريكي باعتباره الأداة الأساسية لقياس تكلفة المعيشة في الولايات المتحدة. مؤشر أسعار المستهلك مركب ومرجح باستخدام طريقة لابيريت. ويتم حسابه باستخدام أسعار أكثر 400 منتج استهلاكًا وأنواع الملابس والنقل والخدمات الطبية والمرافق العامة. وفي الوقت الحالي، عند حساب هذا المؤشر، يتم استخدام الفترة 1982-1984 كفترة الأساس. (الشكل 28). إحدى الوظائف المهمة لمؤشر أسعار المستهلك هي استخدامه كعامل انكماش. يتم استخدام مؤشر أسعار المستهلك لتحويل الأسعار الفعلية إلى أسعار حقيقية عن طريق ضرب كل سعر بعامل 100/مؤشر أسعار المستهلك. وتشير الحسابات إلى أن متوسط ​​معدل التضخم السنوي في الولايات المتحدة كان على مدى السنوات الثلاثين الماضية 2.9%.

أرز. 28. ديناميات الأسعار القياسية للمستهلك؛ للحصول على البيانات الكاملة، راجع ملف Excel

مؤشر أسعار مهم آخر نشره مكتب إحصاءات العمل هو مؤشر أسعار المنتجين (PPI). مؤشر أسعار المنتجين هو مؤشر مركب مرجح يستخدم طريقة لابيريه لقياس التغيرات في أسعار السلع التي يبيعها منتجوها. مؤشر أسعار المنتجين (PPI) هو المؤشر الرئيسي لمؤشر أسعار المستهلكين (CPI). وبعبارة أخرى، فإن الزيادة في مؤشر أسعار المنتجين تؤدي إلى زيادة في مؤشر أسعار المستهلك، والعكس بالعكس، فإن انخفاض مؤشر أسعار المنتجين يؤدي إلى انخفاض في مؤشر أسعار المستهلكين. تُستخدم المؤشرات المالية مثل مؤشر داو جونز الصناعي (DJIA) وS&P 500 وNASDAQ لقياس التغيرات في أسعار الأسهم في الولايات المتحدة. تقيس العديد من المؤشرات ربحية أسواق الأسهم العالمية. وتشمل هذه المؤشرات مؤشر نيكاي في اليابان، ومؤشر داكس 30 في ألمانيا، ومؤشر SSE المركب في الصين.

المزالق المرتبطة بتحليل الوقت سصفوف ×

إن قيمة المنهجية التي تستخدم المعلومات عن الماضي والحاضر للتنبؤ بالمستقبل تم وصفها ببلاغة منذ أكثر من مائتي عام على يد رجل الدولة باتريك هنري: "ليس لدي سوى مصباح واحد لإضاءة الطريق، وهو تجربتي. إن معرفة الماضي هي وحدها التي تسمح للمرء بالحكم على المستقبل."

يعتمد تحليل السلاسل الزمنية على افتراض أن العوامل التي أثرت على النشاط التجاري في الماضي والتي تؤثر على النشاط التجاري في الوقت الحاضر سوف تستمر في العمل في المستقبل. إذا كان هذا صحيحا، فإن تحليل السلاسل الزمنية يمثل أداة فعالة للتنبؤ والإدارة. ومع ذلك، يرى منتقدو الأساليب الكلاسيكية المعتمدة على تحليل السلاسل الزمنية أن هذه الأساليب ساذجة وبدائية للغاية. بعبارة أخرى، لا ينبغي للنموذج الرياضي الذي يأخذ في الاعتبار العوامل التي عملت في الماضي أن يستقرئ الاتجاهات في المستقبل بشكل ميكانيكي دون الأخذ في الاعتبار تقييمات الخبراء، وخبرة الأعمال، والتغيرات التكنولوجية، فضلا عن عادات الناس واحتياجاتهم. وفي محاولة لتصحيح هذا الوضع، قام خبراء الاقتصاد القياسي في السنوات الأخيرة بتطوير نماذج حاسوبية متطورة للنشاط الاقتصادي تأخذ في الاعتبار العوامل المذكورة أعلاه.

ومع ذلك، تعتبر تقنيات تحليل السلاسل الزمنية أداة تنبؤ ممتازة (على المدى القصير والطويل على حد سواء) عند تطبيقها بشكل صحيح، بالاشتراك مع تقنيات التنبؤ الأخرى، ومع حكم الخبراء والخبرة.

ملخص.في هذه المذكرة، وباستخدام تحليل السلاسل الزمنية، تم تطوير نماذج للتنبؤ بدخل ثلاث شركات: Wm. ريجلي جونيور. شركة، شركة كابوت و وول مارت. تم وصف مكونات السلاسل الزمنية، بالإضافة إلى العديد من الأساليب للتنبؤ بالسلاسل الزمنية السنوية - طريقة المتوسط ​​المتحرك، وطريقة التجانس الأسي، والنماذج الخطية والتربيعية والأسية، بالإضافة إلى نموذج الانحدار الذاتي. تم دراسة نموذج الانحدار الذي يحتوي على متغيرات وهمية تتوافق مع المكون الموسمي. يظهر تطبيق طريقة المربعات الصغرى للتنبؤ بالسلاسل الزمنية الشهرية والربع سنوية (الشكل 29).

يتم فقدان درجات P من الحرية عند مقارنة قيم السلاسل الزمنية.

أهداف تحليل السلاسل الزمنيةفي الدراسة العملية للسلاسل الزمنية بناءً على البيانات الاقتصادية خلال فترة زمنية معينة، يجب على الاقتصادي القياسي استخلاص استنتاجات حول خصائص هذه السلسلة والآلية الاحتمالية التي تولد هذه السلسلة. في أغلب الأحيان، عند دراسة السلاسل الزمنية، يتم تحديد الأهداف التالية:

1. وصف موجز (مضغوط) للسمات المميزة للسلسلة.

2. اختيار نموذج إحصائي يصف السلسلة الزمنية.

3. التنبؤ بالقيم المستقبلية بناء على الملاحظات السابقة.

4. السيطرة على العملية التي تولد السلسلة الزمنية.

ومن الناحية العملية، فإن هذه الأهداف وما شابهها بعيدة كل البعد عن كونها قابلة للتحقيق بشكل كامل. وغالبًا ما يعوق ذلك عدم كفاية الملاحظات بسبب ضيق وقت المراقبة. وفي كثير من الأحيان، يتغير الهيكل الإحصائي للسلسلة الزمنية مع مرور الوقت.

مراحل تحليل السلاسل الزمنية . عادة، في التحليل العملي للسلاسل الزمنية، يتم اتباع المراحل التالية بالتسلسل:

1. تمثيل رسومي ووصف لسلوك الراد المؤقت.

2. تحديد وإزالة المكونات المنتظمة المعتمدة على الوقت لسلسلة زمنية: الاتجاه والمكونات الموسمية والدورية.

3. عزل وإزالة مكونات العملية ذات التردد المنخفض أو العالي (الترشيح).

4. دراسة المكون العشوائي للسلسلة الزمنية المتبقية بعد إزالة المكونات المذكورة أعلاه.

5. بناء (اختيار) نموذج رياضي لوصف المكون العشوائي والتحقق من كفايته.

6. التنبؤ بالتطور المستقبلي لعملية ممثلة بسلسلة زمنية.

7. دراسة التفاعلات بين مختلف المجالس المؤقتة.

هناك عدد كبير من الطرق المختلفة لحل هذه المشاكل. من بينها الأكثر شيوعًا ما يلي:

8. تحليل الارتباط، والذي يجعل من الممكن تحديد التبعيات الدورية الهامة وتأخرها (التأخير) ضمن عملية واحدة (الارتباط الذاتي) أو بين عدة عمليات (الارتباط المتبادل).

9. التحليل الطيفي، والذي يسمح لك بإيجاد المكونات الدورية وشبه الدورية للسلسلة الزمنية.

10. التنعيم والتصفية، وهو مصمم لتحويل السلاسل الزمنية لإزالة التكرارات العالية أو التغيرات الموسمية منها.

12. التنبؤ والذي يسمح بناءً على نموذج مختار لسلوك الراد المؤقت بالتنبؤ بقيمه في المستقبل.

نماذج الاتجاه

أبسط نماذج الاتجاه . فيما يلي نماذج الاتجاه الأكثر استخدامًا في تحليل السلاسل الزمنية الاقتصادية، وكذلك في العديد من المجالات الأخرى. أولاً، إنه نموذج خطي بسيط

أين 0، 1- معاملات نموذج الاتجاه؛

ر – الوقت.

وحدة الزمن قد تكون ساعة، أو يوم (أيام)، أو أسبوع، أو شهر، أو ربع، أو سنة. 269، على الرغم من بساطته، أثبت فائدته في العديد من تطبيقات العالم الحقيقي. إذا كانت الطبيعة غير الخطية للاتجاه واضحة، فقد يكون أحد النماذج التالية مناسبًا:

1. متعدد الحدود:

(270)

أين هي درجة كثير الحدود صوفي المسائل العملية نادرا ما يتجاوز 5؛

2. لوغاريتمي:

يُستخدم هذا النموذج غالبًا للبيانات التي تميل إلى الحفاظ على معدل نمو ثابت؛

3. الخدمات اللوجستية:

(272)

4. جومبرتز

(٢٧٣)، حيث

النموذجان الأخيران ينتجان منحنيات اتجاه على شكل حرف S. وهي تتوافق مع العمليات التي تشهد معدلات نمو متزايدة تدريجيًا في المرحلة الأولية وتتدهور معدلات النمو تدريجيًا في النهاية. ترجع الحاجة إلى مثل هذه النماذج إلى استحالة تطور العديد من العمليات الاقتصادية لفترة طويلة بمعدلات نمو ثابتة أو وفقًا لنماذج متعددة الحدود، وذلك بسبب نموها السريع (أو النقصان).

عند التنبؤ، يتم استخدام الاتجاه في المقام الأول للتنبؤات طويلة المدى. عادة ما تكون دقة التنبؤات قصيرة المدى التي تعتمد فقط على منحنى الاتجاه الملائم غير كافية.

تُستخدم طريقة المربعات الصغرى في أغلب الأحيان لتقدير الاتجاهات وإزالتها من السلاسل الزمنية. تمت مناقشة هذه الطريقة بشيء من التفصيل في القسم الثاني من الدليل في مشاكل تحليل الانحدار الخطي. يتم التعامل مع قيم السلاسل الزمنية على أنها الاستجابة (المتغير التابع)، والزمن ر- كعامل مؤثر في الاستجابة (المتغير المستقل).

تتميز السلاسل الزمنية بالاعتماد المتبادل بين أعضائها (على الأقل ليس متباعدين في الزمن) وهذا فرق كبير عن تحليل الانحدار التقليدي، الذي يفترض أن تكون جميع الملاحظات مستقلة عنه. ومع ذلك، عادة ما تكون تقديرات الاتجاه في ظل هذه الظروف معقولة إذا تم اختيار نموذج اتجاه مناسب وإذا لم تكن هناك قيم متطرفة كبيرة بين الملاحظات. لا تؤثر الانتهاكات المذكورة أعلاه لقيود تحليل الانحدار على قيم التقديرات بقدر ما تؤثر على خصائصها الإحصائية. وبالتالي، إذا كان هناك اعتماد كبير بين شروط السلسلة الزمنية، فإن تقديرات التباين المستندة إلى مجموع المربعات المتبقية تعطي نتائج غير صحيحة. وتبين أيضًا أن فترات الثقة لمعاملات النموذج، وما إلى ذلك، غير صحيحة. وفي أحسن الأحوال، يمكن اعتبارها تقريبية للغاية.

