Conceptul de prezentare a modelului matematic. Prezentare pentru lecția „întocmirea modelelor matematice”. Bazele modelării matematice

Slide 3

Modelare matematică

aceasta este o descriere aproximativă a unei clase de fenomene, exprimată în limbajul unei teorii matematice (folosind un sistem de ecuații și inecuații algebrice, ecuații diferențiale sau integrale, funcții, un sistem de propoziții geometrice, vectori etc.).

Slide 4

Clasificarea modelului

Clasificarea formală a modelelor Clasificarea formală a modelelor se bazează pe clasificarea instrumentelor matematice utilizate. Adesea construită sub formă de dihotomii. De exemplu, unul dintre seturile populare de dihotomii este: Modele liniare sau neliniare[; Sisteme concentrate sau distribuite; Determinist sau stocastic; Static sau dinamic; Discret sau continuu. și așa mai departe. Fiecare model construit este liniar sau neliniar, determinist sau stocastic,... Desigur, sunt posibile și tipuri mixte: concentrate într-o privință (din punct de vedere al parametrilor), distribuite în alta etc.

Slide 5

Clasificare după metoda de reprezentare a unui obiect Modele structurale sau funcționale Modelele structurale reprezintă un obiect ca sistem cu structură și mecanism de funcționare proprii. Modelele funcționale nu folosesc astfel de reprezentări și reflectă doar comportamentul (funcționarea) perceput extern al unui obiect. În expresia lor extremă, ele sunt numite și modele „cutie neagră”. Sunt posibile și tipuri combinate de modele, care uneori sunt numite modele „cutie gri”.

Slide 6

Modele substantive și formale Aproape toți autorii care descriu procesul de modelare matematică indică faptul că mai întâi se construiește o structură ideală specială, un model de fond. Iar construcția matematică finală se numește model formal sau pur și simplu model matematic obținut ca urmare a formalizării acestui model semnificativ. Construcția unui model semnificativ se poate face folosind un set de idealizări gata făcute, adică acestea oferă elemente structurale gata făcute pentru modelarea semnificativă.

Slide 7

Slide 8

Tip 1: Ipoteza (s-ar putea întâmpla)

Aceste modele „reprezintă o descriere tentativă a unui fenomen, iar autorul fie crede în posibilitatea acestuia, fie chiar îl consideră adevărat”. Nicio ipoteză în știință nu poate fi dovedită o dată pentru totdeauna. Richard Feynman a formulat foarte clar acest lucru: Dacă se construiește un model de primul tip, aceasta înseamnă că este recunoscut temporar ca adevăr și te poți concentra asupra altor probleme. Totuși, acesta nu poate fi un punct în cercetare, ci doar o pauză temporară: statutul unui model de primul tip nu poate fi decât temporar.

Slide 9

Tipul 2: Model fenomenologic (se comportă ca și cum...)

Modelele fenomenologice au statut de soluții temporare. Se crede că răspunsul este încă necunoscut, iar căutarea „mecanismelor adevărate” trebuie să continue. Rolul modelului în cercetare se poate schimba în timp și se poate întâmpla ca noi date și teorii să confirme modelele fenomenologice și să fie promovate la statutul de ipoteză. La fel, noile cunoștințe pot intra treptat în conflict cu modelele-ipoteze de primul tip și pot fi traduse în al doilea.

Slide 10

Tipul 3: Aproximare (considerăm ceva foarte mare sau foarte mic)

Dacă se pot construi ecuații care descriu sistemul studiat, asta nu înseamnă că pot fi rezolvate chiar și cu ajutorul unui calculator. O tehnică comună în acest caz este utilizarea aproximărilor (modele de tip 3). Printre acestea se numără modele de răspuns liniar. Ecuațiile sunt înlocuite cu unele liniare.

Slide 11

Tip 4: Simplificare (vom omite câteva detalii pentru claritate)

Într-un model de tip 4, detaliile care pot afecta în mod semnificativ și nu întotdeauna controlabil rezultatul sunt eliminate. Aceleași ecuații pot servi ca model de tip 3 (aproximare) sau 4 (vom omite câteva detalii pentru claritate) - asta depinde de fenomenul pe care modelul este folosit pentru a-l studia. Deci, dacă modelele de răspuns liniar sunt utilizate în absența unor modele mai complexe, atunci acestea sunt deja modele liniare fenomenologice.

Slide 12

Tip 5: model euristic (nu există dovezi cantitative, dar modelul oferă o perspectivă mai profundă)

Modelul euristic păstrează doar o similitudine calitativă cu realitatea și face predicții doar „în ordinea mărimii”. Acesta oferă formule simple pentru coeficienții de vâscozitate, difuzie și conductivitate termică, care sunt în concordanță cu realitatea în ordinea mărimii.

Slide 13

Tip 6: Analogie (să luăm în considerare doar câteva caracteristici)

Similaritate, egalitate de relații; asemănarea obiectelor, fenomenelor, proceselor, cantităților..., în orice proprietăți, precum și cunoașterea luând în considerare doar unele trăsături.

Slide 14

Tip 7: experiment de gândire (principalul este să infirmi posibilitatea)

un tip de activitate cognitivă în care o situație cheie pentru o anumită teorie științifică este jucată nu într-un experiment real, ci în imaginație. În unele cazuri, un experiment de gândire dezvăluie contradicții între teorie și „conștiința obișnuită”, ceea ce nu este întotdeauna o dovadă că teoria este incorectă.

Slide 15

Tipul 8: Demonstrarea oportunității (principalul este de a arăta consistența internă a oportunității)

Acestea sunt, de asemenea, experimente gândite cu entități imaginare, care demonstrează că presupusul fenomen este consecvent cu principiile de bază și consecvent intern. Aceasta este principala diferență față de modelele de tip 7, care dezvăluie contradicții ascunse. Clasificarea conținutului se bazează pe etapele premergătoare analizei și calculelor matematice. Opt tipuri de modele conform lui R. Peierls sunt opt tipuri de posturi de cercetare în modelare.

Slide 16

Principalele etape ale modelării matematice

1. Construirea unui model. În această etapă, este specificat un obiect „non-matematic” - un fenomen natural, proiectare, plan economic, proces de producție etc. În acest caz, de regulă, o descriere clară a situației este dificilă. În primul rând, sunt identificate principalele trăsături ale fenomenului și conexiunile dintre ele la nivel calitativ. Apoi dependențele calitative găsite sunt formulate în limbajul matematicii, adică se construiește un model matematic. Aceasta este cea mai dificilă etapă a modelării.

Slide 17

2. Rezolvarea problemei matematice la care duce modelul. În această etapă, se acordă multă atenție dezvoltării algoritmilor și metodelor numerice de rezolvare a problemei pe un computer, cu ajutorul cărora rezultatul poate fi găsit cu precizia necesară și într-un timp acceptabil. 3. Interpretarea consecinţelor obţinute din modelul matematic. Consecințele derivate din modelul în limbajul matematicii sunt interpretate în limbajul acceptat în domeniu.

Slide 18

4. Verificarea adecvării modelului. În această etapă, se determină dacă rezultatele experimentale sunt de acord cu consecințele teoretice ale modelului cu o anumită acuratețe. 5. Modificarea modelului. În această etapă, fie modelul este complicat astfel încât să fie mai adecvat realității, fie este simplificat pentru a obține o soluție practic acceptabilă.

