Έννοια της παρουσίασης μαθηματικού μοντέλου. Παρουσίαση για το μάθημα «σχεδιάζοντας μαθηματικά μοντέλα». Βασικά στοιχεία μαθηματικής μοντελοποίησης

Διαφάνεια 3

Μαθηματική μοντελοποίηση

Αυτή είναι μια κατά προσέγγιση περιγραφή κάποιας κατηγορίας φαινομένων, που εκφράζεται στη γλώσσα κάποιας μαθηματικής θεωρίας (χρησιμοποιώντας ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων και ανισώσεων, διαφορικών ή ολοκληρωτικών εξισώσεων, συναρτήσεων, συστήματος γεωμετρικών προτάσεων, διανυσμάτων κ.λπ.).

Διαφάνεια 4

Ταξινόμηση μοντέλων

Επίσημη ταξινόμηση μοντέλων Η επίσημη ταξινόμηση μοντέλων βασίζεται στην ταξινόμηση των μαθηματικών εργαλείων που χρησιμοποιούνται. Συχνά κατασκευάζεται με τη μορφή διχοτομιών. Για παράδειγμα, ένα από τα δημοφιλή σύνολα διχοτομιών είναι: Γραμμικά ή μη γραμμικά μοντέλα[; Συγκεντρωμένα ή κατανεμημένα συστήματα. Ντετερμινιστική ή στοχαστική; Στατική ή δυναμική. Διακριτή ή συνεχής. και ούτω καθεξής. Κάθε κατασκευασμένο μοντέλο είναι γραμμικό ή μη γραμμικό, ντετερμινιστικό ή στοχαστικό, ... Φυσικά, είναι δυνατοί και μικτές τύποι: συγκεντρωμένοι από μια άποψη (από άποψη παραμέτρων), κατανεμημένοι σε άλλη κ.λπ.

Διαφάνεια 5

Ταξινόμηση σύμφωνα με τη μέθοδο αναπαράστασης ενός αντικειμένου Δομικά ή λειτουργικά μοντέλα Τα δομικά μοντέλα αντιπροσωπεύουν ένα αντικείμενο ως σύστημα με τη δική του δομή και μηχανισμό λειτουργίας. Τα λειτουργικά μοντέλα δεν χρησιμοποιούν τέτοιες αναπαραστάσεις και αντικατοπτρίζουν μόνο την εξωτερικά αντιληπτή συμπεριφορά (λειτουργία) ενός αντικειμένου. Στην ακραία τους έκφραση, ονομάζονται και μοντέλα «μαύρου κουτιού». Είναι επίσης δυνατοί συνδυασμένοι τύποι μοντέλων, οι οποίοι μερικές φορές ονομάζονται μοντέλα "γκρίζου κουτιού".

Διαφάνεια 6

Ουσιαστικά και τυπικά μοντέλα Σχεδόν όλοι οι συγγραφείς που περιγράφουν τη διαδικασία της μαθηματικής μοντελοποίησης υποδεικνύουν ότι κατασκευάζεται πρώτα μια ειδική ιδανική δομή, ένα ουσιαστικό μοντέλο. Και η τελική μαθηματική κατασκευή ονομάζεται επίσημο μοντέλο ή απλά ένα μαθηματικό μοντέλο που προκύπτει ως αποτέλεσμα της επισημοποίησης αυτού του ουσιαστικού μοντέλου. Η κατασκευή ενός ουσιαστικού μοντέλου μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας ένα σύνολο έτοιμων εξιδανικεύσεων, δηλαδή παρέχουν έτοιμα δομικά στοιχεία για ουσιαστική μοντελοποίηση.