بدأ استخدام النماذج الاقتصادية القياسية للتنبؤ الاقتصادي في الستينيات من القرن العشرين. منذ ذلك الوقت، شهد هيكل اقتصاد البلدان المتقدمة وأساليب التحليل الاقتصادي القياسي تغيرات جذرية. وفي الوقت نفسه، لا تزال مشكلة التنبؤ بالحالة الاقتصادية المستقبلية دون حل، الأمر الذي يتطلب تحسين نماذج الاقتصاد القياسي.
يركز الخبراء على الأبحاث المتعلقة بالتكامل المشترك (طريقة لتحديد العلاقات طويلة الأمد في مجموعة من متغيرات السلاسل الزمنية)؛ على التنبؤ وتقدير المعلمات التي تتغير مع مرور الوقت. على وجه الخصوص، فإن تطور مشكلة التكامل المشترك من قبل الاقتصادي الأمريكي ر. إنجل يغير نهج الاقتصاديين الممارسين في دراسة السلاسل الزمنية.
السلسلة الزمنية - سلسلة من ملاحظات التغيرات الاقتصادية خلال نفس الفترات الزمنية.
يعد تحليل السلاسل الزمنية أداة أساسية للاقتصاد وواحدًا من أكثر مجالات التحليل المثمرة للاقتصاديين. هناك حاجة إلى السلاسل الزمنية لتحليل تطور العلاقات الاقتصادية والاجتماعية بين المتغيرات مع مرور الوقت (على سبيل المثال، يمكن لنموذج الاقتصاد القياسي لسلوك البطالة الإجمالية الذي يعتمد على السلاسل الزمنية أن يوفر معلومات قيمة حول تطورها مع مرور الوقت، على الرغم من أنه لا تقديم معلومات حول هيكل أو مدة البطالة). معظم البيانات المستخدمة تكون في شكل سلاسل زمنية، ومصفوفتها تتوسع باستمرار.
أحد أشهر الباحثين في هذا المجال هو K. Granger.
جرانجر كليف (أيضًا كلايف) (من مواليد 1934) هو اقتصادي أمريكي، حائز على جائزة نوبل (2003). ولد في سوانز (ويلز، المملكة المتحدة). درس في جامعة نوتنغهام حيث ناقش أطروحة البكالوريوس في الرياضيات عام 1955 والدكتوراه في الإحصاء عام 1959. عمل أستاذاً في جامعة كاليفورنيا (سان دييغو).
وهو مؤلف أكثر من عشرة كتب، وأكثر من مائتي مقال علمي.
جرانجر هو عضو في الأكاديمية الوطنية البريطانية للعلوم، وجمعية الاقتصاد القياسي الأمريكية، والأكاديميتين الأمريكية والفنلندية للفنون والعلوم؛ عضو فخري في الجمعية الاقتصادية الأمريكية، ودكتوراه فخرية من جامعات نوتنجهام ومدريد ولوبور وكلية ستوكهولم للاقتصاد، وأستاذ فخري بجامعة كاليفورنيا.
إنجل روبرت (من مواليد 1942) هو اقتصادي أمريكي، حائز على جائزة نوبل (2003). ولد في سيراكيوز (نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية). درست في جامعة كورنيل. في عام 1969 دافع عن أطروحة الدكتوراه في الاقتصاد. خلال الفترة 1969-1974. عمل كأستاذ مساعد في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا؛ في عام 1975 - أستاذ مشارك في جامعة كاليفورنيا، سان دييغو. وبعد عامين تولى منصب أستاذ. خلال الفترة 1990-1994. كان عميدًا لقسم الاقتصاد في نفس الجامعة، ثم أصبح فيما بعد أستاذًا للإدارة في القسم المالي بجامعة نيويورك.
إن R. Ingle هو خبير معروف في تحليل السلاسل الزمنية على مدى فترات طويلة في الأسواق المالية. يركز بحثه على الأساليب الإحصائية المبتكرة مثل نمذجة ARCH والتكامل المشترك والانحدارات الطيفية المقترنة. يستخدم في بحثه أساليب الاقتصاد القياسي المالي لإجراء المعاملات مع الأسهم والعملة وأسعار الفائدة والخيارات.
وهو زميل جمعية الاقتصاد القياسي الأمريكية والأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم.
إن تطوير تحليل السلاسل الزمنية (وعلى أساسه - التنبؤ والتحكم) أسس اتجاهًا جديدًا في أساليب التنبؤ، وأصبح الأساس النظري لتحليل ARIMA، والذي بموجبه يتم تصميم سلسلة زمنية معينة فقط باستخدام قيمها السابقة و المتغير العشوائي الخارجي، والمنهجية شرط ضروري وهو ثبات السلسلة الزمنية قيد النظر. تعد هذه المنهجية جيلًا جديدًا نسبيًا من أدوات التنبؤ التي تعتمد على تحليل السمات الاحتمالية (العشوائية) للسلاسل الزمنية. في هذه الحالة، يتم تصميم سلسلة زمنية معينة فقط باستخدام قيمها السابقة (التأخيرات) ومتغير عشوائي خارجي. الشرط الضروري لتنفيذ منهجية ARIMA هو ثبات السلاسل الزمنية - التوقع الرياضي (المتوسط)، والتشتت والتباين الذاتي (في فترات زمنية مختلفة) التي لا تعتمد على الوقت. إذا كان ثابتًا، فيمكن تصميمه بطرق مختلفة، لا سيما باستخدام مكونين - الانحدار الذاتي (AR) والمتوسط ​​المتحرك (MA). وبناء على ذلك، فإن النموذج نفسه عبارة عن مزيج من هذين المكونين.
وبما أن منهجية ARIMA تستخدم فقط للسلاسل الثابتة، فإن الخطوة الأولى في تحديد العملية هي التحقق من ثبات السلاسل الزمنية. ترجع الحاجة إلى أن تكون السلاسل الزمنية ثابتة في نمذجة ARIMA إلى حقيقة أن هذه النماذج تستخدم للتنبؤ، ويمكن التنبؤ بسلوك تلك العمليات فقط التي لا تعتمد خصائصها الرئيسية (معاملات المتوسط ​​والتباين والتباين الذاتي) على الوقت . من المستحيل التنبؤ بسلوك عملية تعتمد على سلسلة زمنية غير ثابتة (تغير التوقع الرياضي والتشتت والتباين التلقائي اعتمادًا على الوقت). في هذه الحالة، من الصعب إيجاد ثوابت المتوسط ​​والتباين، لذا يجب البحث عن التحويلات المحتملة للمتسلسلة التي يمكن أن تحولها إلى ثابتة. مثل هذه التحولات هي نتيجة للاختلافات.
إن نمذجة العمليات الاقتصادية باستخدام نماذج ARIMA تجعل من الممكن تحديد العلاقة الديناميكية بين التدفق والقيم المتأخرة للمؤشر قيد الدراسة. تعتبر هذه النماذج أداة مناسبة للتنبؤ بالسلاسل الزمنية الفردية على المدى القصير والمتوسط. ومع ذلك، تركز الأبحاث الحديثة على تطوير جهاز للنمذجة المتزامنة لعدة سلاسل زمنية باستخدام نظام المعادلات الديناميكية لعمليات ARIMA، مما يجعل من الممكن تضمين ودراسة العلاقات المتبادلة بين المؤشرات وقيمها المتأخرة.
وبالتالي، فإن نماذج VAR (نموذج الانحدار الذاتي المتجه) هي امتداد لمفهوم نمذجة ARIMA لسلسلة زمنية فردية. يشير مصطلح "المتجه" في هذه الحالة إلى أنه يتم تصميم سلسلتين زمنيتين أو أكثر في وقت واحد. مصطلح "الانحدار الذاتي" يعني إدراج القيم المتأخرة للمتغيرات التابعة على الجانب الأيمن من كل معادلة فردية للنظام. يعد استقرار نماذج VAR شرطًا ضروريًا لاستخدامها العملي. وينص على أن سلسلة من الصدمات الخارجية لنظام VAR لها تأثير هبوطي محدود، أي إذا تضاءلت الصدمات بمرور الوقت، فإن نموذج VAR يكون ثابتًا.
في التسعينيات من القرن العشرين. يتم تطوير اتجاه جديد للنمذجة باستخدام نماذج تصحيح الأخطاء (ECM) بشكل نشط. هذه النماذج هي شكل هيكلي لنماذج VAR التي تتضمن متغيرات غير ثابتة. ولتقييم مثل هذه الأنظمة، يلزم معرفة إضافية، ولا سيما التكامل المشترك للسلاسل الزمنية. التكامل المشترك للمتغيرات يجعل من الممكن بناء نماذج صحيحة حتى لو كانت غير ثابتة، دون تحويل السلاسل الزمنية إلى نماذج ثابتة باستخدام عامل الفرق. وهذا أمر مهم بالنسبة للبحث التطبيقي، لأنه عند استخدام معامل الفرق، يتم فقدان معلومات قيمة "طويلة المدى" حول ديناميكيات سلوك السلسلة الزمنية. ولذلك، فمن المستحسن تحويل السلسلة فقط عند الضرورة.
يتطلب بناء آلية الاستقرار الأوروبي وتنفيذها بشكل صحيح تسلسلًا معينًا.
1. التحقق من ثبات السلسلة. إذا لم تكن ثابتة، فمن الضروري تحديد ترتيب التكامل. إذا كان ترتيب التكامل هو نفسه، فيمكنك المتابعة لاختبار سلسلة التكامل المشترك.
وفقط عندما تتكامل السلسلة معًا، يمكننا بناء ESM (وهو ليس أكثر من VAR في الشكل الهيكلي) وتقدير معلماته غير المعروفة.
كان R. Ingle وK. Granger هو من اقترح فهمهم الخاص للتكامل المشترك: إذا كانت هناك علاقة طويلة الأمد بين المتغيرات قيد النظر، فمن الواضح أن التوازن طويل المدى يتحقق عندما:
γ1Υ1t + γ2Υ2t + ... + γkΥkt=0,
أو في شكل مصفوفة:
γΥt=0، حيث γt=(γ1, γ2, ..., γk), Υt=(Υ1t, Υ2t, ..., Υkt).
تسمى الانحرافات عن التوازن طويل المدى "أخطاء التوازن"، والتي بالتالي تساوي et=γΥt.
إذا كان هناك توازن، فمن الضروري أن يكون خطأ التوازن عملية ثابتة.
بناءً على الصيغ المذكورة أعلاه، يدعي R. Ingle وK. Granger: أن مكونات المتجه Υt=(Υ1t, Υ2t, ..., Υkt) متكاملة بشكل مشترك بالترتيب d,b: ~ CI (d,b)، إذا :
-جميع المكونات Υt لها نفس ترتيب التكامل d؛
- يوجد متجه للمعاملات γt=(γ1, γ2, ..., γk) بحيث تكون المجموعة الخطية γ1Υ1t + γ2Υ2t + ... + γkΥkt كمية متكاملة من الرتبة (d - b)، b>0.
يسمى المتجه γ=(γ1, γ2, ..., γk) "متجه التكامل المشترك". من الواضح أنه إذا كان γt=(γ1, γ2, ..., γk) متجهًا للتكامل المشترك، فمن أجل أي قيمة Ø إضافية Øγ=(Øγ1, Øγ2, ..., Øγk) هو أيضًا متجه تكامل مشترك. لذلك، من الناحية العملية، يتم استخدام أحد المتغيرات لتطبيع متجه التكامل المشترك، أي أن المعامل المقابل يجب أن يكون مساويًا لواحد.
2. التحقق من السلاسل الزمنية للتكامل المشترك. هناك عدة طرق مختلفة جذريًا لاختبار السلاسل الزمنية للتكامل المشترك. اقترح R. Ingle وK. Granger أولًا تقدير معادلة التوازن طويلة المدى، وحساب الفوائض، أي الحصول على السلسلة الزمنية المقابلة للفوائض، وبعد ذلك، إذا تبين أن الفوائض عبارة عن سلسلة ثابتة، فيمكننا أن نستنتج حول التكامل المشترك.
في مطلع القرنين العشرين والحادي والعشرين. وفي إطار نظرية سعر الصرف، كانت الجهود الرئيسية للعلماء تهدف إلى دراسة العلاقات طويلة الأمد بين الأسعار النسبية وأسعار الصرف. لقد استخدموا الأساليب الحديثة لتحليل الاقتصاد القياسي: تحديد ترتيب تكامل السلاسل الزمنية واختبارها من أجل التكامل المشترك.
إذا تم تكامل سلسلتين زمنيتين، فهذا يعني أن اتجاهاتهما الفردية مترابطة ولا يمكن أن تنحرف بشكل كبير عن بعضها البعض. وفقا لتطوير R. Ingle و K. Granger، هناك توزيع الاتحاد الأوروبي (تمثيل تصحيح الخطأ) للمتغيرات المتكاملة. تلتقط هذه الآلية التعديل قصير المدى للمتغيرات نسبة إلى التوازن طويل المدى. وهذا يعني أنه إذا تم التكامل بين أسعار الصرف الاسمية والأسعار النسبية، فإن تعادل القوة الشرائية يشكل شرطاً لتحقيق هذا التوازن في أسعار الصرف، وهي تقترب منه في ديناميكياتها الطويلة الأجل.
وقد وجدت معظم الدراسات التي تستخدم هذه المنهجية التكامل المشترك بين أسعار الصرف والأسعار النسبية. ومع ذلك، لم تكن هذه النتائج متسقة بين مجموعات مختلفة من البلدان. وهكذا، وجد العلماء الأمريكيون K. Habermeier و M. Mesquita تأكيدا لنظرية تعادل القوة الشرائية للدول المتقدمة، لكنهم لم يتمكنوا من إثبات إمكانية استخدامه من قبل البلدان النامية.
تعتبر الأبحاث التي أجراها R. Ingle و K. Granger مهمة أيضًا في مجال التنبؤ الاقتصادي القياسي. هناك مجموعة متنوعة من التوقعات المتنافسة مع تعدد المعلومات المختلفة واستراتيجيات النمذجة المختلفة. ويمكن مقارنة هذه التنبؤات بـ "القدرة التنبؤية"، أي مجموع مربعات أخطاء التنبؤ. ومن خلال الجمع بين التوقعات المختلفة، يتم الحصول أيضًا على تنبؤات جيدة. يمكن تحقيق مثل هذا الجمع عن طريق حساب تراجعات القيم الفعلية لسلسلة من التنبؤات والثوابت والقيم المتأخرة المختلفة لنفس السلسلة. يمكن تجاهل التنبؤ الذي لا يتناسب مع مثل هذا الانحدار لأنه يهيمن عليه تنبؤات أخرى.
إن التنبؤ بالنقاط ليس له قيمة تذكر في اتخاذ القرار دون أي مؤشر على عدم اليقين. بالنسبة لمعظم التنبؤات الاقتصادية التقليدية، فإن الفواصل الزمنية التي تبلغ 95% حول نقطة التنبؤ تكون كبيرة بشكل غير عادي، لذلك يوصى أحيانًا بفواصل زمنية تبلغ 50%. هناك مشكلة أخرى وهي أن تباينات أخطاء التنبؤ يمكن أن تختلف بمرور الوقت. مثل المتوسط ​​الشرطي fn,h، يمكن أن يكون التباين الشرطي دالة لتعدد المعلومات المستخدمة:
h2n=E[(xn+h - fn,h)2|In].
تعد طرق نمذجة h2n أقل تطورًا من طرق نمذجة fn,h. غالبًا ما تكون أخطاء التنبؤ en,1=xn+1 - fn,1 ضوضاء بيضاء، ولكن قد لا يبدو أن الخطأ التربيعي يشير إلى أنه يمكن التنبؤ بالتباينات الشرطية.
للإشارة إلى أخطاء التنبؤ بخطوة واحدة بواسطة εt=xt - ft-1، قام R. Ingle بمراجعة المواصفات:

وكانت العملية التي تم تحديدها تسمى "عملية الانحدار الذاتي المشروطة غير المتجانسة" (عملية تتضمن تشتتًا متغيرًا). إذا تغير التشتت بشكل يمكن التنبؤ به بمرور الوقت، فإن ميزة نمذجته هي أنه عند أخذ التغايرية في الاعتبار، فمن الممكن تحقيق تقديرات أكثر دقة للمعلمات بالقدم، وكذلك الحصول على تقديرات أكثر دقة للفترات الزمنية المحيطة بالتنبؤ من المتوسط.
قام R. Ingle بفحص أشكال مختلفة لـ ht، واستخلاص استنتاجات حول ميزاتها وطرق تقديرها، وكذلك استخدام طريقة مضاعف لاغرانج لاختبار الانحدار الذاتي المشروط غير المتجانس (النماذج المبنية على أساس هذا النهج تسمى "نماذج ARCH"). استخدم هذه الطريقة لتحليل بيانات التضخم في المملكة المتحدة ووجد دليلًا واضحًا على إمكانية التنبؤ بالتباين: ارتفع الانحراف المعياري للتضخم على مدى عدة سنوات من 0.6 إلى 1.5% مع انتقال الاقتصاد من الستينيات المتوقعة إلى السبعينيات الفوضوية.
يمكن استخدام التعبير أعلاه لـ ht ليشمل متغيرات التحكم المرصودة. على سبيل المثال، قام K. Granger بدراسة العلاقة بين أسعار التجزئة وأسعار الجملة، وفي كل معادلة تم تحديد التباينات بالطريقة الموضحة أعلاه، ولكن مع إضافة قيم التأخر التربيعية للأسعار النموذجية وغيرها، وكذلك القيم التربيعية أخطاء في التنبؤ بالمؤشرات الأخرى. أدى إثراء مواصفات ARCH إلى ظهور نماذج أفضل (من حيث نسب الاحتمالية)، بالإضافة إلى تفسيرات أكثر إثارة للاهتمام للنماذج. وقد وجد أن كلا من متوسطات وتباينات أسعار الجملة تؤثر على متوسطات وتباينات أسعار المستهلك، على التوالي. ولا تؤثر مربعات أسعار المستهلك على تشتت أسعار الجملة. إذا تم بناء هذه النماذج دون الأخذ بعين الاعتبار ARCH، فإنها ستخلق مظهر تأثير أسعار المستهلك على أسعار الجملة. ومع ذلك، مع ARCH، أصبحت هذه العلاقة السببية أضعف.
وبما أن التباينات تتغير في الممارسة العملية بشكل يمكن التنبؤ به مع مرور الوقت، فيمكن التوصية باستخدام نماذج ARCH في الحالات التي يتم فيها إيلاء اهتمام كبير للتنبؤ بفترات الثقة. تركز مجالات التحليل الأخرى على فروع النظرية الاقتصادية التي تستخدم التباين كمقياس للمخاطر (على سبيل المثال، النظرية المالية).
في الآونة الأخيرة، تطورت أدوات تحليل السلاسل الزمنية بسرعة. ولكن إذا أخذت متغيرين لاختبار التكامل المشترك، فمن الأفضل الاستمرار في استخدام اختبار إنجل-جرانجر (إذا اختبرت أكثر من متغيرين، فيمكنك استخدام تقنية جوهانسن).
تم إجراء دراسة لطرق تحليل السلاسل الزمنية الاقتصادية في ظل ظروف تباين الاعتماد على الوقت (ARCH) بواسطة R. Ingle وK. Granger على أساس نموذج رياضي يجعل من الممكن التنبؤ باتجاهات التغيرات في الناتج المحلي الإجمالي والمستهلك الأسعار وأسعار الفائدة وأسعار صرف الأوراق المالية ليس فقط لليوم التالي، ولكن حتى قبل عام. والحقيقة هي أنه في الأسواق المالية، تعتبر الانحرافات العشوائية للمؤشرات عن القيمة الثابتة (التقلبات) في غاية الأهمية، لأن قيمة الأسهم والخيارات والأدوات المالية الأخرى تعتمد على المخاطر. يمكن أن تختلف الانحرافات بشكل كبير بمرور الوقت: بعد فترات من التغييرات المهمة، تحدث فترات من التغيرات البسيطة. بالإضافة إلى حقيقة أن التقلبات الحقيقية متغيرة، فقد طبق الاقتصاديون منذ فترة طويلة الأساليب الإحصائية التي تفترض أنها ثابتة.
وفقط نموذج الانحدار الذاتي المتغاير الذي تم تحديده في عام 1982 من قبل ر. إنجل يصف بدقة العديد من السلاسل الزمنية الموجودة في الاقتصاد.
وتستخدم نتائج أبحاث التقلب على نطاق واسع في الممارسة العملية، وعلى وجه الخصوص:
أ) منذ عام 1996، تلزم الاتفاقيات الدولية (ما يسمى بقواعد بازل) باستخدام مؤشرات القيمة المعرضة للخطر عند مراقبة رأس المال المطلوب للبنوك. إن استخدام طريقة ARCH في هذه المواقف وغيرها جعلها أداة أساسية لتقييم المخاطر في الصناعة المالية؛
ب) استخدمها الخبراء لتقديم اليورو. وهكذا، فإن مشروع الاتحاد الاقتصادي والنقدي، الذي يتعلق بمصالح عدد من الدول، تم تحليله بالتفصيل من قبل الاقتصاديين الأكاديميين في الولايات المتحدة وبريطانيا العظمى.
كانوا مهتمين بما إذا كانت التقلبات (الانحرافات العشوائية في الحجم) لمعلمات النظام، أي سعر الصرف، ستزيد أو تنخفض نتيجة لإدخال اليورو، وما إذا كانت التقلبات في ميزان المدفوعات ستزيد أو تنخفض خلال فترة التحول إلى عملة موحدة، وهو ما يمكن توقعه من سعر صرف الدولار الأمريكي/اليورو.
وباستخدام تقلبات أسعار الصرف، ثبت أنه ستكون هناك تقلبات أقل. وسوف تختفي تماماً بين الدول الأعضاء في منطقة اليورو. وبما أن منطقة اليورو يُنظر إليها على أنها كيان لا يتغير بمرور الوقت، فإن جميع الأقساط الآجلة ستكون صفراً وسوف تختفي فروق أسعار الفائدة؛ ولن يكون هناك سوى مقصود فيما يتعلق بمعدلات الضرائب ومخاطر التخلف عن السداد. وسوف تصبح دول كومنولث الاتحاد النقدي منطقة عظيمة للاستقرار النقدي.
وتوصل الخبراء أيضًا إلى استنتاج مفاده أن التقلبات في موازين المدفوعات بعملة موحدة ستكون أقل من تلك التي لوحظت مع أسعار الفائدة المعومة. سوف يختفي مصدران لعدم الاستقرار:
1) سعر الصرف، الذي تحفز حركته تدفقات رأس المال، لن يتقلب (سوف تختفي تدفقات رأس المال المضاربة أو تضعف بشكل كبير)؛
2) في السياسة النقدية، سيتم تعديل فوائض ميزان المدفوعات التي تقل أو تزيد عن المستوى المرغوب تلقائيًا من خلال آلية تحويل الاحتياطي.
لن يتم التخلي عن أرصدة المدفوعات داخل دول منطقة اليورو، ولكن سيتم برمجة تعديلها في وقت مبكر ولن يكون ملحوظا خارجيا إلا في الحالات الاستثنائية.
وفيما يتعلق بسعر صرف الدولار الأمريكي/اليورو، فمن الملاحظ أنه سيصبح عامل السعر الأكثر أهمية في العالم. يعتقد البعض أن هذا المعدل يجب أن يكون لديه تقلبات أكبر من سعر الدولار الأمريكي/مارك ألماني، حيث أن اقتصاد الاتحاد الأوروبي أكثر انغلاقاً من الاقتصادات الوطنية الموحدة في الاتحاد. لكن الخبراء رفضوا هذا الرأي. إذا ركزنا ليس على نسبة الواردات أو الصادرات إلى الناتج المحلي الإجمالي، بل على الميزان العام للمدفوعات، وقبل كل شيء على حركة رأس المال، فمع القضاء على دوافع المضاربة في منطقة اليورو، ستتحول التحولات المزعزعة للاستقرار من منطقة "أضعف" إلى منطقة "أضعف" إلى منطقة اليورو. وسوف تختفي العملات "الأقوى".
وبشكل عام، لم يعد من الممكن اليوم دراسة النقاط الأساسية في استقرار النظام النقدي العالمي دون استخدام تقلبات أسعار الصرف. وبالإضافة إلى ذلك، فإن نموذج إنجل لا غنى عنه ليس فقط بالنسبة للعلماء، ولكن أيضاً بالنسبة للمحللين الماليين ومحللي السوق الذين يستخدمونه في تقييم ممتلكات ومخاطر استثمارات المحافظ.
يعتقد الخبراء أن التحولات الاقتصادية في التسعينيات تشبه في كثير من النواحي تحولات العقد الأول من القرن العشرين. وتأثير السياسة المالية الحكيمة هو نفسه.
ومع ذلك، وفقًا لـ R.-A. مانديلا، لقد تغير النظام العالمي نحو الأسوأ: بسبب التقلب المستمر في أسعار الصرف في غياب العملة العالمية. إن البلدان التي تسعى جاهدة بشكل فردي لتحقيق استقرار الأسعار من خلال إدخال مقاييسها ومؤشراتها الخاصة تتأثر بشكل خاص بتقلبات أسعار الصرف. ولذلك، فإن التقلب هو مقياس للتغيرات التي تمر بها أسعار الصرف الحقيقية ويعكس التشوهات المختلة في التنمية المحلية والدولية للصناعات، مما يزيد من عدم الاستقرار المتأصل في الأسواق المالية.
إن التطورات الأخيرة في تحليل السلاسل الزمنية غير الثابتة تؤثر بالفعل على طرق التنبؤ. يأخذ R. Ingle وK. Granger في الاعتبار خصائص اثنين أو أكثر من المتغيرات المدمجة، كل منها متكامل من الدرجة الأولى، في حين أن مجموعتهم ثابتة (أي متكاملة من الدرجة الصفرية). تسمى هذه المتغيرات "متكاملة".
يلعب التكامل المشترك دورًا مهمًا في النمذجة والتنبؤ الاقتصادي. أولاً، إذا لم تكن المتغيرات في المعادلة متكاملة، ونظرًا لأن الأخطاء ليست ثابتة، فقد يتم تحديد العلاقة بين المتغيرات بشكل خاطئ (أو قد يكون من الصعب الحصول على تقديرات موثوقة للمعلمات بشكل كبير). ثانيًا، أثبت R. Ingle وK. Granger أنه إذا كانت x وy متكاملتين من الدرجة الأولى، ولهما وسائل ثابتة ومتكاملتان بشكل مشترك، فهناك آلية تصحح أخطاء توليد البيانات (نموذج تصحيح الخطأ)، معبرًا عنها تحليليًا على النحو التالي:
Δyt=-α1ut-1 + قيم التأخر ​​(Δy, Δx) + d(L)ε1t,
Δxt=- α2ut-1 + قيم التأخر ​​(Δy, Δx) + d(L)ε2t, (6.1)
حيث ut=yt - βxt, (6.2)
و Δ هو عامل الفرق الأول. هنا d(L) هي كثيرة الحدود المحدودة لمشغل التأخر L، و εi هي عملية عشوائية، و
│α1│+│α2│≠0.
يتم تسهيل تفسير (6.1) من خلال النظر في حالة التوازن، حيث تكون الاختلافات في الصيغة (6.1) صفرًا، ويتم تحويل التعبير (6.1) إلى (6.2) عند ut = 0، أي في حالة توازن مع x متناسب . ومن ثم، وفقا للتعبير (6.2)، وهو انحراف عن قيمة التوازن، وبما أنه ثابت بمتوسط ​​صفر، فإن الانحراف عن التوازن في الفترة t-1 يتم تصحيحه جزئيا في الفترة t. وهذا يعني أن آلية تصحيح الأخطاء في التفسير الاقتصادي توفر اتصالاً بين النماذج الهيكلية ونماذج السلاسل الزمنية. تعد آلية تصحيح الأخطاء هذه أمرًا بالغ الأهمية للتنبؤ لأنها تعني أن النموذج الذي يتضمن اختلافات الدرجة الأولى فقط في المتغيرات سيتم تحديده بشكل خاطئ على المتغيرات المتكاملة. يمكن أن يحدث هذا، على سبيل المثال، إذا تم استخدام نموذج VAR لملاءمة البيانات الموجودة في شكل اختلافات الفترة الأولى.
إن قيمة الأفكار المبتكرة التي طرحها آر إنجل وك. جرانجر لا تكمن في حقيقة أنهما اقترحا أساليب جديدة لنمذجة التبعيات الاقتصادية فحسب، بل تكمن أيضاً في حقيقة أن النماذج التي طوراها فتحت مجالات جديدة للبحث. في الوقت نفسه، أثبت الحائزون على جائزة نوبل بشكل أساسي استخدام هذه النماذج وأثبتوا صحة التقييم الاقتصادي القياسي لمعلماتهم في حالة انتهاك عدد من التوقعات الكلاسيكية. ومن المهم أيضًا أن تؤكد كل طريقة من الطرق المقترحة النتائج النظرية.

مقدمة

يتناول هذا الفصل مشكلة وصف البيانات المرتبة التي تم الحصول عليها بشكل تسلسلي (مع مرور الوقت). بشكل عام، يمكن أن يحدث الترتيب ليس فقط في الزمن، ولكن أيضًا في المكان، على سبيل المثال، قطر الخيط كدالة لطوله (حالة أحادية البعد)، وقيمة درجة حرارة الهواء كدالة للإحداثيات المكانية (ثلاثة - حالة الأبعاد).

على عكس تحليل الانحدار، حيث يمكن أن يكون ترتيب الصفوف في مصفوفة المراقبة تعسفيًا، فإن ترتيب السلاسل الزمنية مهم، وبالتالي فإن العلاقة بين القيم في نقاط زمنية مختلفة تكون ذات أهمية.

إذا كانت قيم السلسلة معروفة في نقاط زمنية فردية، فسيتم استدعاء هذه السلسلة منفصلةعلى عكس مستمروالتي تكون قيمها معروفة في أي وقت. دعنا نسمي الفاصل الزمني بين لحظتين متتاليتين من الزمن براعة (خطوة). سننظر هنا بشكل رئيسي في سلاسل زمنية منفصلة ذات طول دورة ساعة ثابت، ويتم أخذها كوحدة عد. لاحظ أن السلاسل الزمنية للمؤشرات الاقتصادية تكون، كقاعدة عامة، منفصلة.

يمكن أن تكون قيم السلسلة قابلة للقياس بشكل مباشر(السعر، الربحية، درجة الحرارة)، أو مجمعة (تراكمية)على سبيل المثال، حجم الإخراج؛ المسافة التي تقطعها ناقلات البضائع خلال خطوة زمنية.

إذا تم تحديد قيم المتسلسلة بواسطة دالة رياضية حتمية، فتسمى المتسلسلة حتمية. إذا كان من الممكن وصف هذه القيم فقط باستخدام النماذج الاحتمالية، فسيتم استدعاء السلسلة الزمنية عشوائي .

تسمى الظاهرة التي تحدث مع مرور الوقت عمليةلذلك يمكننا التحدث عن العمليات الحتمية أو العشوائية. وفي الحالة الأخيرة، غالبا ما يستخدم هذا المصطلح "عملية العشوائية". يمكن اعتبار الجزء الذي تم تحليله من السلسلة الزمنية بمثابة تطبيق معين (عينة) للعملية العشوائية قيد الدراسة، والتي تم إنشاؤها بواسطة آلية احتمالية مخفية.

تنشأ السلاسل الزمنية في العديد من المجالات المواضيعية ولها طبيعة مختلفة. تم اقتراح طرق مختلفة لدراستهم، مما يجعل نظرية السلاسل الزمنية مجالًا واسعًا للغاية. وبالتالي، اعتمادًا على نوع السلاسل الزمنية، يمكن تمييز الأقسام التالية من نظرية تحليل السلاسل الزمنية:

- عمليات عشوائية ثابتة تصف تسلسلات من المتغيرات العشوائية التي لا تتغير خصائصها الاحتمالية بمرور الوقت. وتنتشر عمليات مماثلة على نطاق واسع في الهندسة الراديوية، والأرصاد الجوية، وعلم الزلازل، وما إلى ذلك.

– عمليات الانتشار التي تحدث أثناء تداخل السوائل والغازات.

- العمليات النقطية التي تصف تسلسل الأحداث، مثل استلام طلبات الخدمة، والكوارث الطبيعية والكوارث التي من صنع الإنسان. تتم دراسة عمليات مماثلة في نظرية الطابور.

وسوف نقتصر على النظر في الجوانب التطبيقية لتحليل السلاسل الزمنية، والتي تعتبر مفيدة في حل المشاكل العملية في الاقتصاد والمالية. سيكون التركيز الرئيسي على طرق اختيار نموذج رياضي لوصف سلسلة زمنية والتنبؤ بسلوكها.

1.أهداف وأساليب ومراحل تحليل السلاسل الزمنية

تتضمن الدراسة العملية للسلسلة الزمنية تحديد خصائص السلسلة واستخلاص النتائج حول الآلية الاحتمالية التي تولد هذه السلسلة. الأهداف الرئيسية لدراسة السلاسل الزمنية هي كما يلي:

- وصف السمات المميزة للسلسلة في شكل مكثف؛

- بناء نموذج السلاسل الزمنية؛

- التنبؤ بالقيم المستقبلية بناء على الملاحظات السابقة؛

- التحكم في العملية التي تولد السلاسل الزمنية عن طريق أخذ عينات من الإشارات التحذيرية من الأحداث السلبية الوشيكة.

إن تحقيق الأهداف المحددة ليس ممكنًا دائمًا، وذلك بسبب نقص البيانات الأولية (مدة المراقبة غير الكافية) وبسبب تباين البنية الإحصائية للسلسلة بمرور الوقت.

تملي الأهداف المدرجة، إلى حد كبير، تسلسل مراحل تحليل السلاسل الزمنية:

1) التمثيل البياني ووصف سلوك السلسلة؛

2) تحديد واستبعاد المكونات المنتظمة غير العشوائية للسلسلة التي تعتمد على الزمن؛

3) دراسة المكون العشوائي للسلسلة الزمنية المتبقية بعد إزالة المكون المنتظم.

4) بناء (اختيار) نموذج رياضي لوصف المكون العشوائي والتحقق من كفايته.

5) التنبؤ بالقيم المستقبلية للسلسلة.

يتم استخدام طرق مختلفة عند تحليل السلاسل الزمنية، ومن أكثرها شيوعًا ما يلي:

1) تحليل الارتباط المستخدم لتحديد السمات المميزة للسلسلة (التواتر، والاتجاهات، وما إلى ذلك)؛

2) التحليل الطيفي، الذي يجعل من الممكن العثور على المكونات الدورية لسلسلة زمنية؛

3) طرق التصفية والتصفية المصممة لتحويل السلاسل الزمنية لإزالة التقلبات عالية التردد والموسمية.

5) طرق التنبؤ.