Slide 19

Trebuie îndeplinite următoarele cerințe:

modelul trebuie să reflecte în mod adecvat cele mai semnificative (din punct de vedere al unei anumite formulări a problemei) proprietăți ale obiectului, făcând abstracție de proprietățile sale neimportante; modelul trebuie să aibă o anumită gamă de aplicabilitate, determinată de ipotezele adoptate în timpul construcției sale; modelul ar trebui să permită obținerea de noi cunoștințe despre obiectul studiat.

Slide 20

VĂ MULȚUMIM PENTRU ATENȚIE

Vizualizați toate diapozitivele

Literatură 1. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Modelare matematică: Idei. Metode. Exemple – M.: Nauka, Volkov E. A. Metode numerice. – M.: Nauka, Turchak L.I. Fundamentele metodelor numerice. – M.: Nauka, Kopchenova N.V., Maron I.A. Matematică computațională în exemple și probleme. – M.: Nauka, 1972.

Puțină istorie de la manipularea obiectelor până la manipularea conceptelor despre obiecte; înlocuirea obiectului, procesului sau fenomenului studiat cu un echivalent mai simplu și mai accesibil pentru cercetare; imposibilitatea luării în considerare a întregului set de factori care determină proprietățile și comportamentul obiectului

Rolul modelelor Clădirea este urâtă, fragilă sau nu se încadrează în peisajul înconjurător Demonstrarea sistemelor circulatorii în natură este inumană Tensiunile, de exemplu în aripi, pot fi prea mari Colectarea circuitelor electrice pentru măsurători este neeconomică

Relația dintre model și original Crearea unui model implică păstrarea unor proprietăți ale originalului, iar aceste proprietăți pot fi diferite în diferite modele. Clădirea din carton este mult mai mică decât cea reală, dar ne permite să-i judecăm aspectul; posterul face ca sistemul circulator să fie de înțeles, deși nu are nicio legătură cu organele și țesuturile; Modelul aeronavei nu zboară, dar tensiunile din corpul său corespund condițiilor de zbor.

De ce să folosiți modele? 1. Modelul este mai accesibil pentru cercetare decât un obiect real, 2. Este mai ușor și mai ieftin să studiezi un model decât obiectele reale, 3. unele obiecte nu pot fi studiate direct: nu este încă posibil, de exemplu, să construiești un dispozitiv pentru fuziune termonucleară sau efectuarea de experimente în adâncurile stelelor, 4. experimentele cu trecutul sunt imposibile, experimentele cu economie sau experimente sociale sunt inacceptabile

Scopul modelelor 1. Folosind un model, puteți identifica cei mai importanți factori care modelează proprietățile unui obiect. Deoarece modelul reflectă doar unele caracteristici ale obiectului original, prin variarea setului acestor caracteristici în cadrul modelului, este posibil să se determine gradul de influență a anumitor factori asupra adecvării comportamentului modelului.

Este nevoie de un model: 1. Pentru a înțelege cum este structurat un anumit obiect: care este structura lui, proprietățile, legile dezvoltării și interacțiunii cu lumea exterioară. 2. Pentru a învăța cum să gestionați un obiect sau un proces și să determinați cele mai bune metode de management pentru obiectivele și criteriile date. 3. Pentru a prezice comportamentul unui obiect și a evalua consecințele diferitelor metode și forme de impact asupra obiectului (modele meteorologice, modele de dezvoltare a biosferei).

Proprietatea unui model corect Un model bun construit corect are o proprietate remarcabilă: studiul său permite obținerea de noi cunoștințe despre obiect - original, în ciuda faptului că doar unele caracteristici de bază ale originalului au fost folosite pentru a crea modelul.

Modelarea materialului Modelul reproduce caracteristicile de bază geometrice, fizice, dinamice și funcționale ale obiectului studiat, atunci când obiectul real este comparat cu copia lui mărită sau redusă, permițând cercetarea în condiții de laborator cu transferul ulterior al proprietăților proceselor și fenomenele fiind studiate de la model la obiect pe baza teoriei asemănării (planetarium, modele de clădiri și aparate etc.). Procesul de cercetare în acest caz este strâns legat de impactul material asupra modelului, adică constă într-un experiment la scară completă. Astfel, modelarea materialelor este prin natura sa o metodă experimentală.

Tipuri de modelare ideală Intuitiv - modelarea obiectelor care nu pot fi formalizate sau nu au nevoie de ea. Experiența de viață a unei persoane poate fi considerată modelul său intuitiv al lumii din jurul său.Semn - modelare care folosește transformări de semne de diferite tipuri ca modele: diagrame, grafice, desene, formule etc și care conține un set de legi după care poți opera cu elementele modelului

Modelarea matematică, studiul unui obiect se realizează pe baza unui model formulat în limbajul matematicii și studiat folosind anumite metode matematice.Modelarea matematică este un domeniu al științei care se ocupă cu modelarea fenomenelor naturale, tehnologiei, economice și viața socială folosind aparate matematice și, în prezent, implementarea acestor modele folosind un calculator

Clasificarea mat. modele După scop: simulare de optimizare descriptivă După natura ecuațiilor: liniar neliniar Prin luarea în considerare a modificărilor sistemului în timp: dinamic static După proprietatea domeniului de definire a argumentelor: continuu discret După natura procesului: stocastică deterministă

Descrierea prezentării prin diapozitive individuale:

1 tobogan

Descrierea diapozitivei:

2 tobogan

Descrierea diapozitivei:

Un model matematic este o reprezentare matematică a realității, una dintre variantele unui model ca sistem, al cărui studiu permite obținerea de informații despre un alt sistem. Procesul de construire și studiere a modelelor matematice se numește modelare matematică. Toate științele naturale și sociale care folosesc aparatura matematică sunt în mod esențial angajate în modelarea matematică: ele înlocuiesc obiectul de studiu cu modelul său matematic și apoi îl studiază pe acesta din urmă. Legătura dintre un model matematic și realitate se realizează folosind un lanț de ipoteze, idealizări și simplificări. Folosind metode matematice, de regulă, este descris un obiect ideal construit în stadiul de modelare semnificativă. Informații generale

3 slide

Descrierea diapozitivei:

Nicio definiție nu poate acoperi pe deplin activitatea actuală a modelării matematice. În ciuda acestui fapt, definițiile sunt utile prin aceea că încearcă să evidențieze cele mai esențiale caracteristici. Potrivit lui Lyapunov, modelarea matematică este un studiu practic sau teoretic indirect al unui obiect, în care nu obiectul în sine ne interesează cel care este studiat în mod direct, ci un sistem (model) auxiliar artificial sau natural, care se află într-o corespondență obiectivă. cu obiectul cognoscibil, capabil să-l înlocuiască în anumite privințe și, în timpul studiului său, să ofere în cele din urmă informații despre obiectul modelat în sine. În alte versiuni, un model matematic este definit ca un obiect substitut pentru obiectul original, oferind studiul anumitor proprietăți ale originalului, ca „un „echivalent” al unui obiect, reflectând în formă matematică proprietățile sale cele mai importante - legile pentru de care se supune, conexiunile inerente părților sale constitutive”, ca un sistem de ecuații, sau relații aritmetice, sau figuri geometrice, sau o combinație a ambelor, al căror studiu prin intermediul matematicii ar trebui să răspundă la întrebările puse despre proprietățile un anumit set de proprietăți ale unui obiect din lumea reală, ca un set de relații matematice, ecuații, inegalități care descriu modelele de bază inerente procesului, obiectului sau sistemului studiat. Definiții