Διαφάνεια 7

Διαφάνεια 8

Τύπος 1: Υπόθεση (θα μπορούσε να συμβεί)

Αυτά τα μοντέλα «αντιπροσωπεύουν μια δοκιμαστική περιγραφή ενός φαινομένου και ο συγγραφέας είτε πιστεύει στη δυνατότητά του είτε ακόμη και το θεωρεί αληθινό. Καμία υπόθεση στην επιστήμη δεν μπορεί να αποδειχθεί μια για πάντα. Ο Richard Feynman το διατύπωσε πολύ ξεκάθαρα: Εάν κατασκευαστεί ένα μοντέλο του πρώτου τύπου, αυτό σημαίνει ότι αναγνωρίζεται προσωρινά ως αλήθεια και μπορεί κανείς να επικεντρωθεί σε άλλα προβλήματα. Ωστόσο, αυτό δεν μπορεί να είναι ένα σημείο έρευνας, αλλά μόνο μια προσωρινή παύση: η κατάσταση ενός μοντέλου του πρώτου τύπου μπορεί να είναι μόνο προσωρινή.

Διαφάνεια 9

Τύπος 2: Φαινομενολογικό μοντέλο (συμπεριφέρεται σαν...)

Τα φαινομενολογικά μοντέλα έχουν το καθεστώς των προσωρινών λύσεων. Πιστεύεται ότι η απάντηση είναι ακόμη άγνωστη και η αναζήτηση για τους «αληθινούς μηχανισμούς» πρέπει να συνεχιστεί. Ο ρόλος του μοντέλου στην έρευνα μπορεί να αλλάξει με την πάροδο του χρόνου και μπορεί να συμβεί νέα δεδομένα και θεωρίες να επιβεβαιώσουν φαινομενολογικά μοντέλα και να προωθηθούν στην κατάσταση μιας υπόθεσης. Ομοίως, η νέα γνώση μπορεί σταδιακά να έρθει σε σύγκρουση με μοντέλα-υποθέσεις του πρώτου τύπου και να μεταφραστεί στο δεύτερο.

Διαφάνεια 10

Τύπος 3: Προσέγγιση (θεωρούμε κάτι πολύ μεγάλο ή πολύ μικρό)

Εάν είναι δυνατό να κατασκευαστούν εξισώσεις που να περιγράφουν το υπό μελέτη σύστημα, αυτό δεν σημαίνει ότι μπορούν να λυθούν ακόμη και με τη βοήθεια υπολογιστή. Μια κοινή τεχνική σε αυτή την περίπτωση είναι η χρήση προσεγγίσεων (μοντέλα τύπου 3). Μεταξύ αυτών είναι τα μοντέλα γραμμικής απόκρισης. Οι εξισώσεις αντικαθίστανται από γραμμικές.

Διαφάνεια 11

Τύπος 4: Απλοποίηση (θα παραλείψουμε ορισμένες λεπτομέρειες για λόγους σαφήνειας)

Σε ένα μοντέλο τύπου 4, οι λεπτομέρειες που μπορούν να επηρεάσουν σημαντικά και όχι πάντα ελεγχόμενα το αποτέλεσμα απορρίπτονται. Οι ίδιες εξισώσεις μπορούν να χρησιμεύσουν ως μοντέλο τύπου 3 (προσέγγιση) ή 4 (θα παραλείψουμε κάποιες λεπτομέρειες για σαφήνεια) - αυτό εξαρτάται από το φαινόμενο που χρησιμοποιείται το μοντέλο για τη μελέτη. Έτσι, εάν χρησιμοποιούνται μοντέλα γραμμικής απόκρισης απουσία πιο πολύπλοκων μοντέλων, τότε αυτά είναι ήδη φαινομενολογικά γραμμικά μοντέλα.

Διαφάνεια 12

Τύπος 5: Ευρετικό μοντέλο (χωρίς ποσοτικά στοιχεία, αλλά το μοντέλο παρέχει βαθύτερη εικόνα)

Το ευρετικό μοντέλο διατηρεί μόνο μια ποιοτική ομοιότητα με την πραγματικότητα και κάνει προβλέψεις μόνο «κατά σειρά μεγέθους». Παρέχει απλούς τύπους για τους συντελεστές ιξώδους, διάχυσης και θερμικής αγωγιμότητας, οι οποίοι είναι συνεπείς με την πραγματικότητα κατά σειρά μεγέθους.