2. المكونات الهيكلية للسلسلة الزمنية

كما ذكرنا سابقًا، من المعتاد في نموذج السلاسل الزمنية التمييز بين مكونين رئيسيين: الحتمية والعشوائية (الشكل). يُفهم المكون الحتمي للسلسلة الزمنية على أنه تسلسل رقمي يتم حساب عناصره وفقًا لقاعدة معينة كدالة للزمن ر. ومن خلال استبعاد العنصر الحتمي من البيانات، نحصل على سلسلة تتأرجح حول الصفر، والتي يمكن أن تمثل، في إحدى الحالات القصوى، قفزات عشوائية بحتة، وفي حالة أخرى، حركة تذبذبية سلسة. في معظم الحالات، سيكون هناك شيء ما بينهما: بعض عدم الانتظام وبعض التأثير المنهجي بسبب اعتماد المصطلحات المتعاقبة للسلسلة.

في المقابل، قد يحتوي المكون الحتمي على المكونات الهيكلية التالية:

1) الاتجاه g، وهو تغيير سلس في العملية مع مرور الوقت وينتج عن عمل عوامل طويلة المدى. كمثال على هذه العوامل في الاقتصاد، يمكننا تسمية: أ) التغيرات في الخصائص الديموغرافية للسكان (الأرقام، التركيبة العمرية)؛ ب) التنمية التكنولوجية والاقتصادية؛ ج) نمو الاستهلاك.

2) التأثير الموسمي س , يرتبط بوجود عوامل تعمل بشكل دوري بتردد محدد مسبقًا. تحتوي السلسلة في هذه الحالة على مقياس زمني هرمي (على سبيل المثال، خلال عام هناك مواسم مرتبطة بالفصول والأرباع والشهور) وتحدث تأثيرات مماثلة في نفس النقاط في السلسلة.

أرز. المكونات الهيكلية للسلسلة الزمنية.

أمثلة نموذجية للتأثير الموسمي: التغيرات في ازدحام الطرق السريعة خلال النهار، حسب يوم الأسبوع، حسب الوقت من العام، ذروة مبيعات البضائع لأطفال المدارس في أواخر أغسطس - أوائل سبتمبر. قد يتغير المكون الموسمي بمرور الوقت أو يكون ذا طبيعة عائمة. لذلك، على الرسم البياني لحجم النقل بالطائرات (انظر الشكل) يمكن ملاحظة أن القمم المحلية التي تحدث خلال عطلة عيد الفصح "تطفو" بسبب تباين توقيتها.

مكون دوري ج، يصف فترات طويلة من الارتفاع والانخفاض النسبي ويتكون من دورات ذات مدة وسعة متغيرة. يعد هذا المكون نموذجيًا جدًا لعدد من مؤشرات الاقتصاد الكلي. تحدث التغيرات الدورية هنا بسبب التفاعل بين العرض والطلب، فضلاً عن فرض عوامل مثل استنزاف الموارد، والظروف الجوية، والتغيرات في السياسة الضريبية، وما إلى ذلك. لاحظ أنه من الصعب للغاية تحديد المكون الدوري بالطرق الرسمية، بناءً على بيانات السلسلة قيد الدراسة فقط.

مكون "متفجر". أناوإلا فإن التدخل يُفهم على أنه تأثير كبير قصير المدى على السلسلة الزمنية. ومن الأمثلة على التدخل أحداث "الثلاثاء الأسود" عام 1994، عندما ارتفع سعر صرف الدولار بعدة عشرات من المئة في اليوم.

يعكس المكون العشوائي للسلسلة تأثير العديد من العوامل ذات الطبيعة العشوائية ويمكن أن يكون له بنية متنوعة تتراوح من أبسطها في شكل "الضوضاء البيضاء" إلى تلك المعقدة للغاية، والتي توصف بنماذج المتوسط ​​المتحرك ذاتي الانحدار (مزيد من التفاصيل أقل).

وبعد تحديد المكونات الهيكلية لا بد من تحديد شكل حدوثها في السلسلة الزمنية. في المستوى الأعلى من التمثيل، مع تسليط الضوء فقط على المكونات الحتمية والعشوائية، عادة ما يتم استخدام النماذج المضافة أو المضاعفة.

النموذج الإضافي له الشكل

مضاعف –

أين هي قيمة السلسلة في الوقت الراهن ر ;

قيمة العنصر الحتمي؛

قيمة المكون العشوائي.

في المقابل، يمكن تمثيل المكون الحتمي كمجموعة مضافة من المكونات الحتمية:

كمجموعة متضاعفة:

,

أو كمزيج مختلط، على سبيل المثال،

3. نماذج مكونات المكون الحتمي للسلسلة الزمنية

3.1.نماذج الاتجاه

يعكس الاتجاه تأثير العوامل الثابتة طويلة المدى وهو سلس بطبيعته، لذلك تستخدم النماذج متعددة الحدود، الخطية في المعلمات، على نطاق واسع لوصف الاتجاه

أين هي القيم الأس كنادرا ما يتجاوز كثير الحدود 5.

إلى جانب النماذج متعددة الحدود، غالبًا ما يتم تقريب البيانات الاقتصادية التي تصف عمليات النمو من خلال النماذج التالية:

- متسارع

يصف هذا النموذج عملية ذات معدل نمو ثابت، أي

- الخدمات اللوجستية

بالنسبة للعملية الموصوفة بالمنحنى اللوجستي، فإن معدل نمو الخاصية قيد الدراسة يتناقص خطيًا مع الزيادة ذ، إنه

- جومبيرتز

.

يصف هذا النموذج عملية يتناسب فيها معدل نمو الخاصية قيد الدراسة مع لوغاريتمها

.

النموذجان الأخيران يحددان منحنيات الاتجاه سعلى شكل يمثل العمليات ذات معدل النمو المتزايد في المرحلة الأولية مع التباطؤ التدريجي في النهاية.

عند اختيار علاقة وظيفية مناسبة، أو مواصفات الاتجاه، يكون التمثيل الرسومي للسلسلة الزمنية مفيدًا جدًا.

دعونا نلاحظ أيضًا أن الاتجاه، الذي يعكس عمل العوامل طويلة المدى، يعد حاسمًا عند بناء توقعات طويلة المدى.

3.2 نماذج المكونات الموسمية

يظهر التأثير الموسمي في سلسلة زمنية على "خلفية" الاتجاه ويصبح تحديده ممكنا بعد تقييم أولي للاتجاه. (طرق التحليل الطيفي، التي تجعل من الممكن عزل مساهمة المكون الموسمي في الطيف دون حساب المكونات الأخرى للسلسلة، لا تؤخذ في الاعتبار هنا.) والواقع أن سلسلة متزايدة خطياً من البيانات الشهرية سوف تخلف تأثيرات مماثلة عند نفس النقاط ــ أصغر قيمة في يناير/كانون الثاني وأكبر قيمة في ديسمبر/كانون الأول؛ ومع ذلك، فمن غير المناسب الحديث عن التأثير الموسمي هنا: من خلال القضاء على الاتجاه الخطي، سنحصل على سلسلة تكون فيها الموسمية غائبة تمامًا. في الوقت نفسه، فإن السلسلة التي تصف حجم المبيعات الشهرية لبطاقات رأس السنة الجديدة، على الرغم من أنها ستتمتع بنفس الميزة (الحد الأدنى للمبيعات في يناير والحد الأقصى في ديسمبر)، فمن المرجح أن يكون لها طبيعة متذبذبة بالنسبة للاتجاه، مما يسمح بذلك يتم تحديد التقلبات كتأثير موسمي.

في أبسط الحالات، يمكن أن يظهر التأثير الموسمي في شكل اعتماد دوري صارم.

لأي احد ر، أين ر- الفترة الموسمية.

بشكل عام، القيم مفصولة رقد تكون مرتبطة بالاعتماد الوظيفي، وهذا هو

على سبيل المثال، قد يحتوي التأثير الموسمي نفسه على عنصر الاتجاه، مما يعكس التغير في مدى التقلبات.

إذا كان التأثير الموسمي مضافًا إلى السلسلة، إذن يمكن كتابة نموذج التأثير الموسمي كـ

حيث تكون المتغيرات المنطقية، أو المؤشرات الأخرى، واحدة لكل دورة ساعة خلال الفترة رموسمية. لذلك، بالنسبة لسلسلة من البيانات الشهرية = 0 للجميع ر , باستثناء شهر يناير من كل عام، والذي = 1 وهكذا. يُظهر المعامل انحراف قيم شهر يناير عن الاتجاه - انحراف قيم شهر فبراير وما إلى ذلك حتى . ولإزالة الغموض في قيم المعاملات الموسمية، تم إدخال قيد إضافي، وهو ما يسمى بشرط إعادة المعلمة، عادة

في الحالة التي يكون فيها التأثير الموسمي مضاعفًا بطبيعته، أي

يمكن كتابة نموذج سلسلة باستخدام متغيرات المؤشر

تسمى المعاملات في هذا النموذج عادةً بالمؤشرات الموسمية.

للحصول على سلسلة مضاعفة بالكامل

عادةً ما يتم تنفيذ إجراء الخطية باستخدام عملية اللوغاريتم

دعونا نتفق على تسمية النماذج المعروضة للتأثير الموسمي بـ "الدلالية". إذا كان التأثير الموسمي "سلسًا" تمامًا - قريبًا من التوافقي - فاستخدم التمثيل "التوافقي".

,

أين د- السعة، ث- شروط التردد (بالراديان لكل وحدة زمنية)، أ- مرحلة الموجة. لأن المرحلة عادة ما تكون غير معروفة مقدما. يتم كتابة التعبير الأخير كما

خيارات أو فييمكن تقديرها باستخدام الانحدار عادة. التردد الزاوي ثتعتبر مشهورة. إذا كانت جودة التوافق غير مرضية، إلى جانب التوافقي ثالموجة الأساسية، يتضمن النموذج أيضًا التوافقي الأول (مع ضعف التردد الأساسي 2 ث)، إذا لزم الأمر، والثانية وهكذا التوافقيات. من حيث المبدأ، من بين تمثيلين: المؤشر والمتناغم، يجب عليك اختيار الشكل الذي يتطلب معلمات أقل.

3.3 نموذج التدخل

إن التدخل الذي يمثل تأثيرًا يتجاوز بشكل كبير تقلبات السلسلة يمكن أن يكون ذا طبيعة "دافع" أو "خطوة".

التأثير النبضي قصير الأمد: بمجرد أن يبدأ، ينتهي على الفور تقريبًا. التأثير التدريجي طويل الأمد ومستدام. نموذج التدخل المعمم له الشكل

أين هي قيمة المكون الحتمي للسلسلة، الموصوف بالتدخل؛

نقل معاملات نوع المتوسط.

متغير خارجي لأحد النوعين؛

("الخطوة")، أو ("الدافع")

حيث توجد نقطة زمنية ثابتة تسمى لحظة التدخل.

4. طرق تحديد الاتجاه

مواصفات السلسلة الواردة في الفقرة 3.1 هي دالات حدودية للوقت. يمكن إجراء تقدير المعلمة باستخدام طريقة المربعات الصغرى بنفس الطريقة المستخدمة في تحليل الانحدار. على الرغم من عدم استيفاء المتطلبات الإحصائية لتحليل الانحدار (انظر النقطة) في السلاسل الزمنية في كثير من الأحيان (خاصة النقطة 5 - الاضطرابات غير المرتبطة)، إلا أن تقديرات الاتجاه تصبح مقبولة إذا تم تحديد النموذج بشكل صحيح ولا توجد قيم متطرفة كبيرة بين الملاحظات. لا يؤثر انتهاك افتراضات تحليل الانحدار على تقديرات المعامل بقدر ما يؤثر على خصائصها الإحصائية؛ وعلى وجه الخصوص، يتم تشويه تقديرات تباين المكون العشوائي وفترات الثقة لمعاملات النموذج.

تصف الأدبيات طرق التقدير في ظل ظروف الاضطرابات المترابطة، ولكن تطبيقها يتطلب معلومات إضافية حول الارتباط بين الملاحظات.

المشكلة الرئيسية عند تحديد الاتجاه هي أنه غالبًا ما يكون من المستحيل تحديد مواصفات واحدة لكل شيء مؤقت، نظرًا لتغير ظروف العملية. يعتبر حساب هذا التباين مهمًا بشكل خاص إذا تم حساب الاتجاه لأغراض التنبؤ. وهنا يأتي دور خصوصية السلاسل الزمنية: فالبيانات المتعلقة بـ "الماضي البعيد" ستكون غير ذات صلة أو عديمة الفائدة أو حتى "ضارة" لتقدير معلمات نموذج الفترة الحالية. ولهذا السبب يتم استخدام إجراءات ترجيح البيانات على نطاق واسع في تحليل السلاسل الزمنية.

ولمراعاة تباين الظروف، غالبًا ما يتمتع نموذج السلسلة بخاصية القدرة على التكيف، على الأقل عند مستوى تقديرات المعلمات. تُفهم القدرة على التكيف بمعنى أنه من السهل إعادة حساب تقديرات المعلمات عند توفر ملاحظات جديدة. وبطبيعة الحال، يمكن أيضًا إعطاء طريقة المربعات الصغرى العادية ميزات تكيفية من خلال إعادة حساب التقديرات في كل مرة، بما في ذلك البيانات القديمة بالإضافة إلى الملاحظات الجديدة في عملية الحساب. ومع ذلك، فإن كل عملية إعادة حساب جديدة تؤدي إلى تغيير في التقديرات السابقة، في حين أن الخوارزميات التكيفية خالية من هذا العيب.

4.1 المتوسطات المتحركة

تعد طريقة المتوسط ​​المتحرك واحدة من أقدم الطرق وأكثرها شهرة لتحديد المكون الحتمي للسلسلة الزمنية. جوهر هذه الطريقة هو حساب متوسط ​​السلسلة الأصلية خلال فترة زمنية، يتم تحديد طولها مسبقًا. في هذه الحالة، ينزلق الفاصل الزمني المحدد نفسه على طول الصف، مع إزاحة مقياس واحد إلى اليمين في كل مرة (ومن هنا جاء اسم الطريقة). بسبب المتوسط، من الممكن تقليل تشتت المكون العشوائي بشكل كبير.

تصبح سلسلة القيم الجديدة أكثر سلاسة، ولهذا يسمى هذا الإجراء بتجانس السلاسل الزمنية.

سننظر أولاً في إجراء التجانس لسلسلة تحتوي فقط على مكون الاتجاه، والذي يتم فرض مكون عشوائي عليه بشكل إضافي.

كما هو معروف، يمكن تمثيل الدالة السلسة محليًا على أنها متعددة الحدود بدرجة عالية من الدقة إلى حد ما. دعونا نؤجل من بداية السلسلة الزمنية فترة زمنية طولها (2 م+1) النقاط وبناء متعدد الحدود من الدرجة مللقيم المحددة واستخدم متعدد الحدود هذا لتحديد قيمة الاتجاه في ( م +1 )- النقطة الرابعة، الوسطى، من المجموعة.

من أجل الوضوح، دعونا نبني متعددة الحدود من الدرجة الثالثة لفترة زمنية مكونة من سبع ملاحظات. ولتسهيل إجراء المزيد من التحويلات، نقوم بترقيم اللحظات الزمنية ضمن الفاصل الزمني المحدد بحيث يكون لوسطه قيمة صفر، أي. ر= -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3. لنكتب كثيرة الحدود المطلوبة:

نجد الثوابت باستخدام طريقة المربعات الصغرى:

نحن نفرق بالمعاملات:

;

مجموع الرتب الفردية t من -3 إلى +3 يساوي 0، ويتم تقليل المعادلات إلى النموذج:

باستخدام المعادلتين الأولى والثالثة نحصل على t=0:

ولذلك، فإن قيمة الاتجاه عند هذه النقطة ر= 0 يساوي المتوسط ​​المرجح لسبع نقاط وتكون هذه النقطة هي المركز والأوزان

، والتي يمكن كتابتها بشكل أقصر بسبب التماثل:

.