4 slide

Descrierea diapozitivei:

Clasificarea formală a modelelor se bazează pe clasificarea instrumentelor matematice utilizate. Adesea construită sub formă de dihotomii. De exemplu, unul dintre seturile populare de dihotomii este: Modele liniare sau neliniare; Sisteme concentrate sau distribuite; Determinist sau stocastic; Static sau dinamic; Discret sau continuu și așa mai departe. Fiecare model construit este liniar sau neliniar, determinist sau stocastic,... Desigur, sunt posibile și tipuri mixte: concentrate într-o privință (din punct de vedere al parametrilor), modele distribuite în alta, etc. Clasificarea formală a modelelor

5 slide

Descrierea diapozitivei:

Alături de clasificarea formală, modelele diferă prin modul în care reprezintă un obiect: Modele structurale sau funcționale. Modelele structurale reprezintă un obiect ca sistem cu structură proprie și mecanism de funcționare. Modelele funcționale nu folosesc astfel de reprezentări și reflectă doar comportamentul (funcționarea) perceput extern al unui obiect. În expresia lor extremă, ele sunt numite și modele „cutie neagră”. Sunt posibile și tipuri combinate de modele, care uneori sunt numite modele „cutie gri”. Modelele matematice ale sistemelor complexe pot fi împărțite în trei tipuri: modele cutie neagră (fenomenologice), modele cutie gri (un amestec de modele fenomenologice și mecanice), modele cutie albă (mecanistice, axiomatice). Reprezentarea schematică a modelelor de casete negre, casete gri și casete albe Clasificare în funcție de modul în care este reprezentat obiectul

6 diapozitiv

Descrierea diapozitivei:

Aproape toți autorii care descriu procesul de modelare matematică indică faptul că mai întâi se construiește o structură ideală specială, un model semnificativ. Nu există o terminologie stabilită aici, iar alți autori numesc acest obiect ideal un model conceptual, un model speculativ sau un pre-model. În acest caz, construcția matematică finală se numește model formal sau pur și simplu model matematic obținut ca urmare a formalizării acestui model semnificativ (pre-model). Construcția unui model semnificativ se poate face folosind un set de idealizări gata făcute, ca în mecanică, unde arcuri ideale, corpuri rigide, penduluri ideale, medii elastice etc. oferă elemente structurale gata făcute pentru o modelare semnificativă. Cu toate acestea, în domeniile de cunoaștere în care nu există teorii formalizate complet finalizate (de vârf în fizică, biologie, economie, sociologie, psihologie și majoritatea altor domenii), crearea de modele semnificative devine dramatic mai dificilă. Conținut și modele formale

7 slide

Descrierea diapozitivei:

Lucrarea lui Peierls oferă o clasificare a modelelor matematice utilizate în fizică și, mai larg, în științele naturii. În cartea lui A. N. Gorban și R. G. Khlebopros, această clasificare este analizată și extinsă. Această clasificare se concentrează în primul rând pe etapa construirii unui model semnificativ. Modelele de ipoteză de primul tip - ipoteze („acest lucru ar putea fi”), „reprezintă o descriere tentativă a unui fenomen, iar autorul fie crede în posibilitatea acestuia, fie chiar îl consideră adevărat”. Potrivit lui Peierls, acestea sunt, de exemplu, modelul ptolemaic al sistemului solar și modelul copernican (îmbunătățit de Kepler), modelul atomic Rutherford și modelul Big Bang. Ipotezele model în știință nu pot fi dovedite o dată pentru totdeauna; putem vorbi doar despre respingerea sau neinfirmarea lor ca urmare a unui experiment. Dacă se construiește un model de primul tip, aceasta înseamnă că este acceptat temporar ca adevăr și se poate concentra asupra altor probleme. Totuși, acesta nu poate fi un punct în cercetare, ci doar o pauză temporară: statutul unui model de primul tip nu poate fi decât temporar. Modelul fenomenologic Al doilea tip este modelul fenomenologic („ne comportăm ca și cum...”), conține un mecanism de descriere a fenomenului, deși acest mecanism nu este suficient de convingător, nu poate fi suficient confirmat de datele disponibile sau nu se potrivește. bine cu teoriile existente și cunoștințele acumulate despre obiect . Prin urmare, modelele fenomenologice au statut de soluții temporare. Se crede că răspunsul este încă necunoscut, iar căutarea „mecanismelor adevărate” trebuie să continue. Peierls include, de exemplu, modelul caloric și modelul cuarc al particulelor elementare ca al doilea tip. Rolul modelului în cercetare se poate schimba în timp și se poate întâmpla ca noi date și teorii să confirme modelele fenomenologice și să fie promovate la statutul de ipoteză. În mod similar, noile cunoștințe pot intra treptat în conflict cu modelele de ipoteză de primul tip și pot fi traduse în al doilea. Clasificarea conținutului modelelor

8 slide

Descrierea diapozitivei:

Astfel, modelul cuarcilor trece treptat în categoria ipotezelor; atomismul în fizică a apărut ca o soluție temporară, dar odată cu cursul istoriei a devenit primul tip. Dar modelele eterice și-au făcut drum de la tipul 1 la tipul 2 și sunt acum în afara științei. Ideea simplificării este foarte populară atunci când construiești modele. Dar simplificarea vine sub diferite forme. Peierls identifică trei tipuri de simplificări în modelare. Aproximarea Al treilea tip de modele este aproximarea („considerăm ceva foarte mare sau foarte mic”). Dacă se pot construi ecuații care descriu sistemul studiat, asta nu înseamnă că pot fi rezolvate chiar și cu ajutorul unui calculator. O tehnică comună în acest caz este utilizarea aproximărilor (modele de tip 3). Printre acestea se numără modelele de răspuns liniar. Ecuațiile sunt înlocuite cu unele liniare. Un exemplu standard este legea lui Ohm. Dacă folosim modelul de gaz ideal pentru a descrie gazele suficient de rarefiate, atunci acesta este un model de tip 3 (aproximație). La densități mai mari de gaz, este de asemenea util să ne imaginăm o situație mai simplă cu un gaz ideal pentru înțelegere și evaluări calitative, dar atunci acesta este deja tipul 4. Simplificare Al patrulea tip este simplificarea („vom omite câteva detalii pentru claritate”), în acest tip, detalii care pot afecta în mod semnificativ și nu întotdeauna controlabil rezultatul. Aceleași ecuații pot servi ca model de tip 3 (aproximare) sau 4 (vom omite câteva detalii pentru claritate) - asta depinde de fenomenul pe care modelul este folosit pentru a-l studia. Deci, dacă modelele de răspuns liniar sunt utilizate în absența unor modele mai complexe (adică ecuațiile neliniare nu sunt liniarizate, dar ecuațiile liniare care descriu obiectul sunt pur și simplu căutate), atunci acestea sunt deja modele liniare fenomenologice și aparțin următoarelor tip 4 (toate detaliile neliniare „pentru claritate” sunt omise). Exemple: aplicarea modelului de gaz ideal la un gaz non-ideal, ecuația de stare van der Waals, majoritatea modelelor de stare solidă, fizică lichidă și nucleară. Calea de la micro-descriere la proprietățile corpurilor (sau mediilor) constând dintr-un număr mare de particule, Clasificarea semnificativă a modelelor (continuare)