Διαφάνεια 13

Τύπος 6: Αναλογία (ας λάβουμε υπόψη μόνο ορισμένα χαρακτηριστικά)

Ομοιότητα, ισότητα σχέσεων. ομοιότητα αντικειμένων, φαινομένων, διεργασιών, ποσοτήτων..., σε οποιεσδήποτε ιδιότητες, καθώς και γνώση λαμβάνοντας υπόψη μόνο ορισμένα χαρακτηριστικά.

Διαφάνεια 14

Τύπος 7: Πείραμα σκέψης (το κύριο πράγμα είναι να διαψεύσει την πιθανότητα)

ένας τύπος γνωστικής δραστηριότητας στην οποία μια βασική κατάσταση για μια συγκεκριμένη επιστημονική θεωρία δεν παίζεται σε ένα πραγματικό πείραμα, αλλά στη φαντασία. Σε ορισμένες περιπτώσεις, ένα σκεπτικό πείραμα αποκαλύπτει αντιφάσεις μεταξύ της θεωρίας και της «κανονικής συνείδησης», κάτι που δεν αποτελεί πάντα απόδειξη ότι η θεωρία είναι εσφαλμένη

Διαφάνεια 15

Τύπος 8: Επίδειξη της ευκαιρίας (το κύριο πράγμα είναι να δείξουμε την εσωτερική συνέπεια της ευκαιρίας)

Αυτά είναι επίσης πειράματα σκέψης με φανταστικές οντότητες, που αποδεικνύουν ότι το υποτιθέμενο φαινόμενο είναι συνεπές με βασικές αρχές και εσωτερικά συνεπές. Αυτή είναι η κύρια διαφορά από τα μοντέλα τύπου 7, τα οποία αποκαλύπτουν κρυφές αντιφάσεις. Η ταξινόμηση περιεχομένου βασίζεται στα στάδια που προηγούνται της μαθηματικής ανάλυσης και υπολογισμών. Οκτώ τύποι μοντέλων σύμφωνα με τον R. Peierls είναι οκτώ τύποι ερευνητικών θέσεων στη μοντελοποίηση.

Διαφάνεια 16

Κύρια στάδια μαθηματικής μοντελοποίησης

1. Κατασκευή μοντέλου. Σε αυτό το στάδιο, ορίζεται κάποιο «μη μαθηματικό» αντικείμενο - ένα φυσικό φαινόμενο, σχεδιασμός, οικονομικό σχέδιο, διαδικασία παραγωγής κ.λπ. Σε αυτή την περίπτωση, κατά κανόνα, είναι δύσκολη η σαφής περιγραφή της κατάστασης. Αρχικά, εντοπίζονται τα κύρια χαρακτηριστικά του φαινομένου και οι μεταξύ τους συνδέσεις σε ποιοτικό επίπεδο. Στη συνέχεια οι διαπιστωμένες ποιοτικές εξαρτήσεις διατυπώνονται στη γλώσσα των μαθηματικών, δηλαδή κατασκευάζεται ένα μαθηματικό μοντέλο. Αυτό είναι το πιο δύσκολο στάδιο του μόντελινγκ.

Διαφάνεια 17

2. Λύση του μαθηματικού προβλήματος στο οποίο οδηγεί το μοντέλο. Σε αυτό το στάδιο, δίνεται μεγάλη προσοχή στην ανάπτυξη αλγορίθμων και αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση του προβλήματος σε υπολογιστή, με τη βοήθεια των οποίων μπορεί να βρεθεί το αποτέλεσμα με την απαιτούμενη ακρίβεια και σε αποδεκτό χρόνο. 3. Ερμηνεία των συνεπειών που προκύπτουν από το μαθηματικό μοντέλο. Οι συνέπειες που προκύπτουν από το μοντέλο στη γλώσσα των μαθηματικών ερμηνεύονται στη γλώσσα που είναι αποδεκτή στο πεδίο.

Διαφάνεια 18

4. Έλεγχος καταλληλότητας του μοντέλου. Σε αυτό το στάδιο, προσδιορίζεται εάν τα πειραματικά αποτελέσματα συμφωνούν με τις θεωρητικές συνέπειες του μοντέλου με μια ορισμένη ακρίβεια. 5. Τροποποίηση του μοντέλου. Σε αυτό το στάδιο, είτε το μοντέλο είναι πολύπλοκο ώστε να είναι πιο κατάλληλο για την πραγματικότητα, είτε απλοποιείται προκειμένου να επιτευχθεί μια πρακτικά αποδεκτή λύση.