من أجل حساب قيمة الاتجاه عند النقطة التالية (m+2) من السلسلة الأصلية (الخامسة في حالتنا)، يجب عليك استخدام الصيغة (1)، حيث يتم أخذ قيم الملاحظة من الفاصل الزمني المنزاح علامة واحدة إلى اليمين، وما إلى ذلك. الى حد، الى درجة ن - م .

صيغة عدد النقاط

9 .

خصائص المتوسطات المتحركة:

1) مجموع الأوزان يساوي واحدًا (نظرًا لأن تجانس السلسلة، التي تساوي جميع حدودها نفس الثابت، يجب أن يؤدي إلى نفس الثابت)؛

2) أن تكون الأوزان متناظرة حول القيمة الوسطى؛

3) لا تسمح الصيغ بحساب قيم الاتجاه للقيمتين الأولى والأخيرة من السلسلة؛

4) من الممكن استخلاص صيغ لبناء الاتجاهات على عدد زوجي من النقاط، ولكن هذا من شأنه أن يؤدي إلى قيم الاتجاه في منتصف الخطوات الزمنية. يمكن تحديد قيمة الاتجاه عند نقاط المراقبة في هذه الحالة على أنها نصف مجموع قيمتين متجاورتين للاتجاه.

تجدر الإشارة إلى أنه إذا كان الرقم 2 زوجيًا مدورات في فترة المتوسط ​​(أربع وعشرون ساعة في اليوم، أربعة أسابيع في الشهر، اثني عشر شهرًا في السنة)، يتم ممارسة المتوسط ​​البسيط باستخدام الأوزان على نطاق واسع. فلتكن هناك، على سبيل المثال، ملاحظات في اليوم الأخير من كل شهر من يناير إلى ديسمبر. وببساطة فإن متوسط ​​النقاط المرجحة البالغ 12 نقطة يعطي قيمة الاتجاه في منتصف يوليو. للحصول على قيمة الاتجاه في نهاية شهر يوليو، عليك أن تأخذ متوسط ​​قيمة الاتجاه في منتصف يوليو ومنتصف أغسطس. وتبين أن هذا يعادل متوسط ​​بيانات 13 شهرًا، لكن القيم عند حواف الفاصل الزمني تؤخذ مع الأوزان. لذلك، إذا كانت فترة التجانس تحتوي على الرقم الزوجي 2 منقاط، وليس 2 تشارك في المتوسط م، و 2 مقيم الصف +1:

المتوسطات المتحركة، التي تعمل على تمهيد السلسلة الأصلية، تترك الاتجاه والمكونات الدورية فيها. ينبغي أن يتم اختيار قيمة الفاصل الزمني للتمهيد بناءً على اعتبارات ذات معنى. إذا كانت السلسلة تحتوي على مكون موسمي، فسيتم اختيار قيمة فترة التجانس التي تساوي أو تضاعف الفترة الموسمية. في غياب الموسمية، عادة ما يتم أخذ الفاصل الزمني للتمهيد في حدود ثلاثة إلى سبعة

تأثير سلوتسكي-يول

دعونا نفكر في كيفية تأثير عملية التجانس على المكون العشوائي للسلسلة، والذي سنفترض بالنسبة إليه أنه متمركز وأن الحدود المجاورة للسلسلة غير مترابطة.

المتوسط ​​المتحرك لسلسلة عشوائية سهنالك:

.

بسبب المركزية سولعدم وجود ارتباطات بين أفراد المسلسل الأصلي لدينا:

و .

ومن العلاقات التي تم الحصول عليها يتضح أن المتوسط ​​يؤدي إلى انخفاض في تشتت التذبذبات. بالإضافة إلى ذلك، فإن شروط السلسلة التي تم الحصول عليها نتيجة للمتوسط ​​لم تعد مستقلة. تحتوي السلسلة المشتقة والملساء على ارتباطات تلقائية غير صفرية (الارتباطات بين أعضاء السلسلة مفصولة بملاحظات k-1) حتى ترتيب 2m. وبالتالي، فإن السلسلة المشتقة ستكون أكثر سلاسة من السلسلة العشوائية الأصلية، وقد تظهر تقلبات منتظمة. ويسمى هذا التأثير تأثير سلوتسكي-يول.

4.2 تحديد ترتيب كثيرة الحدود بطريقة الاختلافات المتعاقبة

إذا كانت هناك سلسلة تحتوي على كثيرة الحدود (أو ممثلة محليًا بواسطة كثيرة الحدود) مع عنصر عشوائي متراكب عليها، فسيكون من الطبيعي التحقق مما إذا كان الجزء كثير الحدود لا يمكن حذفه عن طريق حساب الاختلافات المتعاقبة في السلسلة. في الواقع، فإن الاختلافات في كثيرة الحدود من الرتبة k تمثل كثيرة الحدود من الرتبة k-1. علاوة على ذلك، إذا كانت السلسلة تحتوي على كثيرة الحدود من الرتبة p، فإن الانتقال إلى الاختلافات، المتكررة (p+1) مرات، يلغيها ويترك العناصر المرتبطة بالمكون العشوائي للسلسلة الأصلية.

خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، الانتقال إلى الاختلافات في سلسلة تحتوي على كثيرة حدود من الدرجة الثالثة.

0 1 8 27 64 125

6 12 18 24

6 6 6

0 0

يؤدي أخذ الاختلافات إلى تحويل المكون العشوائي في السلسلة.

في الحالة العامة نحصل على:

;

.

من العلاقة الأخيرة التي نحصل عليها

ولذلك فإن طريقة الفروق المتعاقبة للمتغير تتمثل في حساب الأول والثاني والثالث وما إلى ذلك. الاختلافات، تحديد مجموع المربعات، القسمة على، الخ. وكشف اللحظة التي تصبح فيها هذه العلاقة ثابتة. وبهذه الطريقة نحصل على تقديرات لترتيب كثير الحدود الموجود في السلسلة الأصلية وتباين المكون العشوائي.

4.3.طرق التجانس الأسي

تعتمد طرق بناء الوظائف لوصف الملاحظات حتى الآن على معيار المربعات الصغرى، والذي بموجبه يكون لجميع الملاحظات وزن متساوٍ. ومع ذلك، يمكن الافتراض أنه ينبغي إعطاء النقاط الأخيرة وزنًا أكبر إلى حد ما، ويجب أن تكون الملاحظات التي يعود تاريخها إلى الماضي البعيد أقل قيمة بالمقارنة. وإلى حد ما، أخذنا ذلك في الاعتبار في المتوسطات المتحركة ذات الطول المحدود لشريحة المتوسط، حيث لا تعتمد قيم الأوزان المخصصة لمجموعة قيم 2م+1 على القيم السابقة. لننتقل الآن إلى طريقة أخرى لتحديد المزيد من الملاحظات "الأحدث".

دعونا ننظر في سلسلة من الأوزان المتناسبة مع العامل ب، وهي، الخ. حيث أن مجموع الأوزان يجب أن يكون مساوياً لواحد، أي. ، سيكون في الواقع موازين، وما إلى ذلك. (بافتراض 0

4.3.1 التجانس الأسي البسيط

لنفكر في أبسط سلسلة تساوي مجموع المكونات الثابتة (المستوى) والعشوائية:

.

في التعبير المعطى، يتم أخذ التناقضات بين القيم المرصودة للسلسلة وتقدير المستوى مع أوزان متناقصة بشكل كبير اعتمادًا على عمر البيانات.

; ; .

حصل على التصنيف في ذلك الوقت رلنشير إلى ( ر). قيمة ممهدة في الوقت المناسب ريمكن التعبير عنها من خلال القيمة الممهدة في اللحظة السابقة ر-1 والملاحظة الجديدة:

النسبة الناتجة

دعونا نعيد كتابتها بشكل مختلف قليلاً، ونقدم ما يسمى بثابت التجانس (0 £ أ 1 جنيه استرليني).

ومن العلاقة الناتجة يتضح أنه يتم الحصول على القيمة الممهدة الجديدة من القيمة السابقة عن طريق تصحيح الأخيرة لحصة الخطأ وعدم التطابق بين القيم الجديدة والمتوقعة للمتسلسلة. هناك نوع من التكيف لمستوى السلسلة مع البيانات الجديدة.

4.3.2 التجانس الأسي عالي الترتيب

دعونا نعمم طريقة التجانس الأسي على الحالة عندما يتم تحديد نموذج العملية بواسطة دالة خطية. كما كان من قبل، بالنسبة لـ b معين، نقوم بتصغير:

.

(هنا، لسهولة العرض، تم حذف العلامات ~ وÙ).

,

معتبرا أن

, ,

نحن نحصل

دعونا نكتب: .

يمكن اعتبار هذه العملية بمثابة تجانس من الدرجة الأولى. بالقياس، سنقوم ببناء تجانس من الدرجة الثانية:

; .

يمكن تعميم الإجراء الذي تمت مناقشته أعلاه على حالة الاتجاهات متعددة الحدود ذات الرتبة الأعلى n، وفي هذه الحالة ستكون التعبيرات الجبرية أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، إذا تم وصف النموذج بواسطة القطع المكافئ، فسيتم استخدام طريقة التجانس الأسي الثلاثي.

5. تقدير وحذف العنصر الموسمي

يمكن أن تكون المكونات الموسمية ذات أهمية مستقلة أو تعمل كعامل متداخل. في الحالة الأولى، من الضروري أن تكون قادرًا على عزلها عن السلسلة وتقدير معلمات النموذج المقابل. أما بالنسبة لإزالة المكون الموسمي من المسلسل، فهناك عدة طرق ممكنة.

دعونا أولا ننظر في الإجراء الخاص بتقدير التأثيرات الموسمية. دع السلسلة الأصلية تكون مضافة تمامًا، أي

.

من الضروري التقييم بناءً على الملاحظات. وبعبارة أخرى، من الضروري الحصول على تقديرات لمعاملات نموذج المؤشر.

كما ذكرنا سابقًا، يتجلى التأثير الموسمي على خلفية الاتجاه، لذا من الضروري أولاً تقييم عنصر الاتجاه باستخدام إحدى الطرق التي تم النظر فيها. ثم، لكل موسم، يتم حساب جميع الفروق المتعلقة به

حيث، كالعادة، هي القيمة المرصودة للسلسلة، وهي قيمة الاتجاه المقدرة.

يعطي كل من هذه الاختلافات تقديرًا مشتركًا للتأثير الموسمي والمكون العشوائي، والذي يختلف عن التقدير الأصلي بسبب أخذ الاختلافات.

ومن خلال حساب متوسط ​​الاختلافات الناتجة، يتم الحصول على تقديرات للتأثيرات. على افتراض أن السلسلة الأصلية تحتوي على عدد صحيح كلدينا فترات موسمية ونقتصر على متوسط ​​بسيط

مع الأخذ في الاعتبار شرط إعادة القياس، الذي يتطلب أن يكون مجموع التأثيرات الموسمية مساوياً للصفر، نحصل على تقديرات معدلة

.

في حالة التأثير الموسمي المضاعف، عندما يكون لنموذج السلسلة الشكل

,

ولم يعودوا يحسبون الفروق، بل النسب

.

يتم تقييم المؤشر الموسمي بالمتوسط

.

ومن الناحية العملية، يُعتقد أنه من أجل تقييم التأثيرات الموسمية، يجب أن تحتوي السلسلة الزمنية على خمس إلى ست فترات موسمية على الأقل.

لننتقل الآن إلى طرق إزالة التأثير الموسمي من السلسلة. هناك طريقتان من هذا القبيل. دعونا نسمي الأول "ما بعد الاتجاه". إنها نتيجة منطقية لإجراءات التقييم التي تمت مناقشتها أعلاه. بالنسبة للنموذج الإضافي، يتم تقليل إزالة المكون الموسمي إلى طرح المكون الموسمي المقدر من السلسلة الأصلية. بالنسبة للنموذج الضربي، يتم تقسيم قيم السلسلة على المؤشرات الموسمية المقابلة.

ولا تتطلب الطريقة الثانية تقييمًا أوليًا للاتجاه أو للمكونات الموسمية، ولكنها تعتمد على استخدام عوامل الاختلاف.

مشغلي الفرق.

عند دراسة السلاسل الزمنية، غالبًا ما يكون من الممكن تمثيل الوظائف الحتمية للوقت من خلال معادلات تكرارية بسيطة. على سبيل المثال، الاتجاه الخطي

يمكن كتابتها كما

يتم الحصول على العلاقة الأخيرة من (1) عن طريق مقارنة قيمتين من المتسلسلة للحظات المتجاورة ر-1 و ر. مع الأخذ في الاعتبار أن العلاقة (2) صالحة أيضًا للحظات ر-2 و ر - 1، لذلك ، كما يمكن كتابة النموذج (1) بالشكل

النموذج (3) لا يحتوي بشكل صريح على معلمات تصف الاتجاه. يمكن وصف التحويلات الموصوفة بشكل أكثر إحكاما باستخدام عوامل الفرق

يمكن كتابة النموذجين (2) و (3) على النحو التالي

وتبين أن فرق الدرجة الثانية يستبعد تماما الاتجاه الخطي من السلسلة الأصلية. فمن السهل أن نرى أن الفرق في الطلب ديستبعد الاتجاه متعدد الحدود للنظام من السلسلة د-1. لندع الآن السلسلة تحتوي على تأثير موسمي بفترة ر، لذا

إجراءات الانتقال من السلسلة ( ر = 1,2,...,ت) إلى سلسلة تسمى أخذ الفرق الموسمي الأول، والمشغل هو عامل فرق موسمي بنقطة ر. ومن (٤) يأتي ذلك

وتبين أن أخذ الفرق الموسمي يلغي أي مكون موسمي حتمي من السلسلة الزمنية.

في بعض الأحيان يكون المشغلون الموسميون ذوو الترتيب الأعلى مفيدًا. وبالتالي، عامل موسمي من الدرجة الثانية مع الفترة رهنالك

إذا كانت السلسلة تحتوي على اتجاه ومكون موسمي، فيمكن التخلص منهما عن طريق تطبيق عوامل التشغيل و بشكل تسلسلي.

من السهل توضيح أن الترتيب الذي يتم به تطبيق عوامل التشغيل هذه ليس مهمًا:

ونلاحظ أيضًا أن الاتجاه الحتمي يتكون من اتجاه ومكون موسمي، بعد تطبيق العوامل وينحط تمامًا، أي. ومع ذلك، عند كتابة المعادلة الأخيرة في الصورة المتكررة، نحصل على ذلك

من العلاقة الأخيرة يتضح كيف يمكن أن تستمر السلسلة إلى أجل غير مسمى، على الأقل ر+1 قيم متتالية.

6. نماذج المكون العشوائي للسلسلة الزمنية

النظام الزمني للسلسلة الخطية

لتسهيل العرض، نتفق على الإشارة إلى المتغيرات العشوائية هنا كما هو معتاد في الإحصائيات الرياضية - بأحرف صغيرة.

بعملية عشوائية X ( ر ) في المجموعة T هي دالة تكون قيمها عشوائية لكل منها رهو - هي. إذا كانت عناصر T قابلة للعد (زمن منفصل)، فغالبًا ما تسمى العملية العشوائية بالتسلسل العشوائي.

يتضمن الوصف الرياضي الكامل لعملية عشوائية تحديد نظام وظائف التوزيع:

- لكل راو تي، (1)

- لكل زوج من العناصر

وبشكل عام لأي عدد محدود من العناصر

تسمى الوظائف (1)، (2)، (3) بالتوزيعات ذات الأبعاد المحدودة لعملية عشوائية.

يكاد يكون من المستحيل بناء مثل هذا النظام من الوظائف لعملية عشوائية تعسفية. عادة، يتم تحديد العمليات العشوائية باستخدام افتراضات مسبقة حول خصائصها، مثل استقلالية الزيادات، والطبيعة الماركوفية للمسارات، وما إلى ذلك.