Slide 9

Descrierea diapozitivei:

foarte lung. Multe detalii trebuie aruncate. Acest lucru duce la modele de al patrulea tip. Modelul euristic Al cincilea tip este un model euristic („nu există nicio confirmare cantitativă, dar modelul contribuie la o perspectivă mai profundă a esenței problemei”), un astfel de model păstrează doar o asemănare calitativă cu realitatea și face predicții doar „în ordinul de mărime.” Un exemplu tipic este aproximarea medie a drumului liber în teoria cinetică. Acesta oferă formule simple pentru coeficienții de vâscozitate, difuzie și conductivitate termică, care sunt în concordanță cu realitatea în ordinea mărimii. Dar atunci când se construiește o nouă fizică, nu este imediat posibil să se obțină un model care să ofere cel puțin o descriere calitativă a obiectului - un model de al cincilea tip. În acest caz, un model este adesea folosit prin analogie, reflectând realitatea cel puțin în detaliu. Tipul de analogie șase - model de analogie („să luăm în considerare doar câteva caracteristici”). Peierls oferă o istorie a utilizării analogiilor în prima lucrare a lui Heisenberg despre natura forțelor nucleare. Experimentul gândirii Al șaptelea tip de model este experimentul gândirii („principalul este să infirmi posibilitatea”). Acest tip de modelare a fost adesea folosit de Einstein, în special, unul dintre aceste experimente a condus la construirea teoriei speciale a relativității. Să presupunem că în fizica clasică ne deplasăm în spatele unei unde luminoase cu viteza luminii. Vom observa un câmp electromagnetic care se schimbă periodic în spațiu și constant în timp. Conform ecuațiilor lui Maxwell, acest lucru nu se poate întâmpla. Prin urmare, Einstein a concluzionat: fie legile naturii se schimbă atunci când sistemul de referință se schimbă, fie viteza luminii nu depinde de sistemul de referință și a ales a doua opțiune. Demonstrarea posibilității Al optulea tip este demonstrarea posibilității („principalul este să se arate consistența internă a posibilității”), aceste tipuri de modele sunt și experimente gândite cu entități imaginare, demonstrând că fenomenul propus este în concordanță cu principiile de bază. și Clasificarea conținută a modelelor (continuare)

10 diapozitive

Descrierea diapozitivei:

consecvent intern. Aceasta este principala diferență față de modelele de tip 7, care dezvăluie contradicții ascunse. Unul dintre cele mai cunoscute astfel de experimente este geometria Lobachevsky. (Lobachevsky a numit-o „geometrie imaginară”). Un alt exemplu este producția în masă a modelelor cinetice formale ale vibrațiilor chimice și biologice, undele auto. Paradoxul Einstein-Podolsky-Rosen a fost conceput ca un experiment de gândire pentru a demonstra inconsecvența mecanicii cuantice, dar într-un mod neplanificat de-a lungul timpului s-a transformat într-un model de tip 8 - o demonstrație a posibilității teleportării cuantice a informațiilor. Clasificarea conținutului se bazează pe etapele premergătoare analizei și calculelor matematice. Opt tipuri de modele conform lui Peierls sunt opt tipuri de posturi de cercetare în modelare. Clasificarea conținutului modelelor (continuare)

11 diapozitiv

Descrierea diapozitivei:

12 slide

Descrierea diapozitivei:

practic inutil. Adesea, un model mai simplu permite o explorare mai bună și mai profundă a unui sistem real decât unul mai complex (și, formal, „mai corect”). Dacă aplicăm modelul oscilatorului armonic la obiecte departe de fizică, statutul său de fond poate fi diferit. De exemplu, atunci când se aplică acest model la populațiile biologice, cel mai probabil ar trebui să fie clasificat ca analogie de tip 6 („să luăm în considerare doar câteva caracteristici”). Exemplu (continuare)

Slide 13

Descrierea diapozitivei:

Slide 14

Descrierea diapozitivei:

Cele mai importante modele matematice au de obicei proprietatea importantă a universalității: fenomene reale fundamental diferite pot fi descrise de același model matematic. De exemplu, un oscilator armonic descrie nu numai comportamentul unei sarcini pe un arc, ci și alte procese oscilatorii, adesea de o natură complet diferită: mici oscilații ale unui pendul, fluctuații ale nivelului unui lichid într-un vas în formă de U. , sau o schimbare a intensității curentului într-un circuit oscilator. Astfel, studiind un model matematic, studiem imediat o întreagă clasă de fenomene descrise de acesta. Acest izomorfism al legilor exprimat prin modele matematice în diferite segmente ale cunoștințelor științifice l-a inspirat pe Ludwig von Bertalanffy să creeze „teoria generală a sistemelor”. Versatilitatea modelelor

15 slide

Descrierea diapozitivei:

Există multe probleme asociate cu modelarea matematică. În primul rând, trebuie să veniți cu o diagramă de bază a obiectului modelat, să o reproduceți în cadrul idealizărilor acestei științe. Astfel, un vagon se transformă într-un sistem de plăci și corpuri mai complexe din materiale diferite, fiecare material fiind specificat ca idealizare mecanică standard (densitate, module elastice, caracteristici standard de rezistență), după care se întocmesc ecuații, pe parcurs unele detaliile sunt eliminate ca neimportante, se fac calcule, se compară cu măsurătorile, modelul este rafinat și așa mai departe. Cu toate acestea, pentru a dezvolta tehnologii de modelare matematică, este utilă dezasamblarea acestui proces în componentele sale principale. În mod tradițional, există două clase principale de probleme asociate modelelor matematice: directe și inverse. Sarcină directă: structura modelului și toți parametrii săi sunt considerați cunoscuți, sarcina principală este de a efectua un studiu al modelului pentru a extrage cunoștințe utile despre obiect. Ce sarcină statică va rezista podul? Cum va reacționa la o sarcină dinamică (de exemplu, la marșul unei companii de soldați sau la trecerea unui tren cu viteze diferite), cum va depăși avionul bariera sonoră, dacă se va destrăma de flutter - acestea sunt exemple tipice ale unei probleme directe. Stabilirea corectă a problemei directe (a pune întrebarea corectă) necesită abilități speciale. Dacă nu se pun întrebările potrivite, un pod se poate prăbuși, chiar dacă a fost construit un model bun pentru comportamentul său. Astfel, în 1879, un pod feroviar metalic peste râul Tay s-a prăbușit în Marea Britanie, ai cărui proiectanți au construit un model al podului, au calculat că acesta are un factor de siguranță de 20 de ori pentru acțiunea sarcinii utile, dar au uitat de vânturile sufla constant în acele locuri. Și după un an și jumătate s-a prăbușit. În cel mai simplu caz (ecuația unui oscilator, de exemplu), problema directă este foarte simplă și se reduce la o soluție explicită a acestei ecuații. Problemă inversă: sunt cunoscute multe modele posibile, este necesară selectarea unui model specific pe baza unor date suplimentare Probleme directe și inverse de modelare matematică

Model matematic este un set de obiecte matematice și relații dintre ele care reflectă în mod adecvat proprietățile și comportamentul obiectului studiat.