Διαφάνεια 19

Πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες απαιτήσεις:

το μοντέλο πρέπει να αντικατοπτρίζει επαρκώς τις πιο σημαντικές (από την άποψη μιας ορισμένης διατύπωσης του προβλήματος) ιδιότητες του αντικειμένου, αφαιρώντας από τις ασήμαντες ιδιότητές του. το μοντέλο πρέπει να έχει ένα ορισμένο εύρος εφαρμογής, που καθορίζεται από τις παραδοχές που υιοθετήθηκαν κατά την κατασκευή του· το μοντέλο θα πρέπει να επιτρέπει σε κάποιον να αποκτήσει νέες γνώσεις σχετικά με το αντικείμενο που μελετάται.

Διαφάνεια 20

ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΑΣ

Προβολή όλων των διαφανειών

Λογοτεχνία 1. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Mathematical modeling: Ideas. Μέθοδοι. Παραδείγματα – M.: Nauka, Volkov E. A. Αριθμητικές μέθοδοι. – M.: Nauka, Turchak L.I. Βασικές αρχές αριθμητικών μεθόδων. – M.: Nauka, Kopchenova N.V., Maron I.A. Υπολογιστικά μαθηματικά σε παραδείγματα και προβλήματα. – Μ.: Nauka, 1972.

Λίγη ιστορία από τη χειραγώγηση αντικειμένων έως τη χειραγώγηση εννοιών για αντικείμενα, αντικατάσταση του μελετημένου αντικειμένου, διεργασίας ή φαινομένου με ένα απλούστερο και πιο προσιτό ισοδύναμο για έρευνα, αδυναμία συνεκτίμησης ολόκληρου του συνόλου παραγόντων που καθορίζουν τις ιδιότητες και συμπεριφορά του αντικειμένου

Ο ρόλος των μοντέλων Το κτίριο είναι άσχημο, εύθραυστο ή δεν ταιριάζει στο γύρω τοπίο Η επίδειξη κυκλοφορικών συστημάτων στη φύση είναι απάνθρωπη Οι τάσεις, για παράδειγμα στα φτερά, μπορεί να είναι πολύ υψηλές Η συλλογή ηλεκτρικών κυκλωμάτων για μετρήσεις είναι αντιοικονομική

Σχέση μεταξύ του μοντέλου και του πρωτοτύπου Η δημιουργία ενός μοντέλου περιλαμβάνει τη διατήρηση ορισμένων ιδιοτήτων του πρωτοτύπου και αυτές οι ιδιότητες μπορεί να διαφέρουν σε διαφορετικά μοντέλα. Το κτήριο από χαρτόνι είναι πολύ μικρότερο από το πραγματικό, αλλά μας επιτρέπει να κρίνουμε την εμφάνισή του. η αφίσα κάνει κατανοητό το κυκλοφορικό σύστημα, αν και δεν έχει καμία σχέση με όργανα και ιστούς. Το μοντέλο του αεροσκάφους δεν πετάει, αλλά οι καταπονήσεις στο σώμα του αντιστοιχούν στις συνθήκες πτήσης.

Γιατί να χρησιμοποιήσετε μοντέλα; 1. Το μοντέλο είναι πιο προσιτό για έρευνα από ένα πραγματικό αντικείμενο, 2. Είναι ευκολότερο και φθηνότερο να μελετήσει κανείς ένα μοντέλο από τα πραγματικά αντικείμενα, 3. ορισμένα αντικείμενα δεν μπορούν να μελετηθούν άμεσα: δεν είναι ακόμη δυνατό, για παράδειγμα, να κατασκευαστεί ένα συσκευή για θερμοπυρηνική σύντηξη ή διεξαγωγή πειραμάτων στα βάθη των άστρων, 4. πειράματα με το παρελθόν είναι αδύνατα, πειράματα με οικονομικά ή κοινωνικά πειράματα είναι απαράδεκτα