تسمى العملية التي تكون فيها جميع التوزيعات محدودة الأبعاد طبيعية (غاوسية). لقد اتضح أنه للحصول على وصف كامل لمثل هذه العملية، فإن معرفة التوزيعات أحادية وثنائية الأبعاد (1)، (2) كافية، وهو أمر مهم من وجهة نظر عملية، لأنه يسمح لنا بالاقتصار على دراسة التوقع الرياضي ووظيفة الارتباط للعملية.

في نظرية السلاسل الزمنية، يتم استخدام عدد من نماذج المكونات العشوائية، بدءًا من أبسطها - "الضوضاء البيضاء"، إلى أنواع معقدة جدًا من الانحدار الذاتي - المتوسط ​​المتحرك وغيرها، والتي تم بناؤها على أساس الضوضاء البيضاء.

قبل تحديد عملية الضوضاء البيضاء، ضع في اعتبارك سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة التي تكون لها وظيفة التوزيع

ويترتب على العلاقة الأخيرة أن جميع التوزيعات ذات الأبعاد المحدودة للتسلسل يتم تحديدها باستخدام توزيعات أحادية البعد.

علاوة على ذلك، إذا كانت المتغيرات العشوائية المكونة لها في مثل هذا التسلسل X (ر) ليس لها أي توقعات رياضية ويتم توزيعها بشكل مماثل للجميع رÎT، إذن هذه "الضوضاء البيضاء". في حالة التوزيع الطبيعي X (ر) الحديث عن الضوضاء البيضاء الغوسية. لذا، فإن الضوضاء البيضاء الغوسية هي سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل طبيعي مع توقع رياضي صفر ونفس التباين (الإجمالي).

النماذج الأكثر تعقيدًا، المستخدمة على نطاق واسع في نظرية وممارسة تحليل السلاسل الزمنية، هي نماذج خطية: عمليات المتوسط ​​المتحرك، والانحدار الذاتي، والعمليات المختلطة.

عملية المتوسط ​​المتحرك سيمثل مجموعًا مرجحًا للاضطرابات العشوائية:

أين - متغيرات عشوائية مستقلة موزعة بالتساوي (الضوضاء البيضاء)؛

- المعاملات العددية.

من السهل أن نرى من التعريف أن عملية المتوسط ​​المتحرك لها نظام س(مختصر CC( س)) تعتمد إحصائيا هي ( س+1) كميات متتالية X (ر), X (ر -1),..., X (ر - س). يتباعد أعضاء السلسلة بأكثر من ( س+1) الساعة، مستقلة إحصائيًا، نظرًا لأن المصطلحات المختلفة تشارك في تكوينها.

حيث يوجد اضطراب عشوائي يعمل في اللحظة الحالية ر ;

- المعاملات العددية.

التعبير بشكل ثابت وفقا للعلاقة (5) X(ر-1) من خلال X(ر-2)، . . . , X(ت-ع-1)، إذن X(ر-2) من خلال X(ر-3)، . . . , X(ر-ص-2)، الخ. لقد حصلنا على ذلك X(ر) هو مجموع لا حصر له من الاضطرابات الماضية ويترتب على ذلك أن شروط عملية الانحدار الذاتي X(ر) و X(t-k) تعتمد إحصائيًا على أي ك .

غالبًا ما تسمى العملية AP(1) بعملية ماركوف، وAP(2) هي عملية Yule. في الحالة العامة، تسمى عملية ماركوف عملية يتم تحديد مستقبلها فقط من خلال حالتها في الحاضر والتأثيرات على العملية التي ستمارس في المستقبل، في حين أن حالتها حتى اللحظة الحالية غير مهمة. عملية AP(1)

هو ماركوفيان، حيث أن حالته في أي لحظة يتم تحديدها من خلال قيم العملية إذا كانت القيمة في هذه اللحظة معروفة. من الناحية الرسمية، يمكن أيضًا اعتبار عملية الانحدار الذاتي للنظام التعسفي ماركوفية إذا كانت حالتها في الوقت الحالي رعد مجموعة

(X(ر)، X(ر-1)، . . . , X(ت-ص-١)) .

نماذج SS، AR، بالإضافة إلى تكوينها: الانحدار الذاتي - نماذج المتوسط ​​المتحرك تتم مناقشتها بشكل أكبر (القسم 10.1.5). نلاحظ فقط أنها تبدو جميعها حالات خاصة للنموذج الخطي العام

أين معاملات الترجيح التي عددها بشكل عام لا نهائي.

من بين نماذج المكون العشوائي، سنسلط الضوء على فئة مهمة - العمليات الثابتة، تلك التي لا تتغير خصائصها بمرور الوقت. تسمى العملية العشوائية Y(t) بالثابتة إن وجدت نتوزيعات المتغيرات العشوائية ومتطابقة. بمعنى آخر، لا تتغير وظائف التوزيعات محدودة الأبعاد مع التحول الزمني:

يتم توزيع المتغيرات العشوائية التي تشكل التسلسل الثابت بالتساوي، وبالتالي فإن عملية الضوضاء البيضاء المحددة أعلاه ثابتة.

7. الخصائص العددية للمكون العشوائي

عند تحليل السلاسل الزمنية يتم استخدام خصائص عددية مشابهة لتلك الخاصة بالمتغيرات العشوائية:

– التوقع الرياضي (متوسط ​​قيمة العملية)

;

- وظيفة التغاير الذاتي

- تشتت

- الانحراف المعياري

- وظيفة الارتباط الذاتي

- وظيفة الارتباط الذاتي الجزئي

لاحظ أنه في مشغل الدالة يحدث المتوسط ​​عند ثابت رأي أن هناك توقعًا رياضيًا لمجموعة من الإنجازات (بشكل عام، تلك المحتملة، حيث "لا يمكنك دخول نهر الزمن مرتين").

دعونا نفكر في الخصائص العددية المقدمة للعمليات الثابتة. من تعريف الثبات يتبع ذلك بالنسبة لأي س , رو

وضع = - ر، نحن نحصل

(1)

اتضح أنه بالنسبة للعملية الثابتة، فإن التوقع الرياضي والتباين هما نفس الشيء بالنسبة لأي عملية ثابتة ر، ولا تعتمد وظائف التباين الذاتي والارتباط الذاتي على اللحظة الزمنية سأو رولكن فقط على اختلافهم (تأخر).

لاحظ أن استيفاء الخصائص (1) لا يعني بعد الثبات بمعنى التعريف الوارد في البند 6. ومع ذلك، فإن ثبات اللحظات الأولين، وكذلك اعتماد وظيفة الارتباط الذاتي فقط على التأخر، يعكس بالتأكيد بعض ثبات العملية مع مرور الوقت. إذا تم استيفاء الشروط (1)، يقال أن العملية ثابتة بالمعنى الواسع، في حين أن الشروط () مستوفاة تعني ثابتة بالمعنى الضيق (الصارم).

ينبغي تفسير تعريف الضوضاء البيضاء الوارد أعلاه بالمعنى الضيق. من الناحية العملية، غالبًا ما تقتصر على الضوضاء البيضاء بالمعنى الواسع، والتي تُفهم على أنها سلسلة زمنية (عملية عشوائية) حيث =0 و

لاحظ أن العملية الغوسية، الثابتة بالمعنى الضيق، هي أيضًا ثابتة بالمعنى الواسع.

من الأسهل بكثير الحكم على السكون بالمعنى الواسع. ولهذا الغرض، يتم استخدام معايير إحصائية مختلفة، بناءً على تحقيق واحد لعملية عشوائية.

8. تقييم الخصائص العددية للسلسلة الزمنية

يتطلب تقدير الخصائص العددية لسلسلة زمنية عشوائية في كل لحظة زمنية مجموعة من الإنجازات (المسارات) للعملية العشوائية المقابلة. على الرغم من أن الوقت غير قابل للتكرار، إلا أن ظروف العملية يمكن اعتبارها قابلة للتكرار في بعض الأحيان. وهذا أمر نموذجي بشكل خاص للتطبيقات التقنية، على سبيل المثال، تقلبات الجهد في الشبكة الكهربائية خلال النهار. يمكن اعتبار السلاسل الزمنية التي تمت ملاحظتها في أيام مختلفة بمثابة تطبيقات مستقلة لعملية عشوائية واحدة.

يختلف الوضع عند دراسة العمليات ذات الطبيعة الاجتماعية والاقتصادية. كقاعدة عامة، يتوفر هنا تنفيذ واحد فقط للعملية، ولا يمكن تكراره. وبالتالي، فإنه من المستحيل الحصول على تقديرات للمتوسط ​​والتباين والتباين. ومع ذلك، بالنسبة للعمليات الثابتة، لا تزال هذه التقديرات ممكنة. لتكن القيم المرصودة للسلسلة الزمنية عند لحظات على التوالي. يمكن أن يكون التقدير التقليدي للمتوسط ​​بمثابة تقدير للتوقع الرياضي لعملية عشوائية ثابتة (بالمعنى الواسع).

ومن الواضح أن مثل هذا التقدير لسلسلة ثابتة سيكون غير متحيز. يتم تحديد اتساق هذا التقدير من خلال نظرية سلوتسكي، والتي تتطلب، كشرط ضروري وكاف، ما يلي:

,

أين هي وظيفة الارتباط التلقائي للعملية.

دقة تقدير المتوسط ​​تعتمد على الطول نصف. ومن رأى أن طوله نيجب أن يكون دائمًا ما لا يقل عن ما يسمى بوقت الارتباط، والذي يُفهم على أنه القيمة

ضخامة تيعطي فكرة عن ترتيب حجم الفترة الزمنية التي يبقى خلالها ارتباط ملحوظ بين قيمتين من السلسلة.

دعونا الآن نفكر في الحصول على تقديرات لقيم دالة الارتباط التلقائي. كما كان من قبل، هذه هي القيم المرصودة للسلسلة الزمنية. لنشكل ( ن-1) قدم المساواة. ويمكن اعتبار هذه الأزواج بمثابة عينة من متغيرين عشوائيين يمكن من أجلهما تحديد تقدير لمعامل الارتباط القياسي. ثم سنؤلف ( ن-2) أزواج وتحديد التصنيف، الخ. وبما أن حجم العينة يتغير أثناء الحساب التالي، فإن قيمة المتوسط ​​والانحراف المعياري لمجموعة القيم المقابلة تتغير. للتبسيط، من المعتاد قياس جميع المتغيرات بالنسبة لمتوسط ​​قيمة السلسلة بأكملها واستبدال حدود التشتت في المقام بتشتت السلسلة ككل، أي

,

حيث هو المتوسط، يساوي .

ككل نالاختلافات في التقديرات ضئيلة. في الممارسة كلا يتقاضون المزيد ن /4.

إذا تم اعتبار السلسلة بمثابة مجتمع عام ذو طول لا نهائي، فإننا نتحدث عن الارتباطات الذاتية (النظرية) ونشير إليها. تحتوي مجموعة من المعاملات أو معاملات العينة المقابلة لها على معلومات قيمة للغاية حول البنية الداخلية للسلسلة. مجموعة من معاملات الارتباط المرسومة على الرسم البياني مع الإحداثيات ك(التأخر) على طول المحور السيني وإما على طول المحور الإحداثي يسمى مخطط الارتباط (نظري أو نموذجي، على التوالي).

تم الحصول على خصائص تقدير الدقة للعمليات الغوسية. وعلى وجه الخصوص، بالنسبة للضوضاء البيضاء الغوسية، التي تكون جميع الارتباطات فيها صفرًا. وتبين أن التوقع الرياضي للضوضاء البيضاء الغوسية لا يساوي الصفر، أي أن التقدير متحيز. يتناقص حجم التحيز مع زيادة حجم العينة وليس مهمًا جدًا في التحليل التطبيقي.

التقدير طبيعي مقارب عند ، مما يوفر أساسًا لبناء فاصل ثقة تقريبي. الفاصل الزمني المستخدم على نطاق واسع بنسبة 95٪ هو .

تسمى حدود فترة الثقة المرسومة على الرسم البياني بأنبوب الثقة. إذا لم يتجاوز المخطط الارتباطي لبعض العمليات العشوائية أنبوب الثقة، فإن هذه العملية تكون قريبة من الضوضاء البيضاء. صحيح أن هذا الشرط لا يمكن اعتباره إلا كافيا. في كثير من الأحيان، تحتوي عينة الارتباط من الضوضاء البيضاء الغوسية على واحد أو حتى اثنين من القيم المتطرفة من بين التقديرات العشرين الأولى، مما يعقد بطبيعة الحال تفسير مثل هذا الارتباط.

جنبا إلى جنب مع وظيفة الارتباط التلقائي، عند تحليل هيكل سلسلة زمنية عشوائية، يتم استخدام وظيفة الارتباط الذاتي الجزئي، وقيمها هي معاملات الارتباط الجزئي.

9. معايير فحص السلسلة للعشوائية، خالية من قانون التوزيع

إن أبسط فرضية يمكن طرحها فيما يتعلق بسلسلة متقلبة ليس لها اتجاه محدد بوضوح هي افتراض أن التقلبات عشوائية. في السلسلة العشوائية، وفقًا للفرضية، تكون الملاحظات مستقلة ويمكن أن تظهر بأي ترتيب. لاختبار العشوائية، من المستحسن استخدام معيار لا يتطلب أي قيود على نوع توزيع السكان الذي يفترض أن يتم استخلاص القيم المرصودة منه.

1. معيار نقطة التحوليتكون من حساب القمم (القيم التي تكون أكبر من القيمتين المتجاورتين) والقيعان (القيم التي تكون أقل من القيمتين المتجاورتين). خذ بعين الاعتبار المتسلسلة y 1 ,...,y N .

حوض الذروة

ذ ر-1< y t >ذ ر+1 ذ ر-1 > ذ ر< y t+1

ذ t-1 ذ t y t+1 ذ t-1 ذ t y t+1

أرز. نقطة تحول.

مطلوب ثلاث قيم متتالية لتحديد نقطة التحول. لا يمكن أن تكون قيم البداية والنهاية نقاط تحول، حيث أن y 0 و y N+1 غير معروفين. إذا كانت السلسلة عشوائية، فإن هذه القيم الثلاث يمكن أن تحدث في أي من الطلبات الستة المحتملة باحتمال متساو. أربعة منها فقط سيكون لها نقطة تحول، أي عندما تكون أكبر أو أصغر القيم الثلاث في المنتصف. ولذلك فإن احتمال العثور على نقطة تحول في أي مجموعة من ثلاث قيم هو 2/3.

أرز. خيارات للموقف النسبي لثلاث نقاط.

بالنسبة لمجموعة من الكميات N، نحدد متغيرًا قابلاً للعد X.

م 1، إذا ذ t-1< y t >ذ t+1 أو ذ t-1 > ذ t< y t+1

«0» وإلا.

إذن فإن عدد نقاط التحول p في السلسلة هو ببساطة، وتوقعها الرياضي هو M[p]=2/3(N-2). يتم حساب تباين عدد نقاط التحول باستخدام الصيغة D[p]=(16N-29)/90، ويكون التوزيع نفسه قريبًا من المعدل الطبيعي.

2. المعيار على أساس تحديد طول المرحلة

الفترة الفاصلة بين نقطتي تحول تسمى المرحلة. من أجل إثبات وجود مرحلة بطول d (تصاعدي مثلاً)، من الضروري الكشف عن حدود d+3 تحتوي على انخفاض من الحد الأول إلى الثاني، ثم صعود متتابع إلى (d+2) الحد الرابع والنقصان إلى (د+3) -قضيبه.

1 2 3 4 د+1 د+2 د+3 ن

أرز. 3. طول المرحلة د.