Matematica în sensul cel mai general al cuvântului se ocupă cu definirea și utilizarea modelelor simbolice. Un model matematic acoperă o clasă de obiecte matematice nedefinite (abstracte, simbolice), cum ar fi numere sau vectori, și relațiile dintre aceste obiecte.

O relație matematică este o regulă ipotetică care leagă două sau mai multe obiecte simbolice. Multe relații pot fi descrise folosind operații matematice care conectează unul sau mai multe obiecte cu un alt obiect sau set de obiecte (rezultatul operației). Un model abstract, cu obiectele, relațiile și operațiile sale arbitrare, este definit printr-un set consistent de reguli care introduc operațiile care pot fi utilizate și stabilesc relațiile generale dintre rezultatele acestora. O definiție constructivă introduce un nou model matematic folosind concepte matematice deja cunoscute (de exemplu, definirea adunării și înmulțirii matricei în termeni de adunare și înmulțire a numerelor).

Un model matematic va reproduce aspecte selectate corespunzător ale unei situații fizice dacă se poate stabili o regulă de corespondență care să leagă anumite obiecte fizice și relații cu obiecte și relații matematice specifice. Construcția de modele matematice pentru care nu există analogi în lumea fizică poate fi, de asemenea, instructivă și/sau interesantă. Cele mai cunoscute modele matematice sunt sistemele de numere întregi și reale și geometria euclidiană; proprietăţile definitorii ale acestor modele sunt abstracţii mai mult sau mai puţin directe ale proceselor fizice (numărare, ordonare, comparare, măsurare).

Obiectele și operațiile modelelor matematice mai generale sunt adesea asociate cu seturi de numere reale care pot fi legate de rezultatele măsurătorilor fizice.

Modelarea matematică este o metodă de descriere calitativă și (sau) cantitativă a unui proces folosind un așa-numit model matematic, în construcția căruia este descris un proces sau un fenomen real folosind unul sau altul aparat matematic adecvat. Modelarea matematică este o parte integrantă a cercetării moderne.

Modelarea matematică este o disciplină tipică, situată, așa cum se spune adesea, la „joncțiunea” mai multor științe. Un model matematic adecvat nu poate fi construit fără cunoașterea profundă a obiectului care este „servit” de modelul matematic. Uneori se exprimă o speranță iluzorie că un model matematic poate fi creat împreună de un matematician care nu cunoaște obiectul modelării și un specialist în „obiect” care nu cunoaște matematică. Pentru a avea succes în domeniul modelării matematice este necesar să cunoașteți atât metodele matematice, cât și obiectul modelării. Acest lucru este legat, de exemplu, de prezența unei astfel de specialități ca un fizician teoretic, a cărui activitate principală este modelarea matematică în fizică. Împărțirea specialiștilor în teoreticieni și experimentaliști, care s-a consacrat în fizică, va avea loc, fără îndoială, în alte științe, atât fundamentale, cât și aplicate.

Datorită varietatii de modele matematice utilizate, clasificarea lor generală este dificilă. În literatură, de obicei sunt date clasificări care se bazează pe abordări diferite. Una dintre aceste abordări este legată de natura procesului modelat, când se disting modelele deterministe și probabilistice. Alături de această clasificare pe scară largă a modelelor matematice, există și altele.

Clasificarea modelelor matematice pe baza caracteristicilor aparatului matematic utilizat . Se pot distinge următoarele soiuri.

De obicei, astfel de modele sunt folosite pentru a descrie dinamica sistemelor formate din elemente discrete. Din punct de vedere matematic, acestea sunt sisteme de ecuații diferențiale liniare sau neliniare obișnuite.

Modelele matematice cu parametrii concentrați sunt utilizate pe scară largă pentru a descrie sisteme formate din obiecte discrete sau colecții de obiecte identice. De exemplu, modelul dinamic al unui laser semiconductor este utilizat pe scară largă. Acest model implică două variabile dinamice - concentrațiile purtătorilor de sarcină minoritari și fotonii din zona activă a laserului.

În cazul sistemelor complexe, numărul de variabile dinamice și, prin urmare, de ecuații diferențiale poate fi mare (până la 102... 103). În aceste cazuri sunt utile diverse metode de reducere a sistemului, bazate pe ierarhia de timp a proceselor, evaluarea influenței diverșilor factori și neglijarea celor neimportanti dintre aceștia etc.

Metoda extinderii succesive a modelului poate duce la crearea unui model adecvat al unui sistem complex.

Modelele de acest tip descriu procesele de difuzie, conductivitate termică, propagare a undelor de diferite naturi etc. Aceste procese pot fi nu numai de natură fizică. Modelele matematice cu parametri distribuiți sunt larg răspândite în biologie, fiziologie și alte științe. Cel mai adesea, ecuațiile fizicii matematice, inclusiv cele neliniare, sunt folosite ca bază a unui model matematic.

Rolul fundamental al principiului celei mai mari acțiuni în fizică este bine cunoscut. De exemplu, toate sistemele cunoscute de ecuații care descriu procese fizice pot fi derivate din principii extreme. Cu toate acestea, în alte științe, principiile extreme joacă un rol semnificativ.

Principiul extremal este utilizat atunci când se aproximează dependențele empirice printr-o expresie analitică. Reprezentarea grafică a unei astfel de dependențe și tipul specific de expresie analitică care descrie această dependență sunt determinate folosind principiul extremei, numit metoda celor mai mici pătrate (metoda Gauss), a cărui esență este următoarea.

Să se efectueze un experiment, al cărui scop este studierea dependenței unei cantități fizice Y din cantitatea fizică X. Se presupune că valorile x și y legate de dependența funcțională

Tipul acestei dependențe trebuie determinat din experiență. Să presupunem că în urma experimentului am obținut un număr de puncte experimentale și am trasat dependența la din X. De obicei, punctele experimentale de pe un astfel de grafic nu sunt localizate destul de corect, dau o oarecare împrăștiere, adică dezvăluie abateri aleatorii de la modelul general vizibil. Aceste abateri sunt asociate cu erori de măsurare, care sunt inevitabile în orice experiment. Atunci apare problema de practică tipică a netezirii dependenței experimentale.

Pentru a rezolva această problemă, se utilizează de obicei o metodă de calcul cunoscută sub numele de metoda celor mai mici pătrate (sau metoda Gaussiană).

Desigur, tipurile enumerate de modele matematice nu epuizează întregul aparat matematic folosit în modelarea matematică. Aparatul matematic al fizicii teoretice și, în special, cea mai importantă secțiune a acesteia - fizica particulelor elementare - este deosebit de divers.

Domeniile de aplicare a acestora sunt adesea folosite ca principiu de bază pentru clasificarea modelelor matematice. Această abordare evidențiază următoarele domenii de aplicare:

procese fizice;

aplicații tehnice, inclusiv sisteme gestionate, inteligență artificială;

procesele vieții (biologie, fiziologie, medicină);

sisteme mari asociate cu interacțiunea umană (socială, economică, de mediu);

umaniste (lingvistică, artă).