Σκοπός των μοντέλων 1. Χρησιμοποιώντας ένα μοντέλο, μπορείτε να προσδιορίσετε τους πιο σημαντικούς παράγοντες που διαμορφώνουν τις ιδιότητες ενός αντικειμένου. Δεδομένου ότι το μοντέλο αντικατοπτρίζει μόνο ορισμένα χαρακτηριστικά του αρχικού αντικειμένου, μεταβάλλοντας το σύνολο αυτών των χαρακτηριστικών εντός του μοντέλου, είναι δυνατό να προσδιοριστεί ο βαθμός επιρροής ορισμένων παραγόντων στην επάρκεια της συμπεριφοράς του μοντέλου

Χρειάζεται ένα μοντέλο: 1. Για να κατανοήσουμε πώς είναι δομημένο ένα συγκεκριμένο αντικείμενο: ποια είναι η δομή, οι ιδιότητες, οι νόμοι ανάπτυξης και η αλληλεπίδρασή του με τον έξω κόσμο. 2. Για να μάθετε πώς να διαχειρίζεστε ένα αντικείμενο ή μια διαδικασία και να προσδιορίζετε τις καλύτερες μεθόδους διαχείρισης για δεδομένους στόχους και κριτήρια. 3. Για να προβλέψουμε τη συμπεριφορά ενός αντικειμένου και να εκτιμήσουμε τις συνέπειες διαφόρων μεθόδων και μορφών πρόσκρουσης στο αντικείμενο (μετεωρολογικά μοντέλα, μοντέλα ανάπτυξης βιόσφαιρας).

Ιδιότητα ενός σωστού μοντέλου Ένα σωστά κατασκευασμένο, καλό μοντέλο έχει μια αξιοσημείωτη ιδιότητα: η μελέτη του επιτρέπει σε κάποιον να αποκτήσει νέες γνώσεις για το αντικείμενο - το πρωτότυπο, παρά το γεγονός ότι μόνο ορισμένα βασικά χαρακτηριστικά του πρωτοτύπου χρησιμοποιήθηκαν για τη δημιουργία του μοντέλου

Μοντελοποίηση υλικού Το μοντέλο αναπαράγει τα βασικά γεωμετρικά, φυσικά, δυναμικά και λειτουργικά χαρακτηριστικά του αντικειμένου που μελετάται, όταν το πραγματικό αντικείμενο συγκρίνεται με το μεγεθυσμένο ή μειωμένο αντίγραφό του, επιτρέποντας την έρευνα σε εργαστηριακές συνθήκες με την επακόλουθη μεταφορά των ιδιοτήτων των διεργασιών και φαινόμενα που μελετώνται από το μοντέλο στο αντικείμενο με βάση τη θεωρία της ομοιότητας (πλανητάριο, μοντέλα κτιρίων και συσκευών κ.λπ.). Η ερευνητική διαδικασία σε αυτή την περίπτωση σχετίζεται στενά με την υλική επίδραση στο μοντέλο, δηλαδή αποτελείται από ένα πείραμα πλήρους κλίμακας. Έτσι, η μοντελοποίηση υλικού είναι από τη φύση της μια πειραματική μέθοδος.

Τύποι ιδανικής μοντελοποίησης Διαισθητική - μοντελοποίηση αντικειμένων που δεν μπορούν να επισημοποιηθούν ή δεν το χρειάζονται. Η εμπειρία ζωής ενός ατόμου μπορεί να θεωρηθεί το διαισθητικό του μοντέλο για τον κόσμο γύρω του. Σημάδι - μοντελοποίηση που χρησιμοποιεί μετασχηματισμούς σημάτων διαφόρων τύπων ως μοντέλα: διαγράμματα, γραφήματα, σχέδια, τύπους κ.λπ. και περιέχει ένα σύνολο νόμων με τους οποίους μπορείτε να λειτουργήσετε με τα στοιχεία του μοντέλου