خذ بعين الاعتبار مجموعة من أرقام d+3 مرتبة ترتيبًا تصاعديًا. إذا، دون لمس الحدين المتطرفين، استخرجنا زوجًا من الأرقام من d+1 المتبقي ووضعنا أحدهما في البداية والآخر في النهاية، فسنحصل على مرحلة بطول d. هناك طرق لاختيار زوج من الأرقام بهذه الطريقة ويمكن وضع كل عضو في الزوج في أي نهاية، وبالتالي فإن عدد المراحل التصاعدية يساوي d(d+1).

بالإضافة إلى ذلك، ستحدث نقاط التحول إذا تم وضع الحد الأول من التسلسل في النهاية، وتم وضع أي من الحدود المتبقية، باستثناء الثانية، في البداية. سيكون عدد هذه التسلسلات ( د +1) . سيتم الحصول على نفس العدد من التسلسلات إذا تم وضع الحد الأخير في الأصل، وهو تسلسل متزايد في البداية، وأي شيء آخر، باستثناء الأخير، في النهاية. لتجنب العد المزدوج، يجب استبعاد الحالة التي يتم فيها وضع الحد الأول في المركز الأخير والأخير في المكان الأول. وهكذا بالتسلسل من ( د +3) الأرقام مع طول المرحلة دسيكون عدد حالات الزيادة

د (د +1)+2(د +1)-1 =+3د +1 .

عدد التسلسلات الممكنة من ( د +3) الأرقام تساوي عدد التباديل ( د +3) !، لذا فإن احتمال حدوث مرحلة تصاعدية أو تنازلية هو

في سلسلة بطول N، يمكن تحديد مجموعات N-2-d المكونة من أعضاء d+3 على التوالي. الذي - التي. التوقع الرياضي لعدد أطوار الطول د

.

ويمكن إثبات أن التوقع الرياضي لإجمالي عدد أطوار الطول من 1 إلى N-3

.

3 .المعيار بناء على علامات الاختلافات

يتكون هذا المعيار من حساب عدد الفروق الإيجابية من الدرجة الأولى في السلسلة، وبعبارة أخرى، عدد النقاط المتزايدة في السلسلة. بالنسبة لسلسلة من مصطلحات N نحصل على اختلافات N-1. دعونا نحدد متغير العد كما

إذا كنا الآن نشير بـ مععدد النقاط المتزايدة لسلسلة عشوائية

.

يميل التوزيع إلى الطبيعي بسرعة كبيرة مع التباين

.

في الأساس، يوصى باستخدام هذا المعيار للتحقق من وجود اتجاه خطي. من ناحية أخرى، فإن المعيار المعتمد على نقاط التحول غير مناسب للكشف عن الاتجاه لأنه إن فرض تقلبات عشوائية ملحوظة على اتجاه معتدل يؤدي إلى نفس عدد نقاط التحول تقريبًا كما هو الحال في غياب الاتجاه. هناك اختبار أكثر تقدمًا ولكنه أكثر تعقيدًا لاكتشاف الاتجاه الخطي وهو التراجع y على t واختبار أهمية معامل الانحدار.

4.المعيار على أساس مقارنات الرتب

يمكن تطوير فكرة مقارنة القيم المجاورة في سلسلة إلى مقارنة جميع القيم. بالنسبة لسلسلة معينة، نحسب عدد الحالات التي يتجاوز فيها العضو التالي في السلسلة جميع الحالات اللاحقة. في المجمل هناك أزواج N(N-1) للمقارنة. يترك نتجاوز العدد الإجمالي للحالات. احسب معامل ارتباط رتبة كندال

.

فإذا كان هذا المعامل معنويا وإيجابيا فإن المتسلسلة تتزايد وإذا كانت سالبة فهي متناقصة.

10. التحليل النظري للمركب العشوائي الثابت ذو الشكل الخطي

يعتبر نموذج خطي عام لعملية عشوائية

أين الضوضاء البيضاء

- معاملات الترجيح.

تذكر أن =0،،،

دعونا نقدم عامل التحول خطوة واحدة إلى الوراء في :

متعددة (على وجه التحديد ي-متعددة) تطبيق المشغل في، يُشار إليه بـ، يعطي مع الأخذ في الاعتبار التدوين المقدم، يمكن كتابة النموذج الخطي العام كـ

أين هو المشغل الخطي.

لنجد دالة التوقع الرياضي والتباين والتباين الذاتي للعملية (1):

;

لكي يكون النموذج منطقيًا، يجب أن يكون التباين محدودًا، أي أنه من المفترض أن تتقارب السلسلة.

بالإضافة إلى ذلك، من المفترض أن ما يسمى بشرط الرجوع يتضمن ما يلي:

,

حيث بدلا من فيتظهر الأعداد المركبة. هذا الشرط يعني وجود عامل معكوس

حيث، وهذا هو، على هذا النحو

بتوسيع المنتج في التعبير الأخير، وتجميع الحدود المتجانسة ومساواتها بالصفر، نحصل على تعبيرات لتحديد المعاملات. لذا، وما إلى ذلك وهلم جرا.

بضرب () في على اليسار، نحصل على أنه يمكن كتابة العملية العكسية على النحو التالي

الإدخال (2) يتوافق مع مخطط الانحدار الذاتي ذو الترتيب اللانهائي. ويمكن تفسير هذه النسبة نفسها كمتنبئ خطي لجميع القيم السابقة للسلسلة الزمنية، ويمكن تفسير المصطلح على أنه خطأ عشوائي لهذا المتنبئ. إذا كانت جميع القيم السابقة للسلسلة معروفة، فباستخدام النموذج (2) يمكن التنبؤ بالقيمة المستقبلية للسلسلة.

10.1\. نماذج الانحدار الذاتي

دعونا ننظر بمزيد من التفصيل في نماذج المكونات العشوائية، وهي حالات خاصة من النموذج الخطي العام، وهي الانحدار الذاتي والمتوسط ​​المتحرك والنماذج المختلطة، والتي تستخدم على نطاق واسع في الممارسة العملية.

نموذج AR(1) له الشكل

سوف يأخذ النموذج النموذج

يعتبر مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي مع مقام أ فيلقد حصلنا على ذلك

وبالتالي فإن عملية ماركوف هي حالة خاصة من النموذج الخطي العام، الذي تتغير معاملاته وفقا لقانون التقدم الهندسي، أي.

ويمكن أيضًا الحصول على التعبير (2) من (1) مباشرةً، أو التعبير من خلال، أو من خلال، وما إلى ذلك.

التباين وفقا ل () هو

اتضح أن الضوضاء البيضاء مع التشتت تولد عملية عشوائية في مخطط ماركوف مع زيادة التشتت تساوي .

للعثور على دالة التغاير الذاتي لعملية ماركوف، يمكنك استخدام التعبير العام (). ومع ذلك، فإن المسار التالي أكثر وضوحا. دعونا نضرب المعادلة (1) لعملية ماركوف ونأخذ التوقع الرياضي

وبما أن الحد الثاني في الطرف الأيمن يساوي صفراً بسبب الطبيعة غير المرتبطة للاضطراب في اللحظة الحالية مع القيم السابقة للمتسلسلة، فإننا نحصل على

(بسبب الثبات)

من العلاقة الأخيرة لدينا

,

إنه أيتزامن مع معامل الارتباط الذاتي لمتوسطات السلسلة. دعونا الآن نضرب (1) ونأخذ التوقع الرياضي:

استبدال أبواسطة والقسمة على ، نحصل على

إعطاء كالقيم 2،3،... نحصل عليها

لذلك، في عملية ماركوف، يمكن التعبير عن جميع الارتباطات الذاتية بدلالة الارتباط الذاتي الأول. منذ ذلك الحين، تتناقص وظيفة الارتباط الذاتي لعملية ماركوف بشكل كبير مع النمو ك .

دعونا الآن نفكر في وظيفة الارتباط الذاتي الجزئي لعملية ماركوف. لقد وجدنا أن العلاقة بين حدين من السلسلة مفصولة بدورتين على مدار الساعة، أي بين ويتم التعبير عنها بالقيمة. لكن ذلك يعتمد على وعلى. السؤال الذي يطرح نفسه هو ما إذا كان الاعتماد بين وسيظل إذا تم التخلص من الاعتماد على الحد المتوسط. معامل الارتباط الجزئي المقابل هو

.

بسبب ال ، البسط هو صفر. وبالمثل، يمكن إثبات أن معاملات الارتباط الجزئي لأعضاء السلسلة، مفصولة بـ 3، 4، وهكذا، تساوي أيضًا الصفر. وبالتالي، فإن الارتباط الذاتي موجود فقط بسبب ارتباط المصطلحات المجاورة، والذي يتبع النموذج الرياضي لعملية ماركوف.

في ختام نظرنا في نموذج AR(1)، نلاحظ أنه كثيرًا ما يستخدم في الأبحاث الاقتصادية والرياضية لوصف بقايا الانحدار الخطي الذي يربط المؤشرات الاقتصادية.

باستخدام عامل التحول فيسيتم كتابة النموذج كما

,

تعتمد خصائص النموذج على الجذور ومتعددة الحدود

والتي يمكن كتابتها أيضًا في النموذج

(1-في)(1-في)=0.

لكي تكون العملية (1) ثابتة، من الضروري أن تكون الجذور وتقع داخل دائرة الوحدة (في حالة الجذور المركبة) أو أن تكون أقل من الوحدة (في حالة الجذور الحقيقية)، وهذا ما يتم ضمانه عندما .

دعهم يكونون صالحين ومختلفين. دعونا نقسمها إلى كسور بسيطة

, (3)

أين .

وبالنظر إلى المصطلحات الفردية في (3) كمجموعات من التقدمات الهندسية اللانهائية، نحصل عليها

وتبين أن AR(2) هي حالة خاصة من النموذج الخطي العام () مع المعاملات

دعونا الآن نفكر في وظيفة الارتباط التلقائي لعملية Yule. دعونا نضرب (1) بدوره في و، ونأخذ التوقعات الرياضية ونقسمها. ونتيجة لذلك نحصل

هذه المعادلات كافية لتحديد من خلال الارتباطين الذاتيين الأولين، وعلى العكس من ذلك، باستخدام تلك المعروفة التي يمكن العثور عليها.

الآن بضرب (1) نحصل على المعادلة المتكررة

والتي يمكن من خلالها العثور على الارتباطات التلقائية عالية الترتيب من خلال الارتباطات التلقائية الأولى. وبالتالي، يتم تحديد Correlogram لعملية Yule بالكامل.

دعونا نفحص شكل الارتباط لعملية AR (2).

يمكن اعتبار التعبير (4) بمثابة معادلة فرق من الدرجة الثانية فيما يتعلق بـ صبمعاملات ثابتة.

الحل العام لمثل هذه المعادلة له الشكل

,

أين هي جذور المعادلة المميزة

(5)

من السهل أن نرى أن المعادلتين (2) و (5) متكافئتان حتى الاستبدال فيعلى ضوتقسيم الطرفين على بحيث تتطابق جذور هذه المعادلات، أي

الحل العام لمعادلة الفرق (4) هو

(6)

أين هي المعاملات أو فيوجدت من الشروط الحدودية في ي=0 و ي =1.

وبالتالي، في حالة الجذور الحقيقية، يكون الارتباط AP(2)، كما يمكن رؤيته من (6)، عبارة عن خليط من أسيين مخمدين.

في حالة اكتمال الجذور، يتبين أن الارتباط التوافقي للعملية AR(2) هو توافقي مخمد.

دعونا الآن نفكر في كيفية تصرف وظيفة الارتباط الذاتي الجزئي لعملية Yule. فقط المعامل الذي يساوي يختلف عن الصفر. الارتباطات الجزئية للأوامر العليا تساوي الصفر (ستتم مناقشة هذه العملية بمزيد من التفصيل لاحقًا). وبالتالي، يتم قطع الارتباط الجزئي للعملية مباشرة بعد تأخر يساوي واحدًا.

وفي الختام نلاحظ أن نماذج AR(2) تبين أنها مقبولة في وصف السلوك ذو الطبيعة الدورية والذي نموذجه الأولي هو البندول الذي يتأثر بنبضات عشوائية صغيرة. إن سعة ومرحلة هذه العملية التذبذبية سوف تتغير طوال الوقت.

يتكون حل التعبير الفرقي (1) أو () بالنسبة لـ y من جزأين: الحل العام الذي يحتوي على رثوابت اعتباطية، وحل معين. هناك حل عام

حيث - هناك معاملات ثابتة،

(ي =1,2,...,ر) هي جذور المعادلة المميزة.

تحدث ثبات السلسلة (2) إذا كان لجذور المعادلة (3) معامل أقل من واحد. بمعنى آخر، يجب أن تقع الجذور داخل دائرة الوحدة. وبافتراض أن السلسلة لها تاريخ طويل بما فيه الكفاية، يمكن إهمال الحل العام (2) بسبب التوهين.

الحل المتكرر، كما يتبين من ()، هو

العلاقة الأخيرة هي شكل من أشكال تمثيل عملية الانحدار الذاتي في شكل نموذج خطي عام.

نضرب المعادلة (1) في ، ونأخذ التوقع الرياضي ونقسمه على التوالي. نحصل على نظام المعادلات لمعاملات الارتباط:

, ك =1, 2, ..., ص (4)

مع الأخذ في الاعتبار ذلك، وإدخال تدوين المصفوفة

,

نكتب (4) في النموذج

بنسلفانيا = ص (5)

نظام المعادلات (5) يسمى نظام يول ووكر. ومنه نجد ذلك

أ = ص (6)

وبالتالي، بمعرفة الارتباطات التلقائية الأولى لسلسلة زمنية، يمكن للمرء العثور على ارتباطات تلقائية ذات ترتيب أعلى من (3)، أي استعادة وظيفة الارتباط التلقائي بالكامل (والتي تمت ملاحظتها بالفعل عند تحليل العمليات AR(1) وAR(2) ).

يعتمد سلوك دالة الارتباط الذاتي على جذور كثيرة الحدود المميزة. عادة ما يكون الارتباط لعملية AR ( ر) يتكون من مجموعة من الجيوب الأنفية المبللة.

إذا كانت العملية AP(2) تحتوي على ارتباط تلقائي جزئي لحدود السلسلة مفصولة بحدين أو أكثر يساوي الصفر، فإن العملية AP( ر) الارتباطات الذاتية من الرتبة p والأعلى تساوي الصفر. اتضح أن الارتباط الجزئي لعملية AR ( ر) يجب أن تساوي الصفر ابتداءً من لحظة معينة. ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن هذه الحقيقة تنطبق على سلسلة لا نهاية لها. بالنسبة للتطبيقات المحدودة، غالبًا ما يكون من الصعب الإشارة إلى نقطة انقطاع المخطط الارتباطي.

لذلك، بالنسبة للعملية AP( ر) تنتهي وظيفة الارتباط الذاتي الجزئي عند التأخير ر، بينما تتناقص وظيفة الارتباط التلقائي بسلاسة.

10.1.4 عمليات المتوسط ​​المتحرك

النموذج الخطي المعمم لعمليات المتوسط ​​المتحرك يحتوي فقط على عدد محدود من المصطلحات، أي في (): =0 ك > س .

النموذج يأخذ الشكل

(1)

(في(1) يتم إعادة تصميم المعاملات بواسطة.)

تحدد العلاقة (1) عملية أمر المتوسط ​​المتحرك س، أو اختصار SS( س). شرط الرجوع () للعملية SS( س) راض إذا كانت جذور كثير الحدود ب (في) تقع خارج دائرة الوحدة.