(Domeniile de aplicare sunt indicate în ordinea corespunzătoare nivelului descrescător de adecvare a modelului).

Tipuri de modele matematice: deterministe și probabiliste, factoriale teoretice și experimentale. Linear și neliniar, dinamic și static. continuu si discret, functional si structural.

Clasificarea modelelor matematice (TO - obiect tehnic)

Structura unui model este un set ordonat de elemente și relațiile lor. Un parametru este o valoare care caracterizează proprietatea sau modul de funcționare al unui obiect. Parametrii de ieșire caracterizează proprietățile unui obiect tehnic, iar parametrii interni caracterizează proprietățile elementelor acestuia. Parametrii externi sunt parametrii mediului extern care influenteaza functionarea unui obiect tehnic.

Modelele matematice sunt supuse cerințelor de adecvare, eficiență și versatilitate. Aceste cerințe sunt contradictorii.

În funcție de gradul de abstractizare la descrierea proprietăților fizice ale unui sistem tehnic, se disting trei niveluri ierarhice principale: nivel superior sau meta, nivel mediu sau macro, nivel inferior sau micro.

Metanivelul corespunde etapelor inițiale de proiectare, la care se efectuează căutarea și prognoza științifică și tehnică1, dezvoltarea unui concept și a soluției tehnice și elaborarea unei propuneri tehnice. Pentru a construi modele matematice la nivel meta, se folosesc metode de sinteză morfologică, teoria grafurilor, logica matematică, teoria controlului automat, teoria cozilor de așteptare și teoria mașinilor cu stări finite.

La nivel macro, un obiect este considerat ca un sistem dinamic cu parametrii concentrați. Modelele matematice la nivel macro sunt sisteme de ecuații diferențiale obișnuite. Aceste modele sunt folosite pentru a determina parametrii unui obiect tehnic și elementele sale funcționale.

La nivel micro, un obiect este reprezentat ca un mediu continuu cu parametri distribuiți. Pentru a descrie procesele de funcționare ale unor astfel de obiecte, se folosesc ecuații cu diferențe parțiale. La nivel micro sunt proiectate elemente indivizibile funcțional ale unui sistem tehnic, numite elemente de bază. În acest caz, elementul de bază este considerat ca un sistem format din multe elemente funcționale similare de aceeași natură fizică, interacționând între ele și fiind influențate de Mediul extern și de alte elemente ale obiectului tehnic, care sunt mediul extern în relație. la elementul de bază.

Pe baza formei de reprezentare a modelelor matematice se disting modele invariante, algoritmice, analitice și grafice ale obiectului de design.

ÎN invariant forma, un model matematic este reprezentat de un sistem de ecuatii fara legatura cu metoda de rezolvare a acestor ecuatii.

ÎN algoritmic forma, relațiile model sunt asociate cu metoda de soluție numerică selectată și sunt scrise sub forma unui algoritm - o secvență de calcule. Printre modelele algoritmice se numără imitaţie, modele concepute pentru a simula procesele fizice și informaționale care au loc într-un obiect în timpul funcționării acestuia sub influența diverșilor factori de mediu.

Analitic modelul reprezintă dependențe explicite ale variabilelor căutate de valori date (de obicei dependența parametrilor de ieșire ai obiectului de parametrii interni și externi). Astfel de modele sunt obținute pe baza legilor fizice sau ca rezultat al integrării directe a ecuațiilor diferențiale originale. Modelele matematice analitice fac posibilă rezolvarea simplă și ușoară a problemelor de determinare a parametrilor optimi. Prin urmare, dacă este posibil să obțineți un model în această formă, este întotdeauna recomandabil să îl implementați, chiar dacă este necesar să se efectueze o serie de proceduri auxiliare.Asemenea modele sunt de obicei obținute prin metoda planificării experimentale (computațională sau fizică). ).

Grafic modelul (circuit) este prezentat sub formă de grafice, circuite echivalente, modele dinamice, diagrame etc. Pentru a utiliza modele grafice, trebuie să existe o regulă de corespondență neechivocă între imaginile convenționale ale elementelor modelului grafic și componentele modelului matematic invariant.

Împărțirea modelelor matematice în funcționale și structurale este determinată de natura proprietăților afișate ale unui obiect tehnic.

Structural modelele afișează doar structura obiectelor și sunt utilizate numai la rezolvarea problemelor de sinteză structurală. Parametrii modelelor structurale sunt caracteristicile elementelor funcționale sau structurale care alcătuiesc un obiect tehnic și prin care o variantă a structurii obiectului diferă de alta. Acești parametri se numesc variabile morfologice. Modelele structurale iau forma de tabele, matrice și grafice. Cea mai promițătoare este utilizarea graficelor arbore de tip AND-OR-tree. Astfel de modele sunt utilizate pe scară largă la nivel meta atunci când alegeți o soluție tehnică.

Funcţional modelele descriu procesele de funcționare a obiectelor tehnice și au forma unor sisteme de ecuații. Acestea iau în considerare proprietățile structurale și funcționale ale unui obiect și permit rezolvarea problemelor atât de sinteză parametrică, cât și structurală. Sunt utilizate pe scară largă la toate nivelurile de design. La nivel meta, sarcinile funcționale permit rezolvarea problemelor de prognoză, la nivel macro - alegerea structurii și optimizarea parametrilor interni ai unui obiect tehnic, la nivel micro - optimizarea parametrilor elementelor de bază.

Conform metodelor de obținere, modelele matematice funcționale se împart în teoretice și experimentale.

Teoretic modelele sunt obținute pe baza unei descrieri a proceselor fizice de funcționare a unui obiect și experimental- pe baza comportamentului unui obiect în mediul extern, considerându-l ca o „cutie neagră”. Experimentele în acest caz pot fi fizice (pe un obiect tehnic sau modelul său fizic) sau computaționale (pe un model matematic teoretic).

La construirea modelelor teoretice se folosesc abordări fizice și formale.

Abordarea fizică se reduce la aplicarea directă a legilor fizice pentru a descrie obiecte, de exemplu, legile lui Newton, Hooke, Kirchhoff etc.

Abordarea formală folosește principii matematice generale și este utilizată în construcția atât a modelelor teoretice, cât și a celor experimentale. Modelele experimentale sunt formale. Ele nu iau în considerare întregul complex de proprietăți fizice ale elementelor sistemului tehnic studiat, ci doar stabilesc o legătură, descoperită în timpul experimentului, între parametrii individuali ai sistemului, care poate fi variat și (sau) măsurat. Astfel de modele oferă o descriere adecvată a proceselor studiate doar într-o regiune limitată a spațiului parametrilor în care parametrii au fost variați în experiment. Prin urmare, modelele matematice experimentale sunt de natură particulară, în timp ce legile fizice reflectă legile generale ale fenomenelor și proceselor care au loc atât în întregul sistem tehnic, cât și în fiecare dintre elementele sale separat. În consecință, modelele matematice experimentale nu pot fi acceptate ca legi fizice. În același timp, metodele utilizate pentru construirea acestor modele sunt utilizate pe scară largă în testarea ipotezelor științifice.