Μαθηματική μοντελοποίηση, η μελέτη ενός αντικειμένου πραγματοποιείται με βάση ένα μοντέλο που διατυπώνεται στη γλώσσα των μαθηματικών και μελετάται χρησιμοποιώντας ορισμένες μαθηματικές μεθόδους.Το μαθηματικό μοντέλο είναι ένας τομέας της επιστήμης που ασχολείται με τη μοντελοποίηση φυσικών φαινομένων, τεχνολογίας, οικονομικών και κοινωνική ζωή με χρήση μαθηματικών συσκευών και, επί του παρόντος, εφαρμογή αυτών των μοντέλων με χρήση υπολογιστή

Ταξινόμηση τάπητα. μοντέλα Κατά σκοπό: προσομοίωση περιγραφικής βελτιστοποίησης Από τη φύση των εξισώσεων: γραμμική μη γραμμική Λαμβάνοντας υπόψη τις αλλαγές στο σύστημα με την πάροδο του χρόνου: δυναμική στατική Από την ιδιότητα του πεδίου ορισμού των ορισμάτων: συνεχής διακριτή Από τη φύση της διαδικασίας: ντετερμινιστική στοχαστική

Περιγραφή της παρουσίασης ανά μεμονωμένες διαφάνειες:

1 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

2 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι μια μαθηματική αναπαράσταση της πραγματικότητας, μια από τις παραλλαγές ενός μοντέλου ως συστήματος, η μελέτη του οποίου επιτρέπει σε κάποιον να λάβει πληροφορίες για κάποιο άλλο σύστημα. Η διαδικασία κατασκευής και μελέτης μαθηματικών μοντέλων ονομάζεται μαθηματική μοντελοποίηση. Όλες οι φυσικές και κοινωνικές επιστήμες που χρησιμοποιούν τα μαθηματικά ασχολούνται ουσιαστικά με τη μαθηματική μοντελοποίηση: αντικαθιστούν το αντικείμενο μελέτης με το μαθηματικό του μοντέλο και στη συνέχεια μελετούν το τελευταίο. Η σύνδεση μεταξύ ενός μαθηματικού μοντέλου και της πραγματικότητας πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας μια αλυσίδα υποθέσεων, εξιδανικεύσεων και απλουστεύσεων. Χρησιμοποιώντας μαθηματικές μεθόδους, κατά κανόνα, περιγράφεται ένα ιδανικό αντικείμενο που κατασκευάστηκε στο στάδιο της ουσιαστικής μοντελοποίησης. Γενικές πληροφορίες

3 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Κανένας ορισμός δεν μπορεί να καλύψει πλήρως την πραγματική δραστηριότητα της μαθηματικής μοντελοποίησης. Παρόλα αυτά, οι ορισμοί είναι χρήσιμοι καθώς προσπαθούν να τονίσουν τα πιο βασικά χαρακτηριστικά. Σύμφωνα με τον Lyapunov, η μαθηματική μοντελοποίηση είναι μια έμμεση πρακτική ή θεωρητική μελέτη ενός αντικειμένου, στην οποία δεν μελετάται άμεσα το ίδιο το αντικείμενο που μας ενδιαφέρει, αλλά κάποιο βοηθητικό τεχνητό ή φυσικό σύστημα (μοντέλο), το οποίο βρίσκεται σε κάποια αντικειμενική αντιστοιχία με το αναγνωρίσιμο αντικείμενο, ικανό να το αντικαταστήσει από ορισμένες απόψεις και, κατά τη μελέτη του, να παρέχει τελικά πληροφορίες για το ίδιο το μοντελοποιημένο αντικείμενο. Σε άλλες εκδόσεις, ένα μαθηματικό μοντέλο ορίζεται ως υποκατάστατο αντικείμενο για το αρχικό αντικείμενο, παρέχοντας τη μελέτη ορισμένων ιδιοτήτων του πρωτοτύπου, ως «ισοδύναμο» ενός αντικειμένου, αντανακλώντας σε μαθηματική μορφή τις πιο σημαντικές του ιδιότητες - τους νόμους στις οποίες υπακούει, στις συνδέσεις που είναι εγγενείς στα συστατικά μέρη του», ως σύστημα εξισώσεων, ή αριθμητικών σχέσεων, ή γεωμετρικών σχημάτων, ή συνδυασμός των δύο, η μελέτη των οποίων μέσω των μαθηματικών θα πρέπει να απαντά στα ερωτήματα που τίθενται σχετικά με τις ιδιότητες του ένα ορισμένο σύνολο ιδιοτήτων ενός αντικειμένου στον πραγματικό κόσμο, ως ένα σύνολο μαθηματικών σχέσεων, εξισώσεων, ανισοτήτων που περιγράφουν τα βασικά μοτίβα που είναι εγγενή στη διαδικασία, το αντικείμενο ή το σύστημα που μελετάται. Ορισμοί