دعونا نجد تباين العملية SS( س):

جميع المنتجات المختلطة من هذا النوع تساوي الصفر بسبب الطبيعة غير المترابطة للاضطرابات في أوقات مختلفة. للعثور على وظيفة الارتباط التلقائي لعملية CC ( س) اضرب (1) بالتسلسل وخذ التوقع الرياضي

على الجانب الأيمن من التعبير (2) ستبقى فقط تلك المصطلحات التي تتوافق مع نفس الخطوات الزمنية (انظر الشكل)

وبالتالي فإن التعبير (2) هو

(3)

بقسمة (3) على نحصل على

(4)

حقيقة أن وظيفة الارتباط التلقائي للعملية CC (q) لها مدى محدود ( سدورات الساعة) هي سمة مميزة لمثل هذه العملية. إذا كانت معروفة، فيمكن من حيث المبدأ حل (4) فيما يتعلق بالمعلمات. المعادلات (4) غير خطية وفي الحالة العامة لها عدة حلول، لكن شرط الانعكاس يختار دائمًا حلاً واحدًا.

كما ذكرنا سابقًا، يمكن اعتبار عمليات SS القابلة للعكس بمثابة عمليات AP لا نهائية -AP(¥). وبالتالي، فإن وظيفة الارتباط الذاتي الجزئي لعملية CC( ر) له مدى لانهائي. لذلك، عملية CC( س) تنتهي وظيفة الارتباط التلقائي عند التأخير س، بينما تتناقص وظيفة الارتباط الذاتي الجزئي بسلاسة.

على الرغم من أن نماذج الواقع المعزز ( ر) و سس ( س) يمكن أن يكون من الممكن وصف العديد من العمليات الحقيقية؛ ولتحقيق قدر أكبر من المرونة والفعالية من حيث التكلفة في الوصف عند اختيار النماذج للسلاسل الزمنية المرصودة، أثبتت النماذج المختلطة التي تحتوي على كل من الانحدار الذاتي والمتوسط ​​المتحرك أنها مفيدة للغاية. تم اقتراح هذه النماذج من قبل بوكس ​​وجينكينز وتم تسميتها بنموذج المتوسط ​​المتحرك الانحداري (المختصر ARMC) ص، س)):

باستخدام عامل التحول فييمكن تقديم النموذج (1) بشكل أكثر إحكاما:

, ()

ب (في)-مشغل متوسط ​​الطلب المتحرك س .

يمكن أيضًا كتابة النموذج () على النحو التالي:

دعونا نفكر في أبسط عملية مختلطة ARSS(1,1)

وفق

(2)

من العلاقة (2) يتضح أن نموذج ARCC(1,1) هو حالة خاصة من النموذج الخطي العام () ذو المعاملات (ي >0)

من (2) يسهل الحصول على تعبير للتباين:

للحصول على دالة الارتباط، سوف نستخدم نفس التقنية المستخدمة عند تحليل نماذج الانحدار الذاتي. دعونا نضرب كلا الجزأين من نموذج تمثيل العملية ARSS(1,1)

على واتخاذ التوقع الرياضي:

أو (مع مراعاة أن الحد الثاني على يمين المساواة يساوي صفراً)

بقسمة التباين على التباين نحصل على تعبيرات للارتباط الذاتي

تظهر العلاقات الناتجة أنه يتناقص بشكل كبير من القيمة الأولية، اعتمادًا على و، وإذا >، فإن التوهين يكون رتيبًا؛ في< – затухание колебательное.

وبالمثل، يمكن بناء دالة الارتباط الذاتي لنموذج ARCC العام ( ص، س).

دعونا نضرب جميع الحدود (1) في . لنأخذ التوقع الرياضي ونتيجة لذلك نحصل على معادلة الفرق التالية.

أين هي وظيفة التغاير المتبادل بين ذو . منذ الاضطرابات في الوقت الراهن روقيم المتسلسلة في اللحظات الماضية (cm(2)) غير مرتبطة، 0 لـ k>0.

ويترتب على ذلك بالنسبة للقيم س+1 التباين التلقائي والارتباط التلقائي يفي بنفس العلاقات كما في نموذج AR ( ر):

ونتيجة لذلك، اتضح أنه عندما س <р سيتم التعبير عن وظيفة الارتباط الذاتي بأكملها من خلال مجموعة من الأسيات المخمدات و/أو الموجات الجيبية المخمدة، وعندما س > صسوف س - صالقيم التي تسقط من هذا المخطط.

يمكن تعميم نموذج ARSS على الحالة التي تكون فيها العملية العشوائية غير ثابتة. ومن الأمثلة الصارخة على هذه العملية "المشي العشوائي":

باستخدام عامل التحول، يأخذ النموذج (1) النموذج

(2)

ومن (2) يتضح أن العملية (1) متباينة، إذ . المعادلة المميزة لهذه العملية لها جذر يساوي الوحدة، أي أن هناك حالة حدودية عندما يكون جذر المعادلة المميزة على حدود دائرة الوحدة. في الوقت نفسه، إذا ذهبنا إلى الاختلافات الأولى، فستكون العملية ثابتة.

في الحالة العامة، من المفترض أن عامل الانحدار الذاتي غير الثابت في نموذج ARCC له جذر واحد أو أكثر يساوي واحدًا. وبعبارة أخرى، هو عامل الانحدار الذاتي غير الثابت للنظام ص + د ; دجذور المعادلة =0 تساوي واحدًا، والباقي رتقع الجذور خارج دائرة الوحدة. ثم يمكننا أن نكتب ذلك

,

أين أ (ب) - مشغل الانحدار الذاتي الثابت للنظام ر(مع جذور خارج دائرة الوحدة).

دعونا نقدم عامل فرق مثل =(1- ب) ، فسيتم كتابة العملية غير الثابتة ARSS كـ

, (3)

أين ب (ب) هو عامل متوسط ​​متحرك قابل للعكس (جذوره تقع خارج دائرة الوحدة).

لاختلاف الطلب د، أي النموذج

يصف العملية العكسية الثابتة بالفعل ARSS( ص، س).

من أجل العودة من سلسلة الاختلافات إلى السلسلة الأصلية، مطلوب عامل التشغيل س، يعكس:

يُسمى هذا العامل عامل الجمع لأنه

إذا كان الاختلاف الأولي هو الترتيب د، ثم ستحتاج إلى استعادة السلسلة الأصلية د- التكرار المتعدد للمشغل س , خلاف ذلك د- الجمع المتعدد (التكامل). لذلك، تسمى العملية (3) عادةً بعملية ARISS، مع إضافة المصطلح المدمج إلى ARISS. باختصار، النموذج (3) مكتوب باسم ARISS( ص، د , س)، أين ر- ترتيب الانحدار الذاتي، د- ترتيب الفرق، س- ترتيب المتوسط ​​المتحرك. ومن الواضح أنه عندما د=0 ينتقل نموذج ARISS إلى نموذج ARSS.

في الممارسة دعادة لا يتجاوز اثنين، وهذا هو د .

يسمح نموذج ARISS بتمثيل مماثل للنموذج الخطي العام، وكذلك في شكل عملية انحدار ذاتي "خالصة" (ذات ترتيب لا نهائي). لنأخذ على سبيل المثال عملية ARISS (1، 1، 1):

ومن (٤) يأتي ذلك

في التعبير (5)، يتم حساب المعاملات بدءاً من الثالث باستخدام الصيغة.

التمثيل (5) مثير للاهتمام لأن الأوزان ابتداء من الثالث تنخفض بشكل كبير. لذلك، على الرغم من أن ذلك يعتمد رسميًا على جميع القيم السابقة، إلا أن العديد من القيم "الحديثة" للسلسلة ستقدم مساهمة حقيقية في القيمة الحالية. ولذلك فإن المعادلة (5) هي الأكثر ملائمة للتنبؤ.

11.التنبؤ باستخدام نموذج أريس

كما ذكرنا سابقًا، يمكن تمثيل عمليات ARISS في شكل نموذج خطي معمم، أي

من الطبيعي البحث عن القيمة المستقبلية (المتوقعة) للسلسلة في الوقت الحالي بالشكل

القيمة المتوقعة، والتي سوف نشير إليها

=

يحتوي المبلغ الأول على الجانب الأيمن من العلاقة الأخيرة على الاضطرابات المستقبلية فقط (يتم التنبؤ في الوقت الحالي ر، عندما تكون القيم السابقة لكل من المتسلسلة والاضطرابات معروفة) ويكون التوقع الرياضي لها يساوي 0 حسب التعريف. أما بالنسبة للفصل الثاني، فقد حدثت الاضطرابات هنا بالفعل، لذا

هكذا

خطأ التنبؤ، الذي يمثل التناقض بين قيمة التنبؤ وتوقعاتها، هو

=

تباين الخطأ من هنا هو

إن التنبؤ باستخدام العلاقة (1) ممكن من حيث المبدأ، ولكنه صعب لأنه يتطلب معرفة جميع الاضطرابات الماضية. بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة للسلاسل الثابتة، غالبًا ما يكون معدل الانحلال غير كافٍ، ناهيك عن العمليات غير الثابتة التي تتباعد فيها السلسلة.

وبما أن نموذج ARISS يسمح أيضًا بتمثيلات أخرى، فسننظر في إمكانية استخدامها للتنبؤ. دع النموذج يُعطى مباشرة بواسطة معادلة الفرق

بناءً على القيم المعروفة للسلسلة (نتائج الرصد) والقيم التقديرية للاضطرابات، استنادا إلى الصيغة المتكررة (3)، ويمكن تقدير القيمة المتوقعة للسلسلة في الوقت الراهن ر +1:

عند التنبؤ بخطوتين، يجب استخدام علاقة التكرار مرة أخرى (3)، حيث تكون القيمة المرصودة للسلسلة في الوقت الحالي ريجب أن يأخذ +1 القيمة المتوقعة بواسطة (4)، أي، وهكذا.

أخيرًا، يمكن التنبؤ بناءً على تمثيل عملية ARISS في شكل الانحدار الذاتي (). كما ذكرنا سابقًا، على الرغم من أن ترتيب الانحدار الذاتي لا نهائي، فإن معاملات الترجيح في تمثيل السلسلة تنخفض بسرعة كبيرة، لذا فإن عددًا معتدلاً من القيم السابقة للسلسلة يكفي لحساب التوقعات.

تباين خطأ التنبؤ للخطوات المقبلة هو

وبحسب التعبير (2) يُعطى بالتعبير

بافتراض أن الاضطرابات العشوائية هي ضوضاء بيضاء غاوسية، أي أنه يمكننا النظر في فاصل الثقة للقيمة المتوقعة للسلسلة بطريقة قياسية.

12. تكنولوجيا بناء نماذج ARISS

تم بناء المخططات النظرية الموضحة أعلاه على افتراض أن السلسلة الزمنية لها فترة ما قبل التاريخ لا نهائية، بينما في الواقع يتوفر قدر محدود من الملاحظات للباحث. يجب اختيار النموذج تجريبيا وملاءمته مع البيانات المتاحة. لذلك، من وجهة نظر التطبيق النظري لنظرية تحليل السلاسل الزمنية، فإن قضايا المواصفات الصحيحة لنموذج ARISS لها أهمية حاسمة ( ص , د , س) (تحديده) والتقييم اللاحق لمعلماته.

في مرحلة التحديد، يتم استخدام البيانات المرصودة لتحديد فئة مناسبة من النماذج ويتم عمل تقديرات أولية لمعلماتها، أي يتم بناء نموذج تجريبي. ومن ثم يتم ملاءمة النموذج التجريبي مع البيانات بعناية أكبر؛ في هذه الحالة، تكون التقديرات الأولية التي تم الحصول عليها في مرحلة التحديد بمثابة قيم أولية في خوارزميات تقدير المعلمات التكرارية. وأخيرًا، في المرحلة الثالثة، يخضع النموذج الناتج للاختبار التشخيصي لتحديد عدم كفاية النموذج وإجراء التغييرات المناسبة فيه، دعونا نفكر في المراحل المذكورة بمزيد من التفصيل.

تحديد النموذج

الغرض من التحديد هو الحصول على فكرة عن الكميات ص , د , سوحول المعلمات النموذجية. ينقسم تحديد النموذج إلى مرحلتين

1. تحديد ترتيب الفرق دالسلسلة الأصلية.

2. التعرف على نموذج ARSS لعدد من الاختلافات.

الأداة الرئيسية المستخدمة في كلا المرحلتين هي وظائف الارتباط الذاتي والارتباط الذاتي الجزئي.

في الجزء النظري رأينا أنه بالنسبة للنماذج الثابتة فإن الارتباطات الذاتية تتناقص مع الزيادة كبسرعة كبيرة (حسب قانون الارتباط). إذا كانت وظيفة الارتباط الذاتي تتحلل ببطء وبشكل خطي تقريبًا، فهذا يشير إلى أن العملية غير ثابتة، ومع ذلك، ربما يكون اختلافها الأول ثابتًا.

وبعد إنشاء مخطط ارتباطي لعدد من الاختلافات، يتم تكرار التحليل مرة أخرى، وهكذا. ومن رأى أنه ترتيب الفرق ديتم تحقيق ضمان الثبات عندما تنخفض وظيفة الارتباط التلقائي للعملية بسرعة كبيرة. في الممارسة العملية، يكفي أن ننظر إلى حوالي 15-20 قيمة الارتباط التلقائي الأولى للسلسلة الأصلية، والاختلافات الأولى والثانية.

بعد الحصول على سلسلة ثابتة من الاختلافات من الرتبة d، يتم دراسة الشكل العام لوظائف الارتباط الذاتي والارتباط الذاتي الجزئي لهذه الاختلافات. واستنادا إلى الخصائص النظرية لهذه الوظائف، يمكنك اختيار القيم صو سلمشغلي AP وCC. التالي مع المحدد صو سيتم إنشاء التقديرات الأولية لمعلمات الانحدار الذاتي والمتوسط ​​المتحرك ب=(). بالنسبة لعمليات الانحدار الذاتي، يتم استخدام معادلات Yule-Walker، حيث يتم استبدال الارتباطات الذاتية النظرية بتقديرات العينات الخاصة بها. لتحريك عمليات الطلب المتوسط سفقط الأوائل ستختلف الارتباطات الذاتية عن الصفر ويمكن التعبير عنها من خلال المعلمات (انظر). واستبدالها بتقديرات العينة وحل المعادلات الناتجة عنها نحصل على التقدير. ويمكن استخدام هذه التقديرات الأولية كبذور للحصول على تقديرات أكثر كفاءة في الخطوات التالية.

بالنسبة لعمليات APCC المختلطة، تصبح إجراءات التقييم أكثر تعقيدًا. لذلك، بالنسبة لعملية ARSS(1,1) التي تم النظر فيها في الفقرة 1، يتم الحصول على المعلمات، وبشكل أكثر دقة، تقديراتها، من () مع الاستبدال وتقديرات العينات الخاصة بها.

في الحالة العامة، حساب التقديرات الأولية لعملية ARCC ( ص , س) يمثل إجراء متعدد الخطوات ولم تتم مناقشته هنا. نلاحظ فقط أنه من الناحية العملية، فإن عمليات AR وSS للترتيبين الأول والثاني وأبسط عملية مختلطة ARCC(1,1) لها أهمية خاصة.

في الختام، نلاحظ أن تقديرات الارتباطات الذاتية، التي تعتمد عليها إجراءات تحديد الهوية، يمكن أن يكون لها تباينات كبيرة (خاصة في ظروف عدم كفاية حجم العينة - عدة عشرات من الملاحظات) وتكون مترابطة بشكل كبير. لذلك، ليست هناك حاجة للحديث عن المراسلات الصارمة بين وظائف الارتباط الذاتي النظرية والتجريبية. وهذا يؤدي إلى صعوبات عند الاختيار ص , د , س , ولذلك، يمكن اختيار نماذج متعددة لمزيد من الدراسة.

نظام السلاسل الزمنية الخطية

تم النشر على http://www.