Modelele matematice funcționale pot fi liniare și neliniare. Liniar modelele conțin numai funcții liniare ale mărimii care caracterizează starea unui obiect în timpul funcționării acestuia și derivatele lor. Caracteristicile multor elemente ale obiectelor reale sunt neliniare. Modelele matematice ale unor astfel de obiecte includ funcții neliniare ale acestor mărimi și derivatele lor și se referă la neliniară .

Dacă modelarea ia în considerare proprietățile inerțiale ale obiectului și (sau) modificările în timp ale obiectului sau ale mediului extern, atunci modelul se numește dinamic. Altfel modelul este static. Reprezentarea matematică a unui model dinamic în cazul general poate fi exprimată printr-un sistem de ecuații diferențiale, iar unul static - printr-un sistem de ecuații algebrice.

Dacă influența Mediului extern asupra obiectului este aleatorie și este descrisă de funcții aleatorii. În acest caz, este necesar să se construiască probabilistică model matematic. Cu toate acestea, un astfel de model este foarte complex și utilizarea lui în proiectarea obiectelor tehnice necesită mult timp de calculator. Prin urmare, este utilizat în etapa finală de proiectare.

Majoritatea procedurilor de proiectare sunt efectuate pe modele deterministe. Un model matematic determinist este caracterizat de o corespondență unu-la-unu între o influență externă asupra unui sistem dinamic și răspunsul său la această influență. Într-un experiment de calcul în timpul proiectării, unele impacturi standard standard asupra unui obiect sunt de obicei specificate: treptat, pulsat, armonic, liniar pe bucăți, exponențial etc. Ele sunt numite impacturi de testare.

Continuarea Tabelului „Clasificarea modelelor matematice

Tipuri de modele matematice ale obiectelor tehnice
Luând în considerare proprietățile fizice ale echipamentelor tehnice	Prin capacitatea de a prezice rezultate
Dinamic	Determinat
Static	Probabilistică
Continuu
Discret
Liniar
În această etapă, sunt efectuate următoarele acțiuni. Se întocmește un plan pentru crearea și utilizarea unui model software. De regulă, programul model este creat folosind instrumente automate de modelare pe un computer. Prin urmare, planul indică: tipul calculatorului; instrument de automatizare a modelării; costurile aproximative ale memoriei computerului pentru crearea unui program model și a matricelor sale de lucru; costul timpului de calculator pentru un ciclu al modelului; estimarea costurilor de programare și depanare a programului model. Cercetatorul trece apoi la programarea modelului. Descrierea modelului de simulare servește ca specificație tehnică pentru programare. Specificul muncii de programare a modelelor depinde de instrumentele de automatizare a modelării care sunt disponibile cercetătorului. Nu există diferențe semnificative între crearea unui program model și depanarea obișnuită offline a modulelor software ale unui program mare sau pachet software.În conformitate cu textul, modelul este împărțit în blocuri și subblocuri. Spre deosebire de depanarea offline convențională a modulelor software, atunci când depanarea offline a blocurilor și subblocurilor unui model de software, cantitatea de muncă crește semnificativ, deoarece pentru fiecare modul este necesar să se creeze și să depaneze un simulator al mediului extern. Este foarte important să se verifice implementarea funcțiilor modulului în timpul modelului t și să se estimeze costurile de timp ale calculatorului pentru un ciclu de funcționare a modelului în funcție de valorile parametrilor modelului. Lucrările privind depanarea autonomă a componentelor modelului sunt finalizate prin pregătirea formularelor pentru reprezentarea datelor de modelare de intrare și de ieșire. În continuare, ei trec la a doua verificare a fiabilității programului model de sistem. În cadrul acestei verificări se stabilește corespondența operațiilor din program și descrierea modelului. Pentru a face acest lucru, programul este tradus înapoi în diagrama modelului („defilarea” manuală vă permite să găsiți erori grave în statica modelului). După eliminarea erorilor grave, un număr de blocuri sunt combinate și începe depanarea completă a modelului folosind teste. Depanarea testului începe cu mai multe blocuri, apoi un număr tot mai mare de blocuri model sunt implicate în acest proces. Rețineți că depanarea complexă a unui program model este mult mai dificilă decât depanarea pachetelor de aplicații, deoarece erorile de dinamică de modelare în acest caz sunt mult mai dificil de găsit datorită funcționării cvasi-paralele a diferitelor componente ale modelului. La finalizarea depanării complexe a programului model, este necesar să se reevalueze costurile de timp pentru computer pentru un ciclu de calcule pe model. În acest caz, este util să se obțină o aproximare a timpului de simulare pe ciclu de simulare. Următorul pas este compilarea documentației tehnice pentru un model de sistem complex. Rezultatul etapei până la finalizarea depanării complexe a programului model ar trebui să fie următoarele documente: descrierea modelului de simulare; descrierea programului model indicând sistemul de programare și notația acceptată; diagrama completă a programului model; înregistrarea completă a programului model într-un limbaj de modelare; dovada fiabilității programului model (rezultatele depanării complete a programului model); descrierea cantităților de intrare și de ieșire cu explicațiile necesare (dimensiuni, scale, intervale de modificări ale cantităților, denumiri); estimarea costurilor de timp pe calculator pentru un ciclu de simulare; instrucțiuni pentru lucrul cu programul model. Pentru a verifica adecvarea modelului pentru obiectul de studiu, după întocmirea unei descriere formală a sistemului, cercetătorul întocmește un plan pentru efectuarea de experimente la scară largă cu un prototip al sistemului. Dacă nu există un prototip al sistemului, atunci puteți utiliza un sistem de IM imbricate care diferă unul de celălalt în gradul de detaliu în simularea acelorași fenomene. Modelul mai detaliat servește apoi ca prototip pentru MI generalizat. Dacă este imposibil să construiți o astfel de secvență fie din cauza lipsei de resurse pentru a efectua această lucrare, fie din cauza informațiilor insuficiente, atunci se procedează fără verificarea adecvării IM. Conform acestui plan, în paralel cu depanarea IM, se efectuează o serie de experimente la scară largă pe un sistem real, în timpul cărora se acumulează rezultatele controlului. Având la dispoziție rezultatele controlului și rezultatele testelor MI, cercetătorul verifică adecvarea modelului la obiect. Dacă în etapa de depanare sunt detectate erori care pot fi corectate doar în etapele anterioare, poate apărea o revenire la etapa anterioară. Pe lângă documentația tehnică, rezultatele etapei sunt însoțite de o implementare automată a modelului (un program tradus în codul mașină al computerului pe care va avea loc simularea). Aceasta este o etapă importantă în crearea unui model. În acest caz, trebuie să faceți următoarele. În primul rând, asigurați-vă că dinamica dezvoltării algoritmului de modelare a obiectului de studiu este corectă în timpul simulării funcționării acestuia (verificați modelul). În al doilea rând, determinați gradul de adecvare al modelului și al obiectului de studiu. Adecvarea unui model de simulare software la un obiect real este înțeleasă ca coincidența cu o acuratețe dată a vectorilor caracteristicilor de comportament ale obiectului și ale modelului. Dacă nu există adecvare, modelul de simulare este calibrat (caracteristicile „corectate” ale algoritmilor componentelor modelului). Prezența erorilor în interacțiunea componentelor modelului readuce cercetătorul la etapa creării unui model de simulare. Este posibil ca în timpul formalizării, cercetătorul să simplifice excesiv fenomenele fizice și să excludă din considerare o serie de aspecte importante ale funcționării sistemului, ceea ce a dus la inadecvarea modelului pentru obiect. În acest caz, cercetătorul trebuie să revină la etapa formalizării sistemului. În cazurile în care alegerea metodei de formalizare a fost nereușită, cercetătorul trebuie să repete etapa de elaborare a unui model conceptual, ținând cont de noi informații și experiență. În cele din urmă, atunci când cercetătorul are informații insuficiente despre obiect, trebuie să revină la etapa de elaborare a unei descrieri semnificative a sistemului și să o clarifice ținând cont de rezultatele testării modelului anterior al sistemului. În același timp, se evaluează acuratețea simulării fenomenelor, stabilitatea rezultatelor modelării și sensibilitatea criteriilor de calitate la modificările parametrilor modelului. Obținerea acestor estimări poate fi destul de dificilă în unele cazuri. Cu toate acestea, fără rezultatele de succes ale acestei lucrări, nici dezvoltatorul, nici clientul IM nu vor avea încredere în model. În funcție de tipul de IM, diferiți cercetători au dezvoltat interpretări diferite ale conceptelor de acuratețe, stabilitate, staționaritate și sensibilitate ale MI. Nu există încă o teorie general acceptată de simulare a fenomenelor pe un computer. Fiecare cercetător trebuie să se bazeze pe propria experiență în organizarea simulării și pe înțelegerea caracteristicilor obiectului de modelare. Precizia simulării fenomenelor este o evaluare a influenței elementelor stocastice asupra funcționării unui model al unui sistem complex. Stabilitatea rezultatelor simulării este caracterizată de convergența parametrului de simulare controlat la o anumită valoare pe măsură ce timpul de simulare pentru o variantă a unui sistem complex crește. Staționaritatea modului de simulare caracterizează un anumit echilibru stabilit al proceselor în modelul de sistem, atunci când simularea ulterioară este lipsită de sens, deoarece cercetătorul nu va primi informații noi din model și continuarea simulării conduce practic doar la o creștere a costului timpul calculatorului. Trebuie prevăzută această posibilitate și trebuie dezvoltată o metodă pentru determinarea momentului în care se realizează un mod de modelare staționară. Sensibilitatea MI este reprezentată de valoarea incrementului minim al criteriului de calitate selectat, calculată din statisticile de simulare, cu variație secvențială a parametrilor de simulare pe întregul interval de modificări ale acestora. Această etapă începe cu elaborarea unui plan experimental care să permită cercetătorului să obțină maximum de informații cu un efort de calcul minim. Este necesară justificarea statistică a designului experimental. Planificarea experimentală este o procedură de selectare a numărului și a condițiilor pentru efectuarea experimentelor care sunt necesare și suficiente pentru a rezolva o anumită problemă cu acuratețea necesară. În acest caz, este esenţială: dorinţa de a minimiza numărul total de experimente, asigurând posibilitatea variaţiei simultane a tuturor variabilelor; utilizarea aparaturii matematice care formalizează multe dintre acțiunile experimentatorilor; alegerea unei strategii clare care vă permite să luați decizii în cunoștință de cauză după fiecare serie de experimente pe model. Apoi, cercetătorul începe să efectueze calcule de lucru pe model. Acesta este un proces foarte intensiv în muncă, care necesită multe resurse computerizate și multă muncă de birou. Rețineți că deja în etapele incipiente ale creării unui IM, este necesar să luați în considerare cu atenție compoziția și volumul informațiilor de modelare pentru a facilita în mod semnificativ analiza ulterioară a rezultatelor simulării. Rezultatul muncii sunt rezultatele simulării. Această etapă completează lanțul tehnologic de etape de creare și utilizare a modelelor de simulare. După ce a primit rezultatele simulării, cercetătorul începe să interpreteze rezultatele. Următoarele cicluri de simulare sunt posibile aici. În primul ciclu al unui experiment de simulare, IM prevede în prealabil selecția opțiunilor pentru sistemul studiat prin specificarea condițiilor inițiale de simulare pentru programul mașinii al modelului. În al doilea ciclu al experimentului de simulare, modelul este modificat în limbajul de modelare și, prin urmare, sunt necesare retraducerea și editarea programului. Este posibil ca în timpul interpretării rezultatelor, cercetătorul să identifice prezența unor erori fie în timpul creării modelului, fie în timpul formalizării obiectului de modelare. În aceste cazuri se revine la etapele de construire a unei descrieri a modelului de simulare sau, respectiv, de întocmire a unui model conceptual al sistemului. Rezultatul etapei de interpretare a rezultatelor modelării sunt recomandări pentru proiectarea sau modificarea sistemului. Cu recomandările în mână, cercetătorii încep să ia decizii de proiectare. Interpretarea rezultatelor modelării este influențată semnificativ de capacitățile vizuale ale computerului utilizat și de sistemul de modelare implementat pe acesta. 1. Cum se clasifică modelele matematice pe baza caracteristicilor aparatului matematic utilizat. Rezumat despre matematică Dezvoltarea unui model economic și matematic pentru optimizarea structurii sectoriale a producției în agricultură