4 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Η επίσημη ταξινόμηση των μοντέλων βασίζεται στην ταξινόμηση των μαθηματικών εργαλείων που χρησιμοποιούνται. Συχνά κατασκευάζεται με τη μορφή διχοτομιών. Για παράδειγμα, ένα από τα δημοφιλή σύνολα διχοτομιών είναι: Γραμμικά ή μη γραμμικά μοντέλα. Συγκεντρωμένα ή κατανεμημένα συστήματα. Ντετερμινιστική ή στοχαστική; Στατική ή δυναμική. Διακριτές ή συνεχείς και ούτω καθεξής. Κάθε κατασκευασμένο μοντέλο είναι γραμμικό ή μη γραμμικό, ντετερμινιστικό ή στοχαστικό, ... Φυσικά, είναι δυνατοί και μικτοί τύποι: συγκεντρωμένοι από μια άποψη (όσον αφορά τις παραμέτρους), κατανεμημένα μοντέλα από άλλη, κ.λπ. Επίσημη ταξινόμηση μοντέλων

5 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Μαζί με την επίσημη ταξινόμηση, τα μοντέλα διαφέρουν στον τρόπο με τον οποίο αντιπροσωπεύουν ένα αντικείμενο: δομικά ή λειτουργικά μοντέλα. Τα δομικά μοντέλα αντιπροσωπεύουν ένα αντικείμενο ως σύστημα με τη δική του δομή και μηχανισμό λειτουργίας. Τα λειτουργικά μοντέλα δεν χρησιμοποιούν τέτοιες αναπαραστάσεις και αντικατοπτρίζουν μόνο την εξωτερικά αντιληπτή συμπεριφορά (λειτουργία) ενός αντικειμένου. Στην ακραία τους έκφραση, ονομάζονται και μοντέλα «μαύρου κουτιού». Είναι επίσης δυνατοί συνδυασμένοι τύποι μοντέλων, οι οποίοι μερικές φορές ονομάζονται μοντέλα "γκρίζου κουτιού". Τα μαθηματικά μοντέλα σύνθετων συστημάτων μπορούν να χωριστούν σε τρεις τύπους: μοντέλα μαύρου κουτιού (φαινομενολογικά), μοντέλα γκρίζου κουτιού (ένα μείγμα φαινομενολογικών και μηχανιστικών μοντέλων), μοντέλα λευκού κουτιού (μηχανιστικά, αξιωματικά). Σχηματική αναπαράσταση μοντέλων μαύρου κουτιού, γκρι κουτιού και λευκού κουτιού Ταξινόμηση σύμφωνα με τον τρόπο αναπαράστασης του αντικειμένου