Algoritm elaborarea unui model matematic:

Scrieți o scurtă declarație a condițiilor problemei:

A) află câte cantități sunt implicate în problemă;

B) identificați legăturile dintre aceste cantități.

2. Realizați un desen pentru problema (în probleme care implică mișcare sau în probleme de conținut geometric) sau un tabel.

3. Desemnați X ca una dintre cantități (de preferință o cantitate mai mică).

4. Ținând cont de conexiuni, creați un model matematic.

Problema 1. (Nr. 86 (1)).

Apartamentul este format din 3 camere cu o suprafata totala de 42 mp. Prima cameră este de 2 ori mai mică decât a doua, iar a doua este de 3 mp. m mai mult de o treime. Care este suprafața fiecărei camere din acest apartament?

Problema 2. (Nr. 86 (2)).

Sasha a plătit 11.200 de ruble pentru carte, pix și caiet. Un stilou este de 3 ori mai scump decât un caiet și costă 700 de ruble. mai ieftin decât o carte. Cât costă un notebook?

Problema 3.(Nr. 86 (3)).

Motociclistul a parcurs o distanță între două orașe egală cu

980 km, in 4 zile. În prima zi a parcurs cu 80 km mai puțin decât în a doua zi, în a treia zi - jumătate din distanța parcursă în primele două zile, iar în a patra zi - restul de 140 km. Cât de departe a parcurs motociclistul în a treia zi?

Problema 4. (Nr. 86 (4))

Perimetrul patrulaterului este de 46 dm. Prima sa latură este de 2 ori mai mică decât a doua și de 3 ori mai mică decât a treia latură, iar a patra latură este cu 4 cm mai mare decât prima latură. Care sunt lungimile laturilor acestui patrulater?

Problema 5. (Nr. 87)

Unul dintre numere este cu 17 mai mic decât al doilea, iar suma lor este 75. Aflați cel mai mare dintre aceste numere.

Problema 6. (Nr. 99)

20 de participanți au cântat în trei părți ale concertului. În a doua parte au fost de 3 ori mai puțini participanți decât în prima, iar în a treia au fost cu 5 mai mulți participanți decât în a doua. Câți participanți la concert au susținut în fiecare secțiune?