6 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Σχεδόν όλοι οι συγγραφείς που περιγράφουν τη διαδικασία της μαθηματικής μοντελοποίησης υποδεικνύουν ότι κατασκευάζεται πρώτα μια ειδική ιδανική δομή, ένα μοντέλο με νόημα. Δεν υπάρχει καθιερωμένη ορολογία εδώ, και άλλοι συγγραφείς αποκαλούν αυτό το ιδανικό αντικείμενο εννοιολογικό μοντέλο, κερδοσκοπικό μοντέλο ή προ-μοντέλο. Σε αυτή την περίπτωση, η τελική μαθηματική κατασκευή ονομάζεται επίσημο μοντέλο ή απλά ένα μαθηματικό μοντέλο που προκύπτει ως αποτέλεσμα της τυποποίησης αυτού του ουσιαστικού μοντέλου (προ-μοντέλο). Η κατασκευή ενός ουσιαστικού μοντέλου μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας ένα σύνολο έτοιμων εξιδανικεύσεων, όπως στη μηχανική, όπου τα ιδανικά ελατήρια, τα άκαμπτα σώματα, τα ιδανικά εκκρεμή, τα ελαστικά μέσα κ.λπ. παρέχουν έτοιμα δομικά στοιχεία για ουσιαστική μοντελοποίηση. Ωστόσο, σε τομείς της γνώσης όπου δεν υπάρχουν πλήρως ολοκληρωμένες επισημοποιημένες θεωρίες (η αιχμή της φυσικής, της βιολογίας, της οικονομίας, της κοινωνιολογίας, της ψυχολογίας και των περισσότερων άλλων τομέων), η δημιουργία ουσιαστικών μοντέλων γίνεται δραματικά πιο δύσκολη. Περιεχόμενο και επίσημα μοντέλα

7 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Το έργο του Peierls παρέχει μια ταξινόμηση των μαθηματικών μοντέλων που χρησιμοποιούνται στη φυσική και, ευρύτερα, στις φυσικές επιστήμες. Στο βιβλίο των A. N. Gorban και R. G. Khlebopros, αυτή η ταξινόμηση αναλύεται και επεκτείνεται. Αυτή η ταξινόμηση εστιάζεται κυρίως στο στάδιο της κατασκευής ενός ουσιαστικού μοντέλου. Υπόθεση Τα μοντέλα του πρώτου τύπου - υποθέσεις («αυτό θα μπορούσε να είναι»), «αντιπροσωπεύουν μια δοκιμαστική περιγραφή ενός φαινομένου και ο συγγραφέας είτε πιστεύει στη δυνατότητά του, είτε ακόμη και το θεωρεί αληθινό». Σύμφωνα με τον Peierls, αυτά είναι, για παράδειγμα, το Πτολεμαϊκό μοντέλο του ηλιακού συστήματος και το μοντέλο του Κοπέρνικου (βελτιωμένο από τον Κέπλερ), το ατομικό μοντέλο του Ράδερφορντ και το μοντέλο της Μεγάλης Έκρηξης. Οι υποθέσεις μοντέλων στην επιστήμη δεν μπορούν να αποδειχθούν μια για πάντα· μπορούμε να μιλήσουμε μόνο για τη διάψευση ή τη μη διάψευση τους ως αποτέλεσμα ενός πειράματος. Εάν κατασκευαστεί ένα μοντέλο του πρώτου τύπου, αυτό σημαίνει ότι γίνεται προσωρινά αποδεκτό ως αλήθεια και μπορεί κανείς να επικεντρωθεί σε άλλα προβλήματα. Ωστόσο, αυτό δεν μπορεί να είναι ένα σημείο έρευνας, αλλά μόνο μια προσωρινή παύση: η κατάσταση ενός μοντέλου του πρώτου τύπου μπορεί να είναι μόνο προσωρινή. Φαινομενολογικό μοντέλο Ο δεύτερος τύπος είναι το φαινομενολογικό μοντέλο ("συμπεριφερόμαστε σαν..."), περιέχει έναν μηχανισμό για την περιγραφή του φαινομένου, αν και αυτός ο μηχανισμός δεν είναι αρκετά πειστικός, δεν μπορεί να επιβεβαιωθεί επαρκώς από τα διαθέσιμα δεδομένα ή δεν ταιριάζει καλά με τις υπάρχουσες θεωρίες και τη συσσωρευμένη γνώση για το αντικείμενο. Επομένως, τα φαινομενολογικά μοντέλα έχουν το καθεστώς των προσωρινών λύσεων. Πιστεύεται ότι η απάντηση είναι ακόμα άγνωστη και η αναζήτηση για τους «αληθινούς μηχανισμούς» πρέπει να συνεχιστεί. Το Peierls περιλαμβάνει, για παράδειγμα, το θερμιδικό μοντέλο και το μοντέλο κουάρκ των στοιχειωδών σωματιδίων ως δεύτερο τύπο. Ο ρόλος του μοντέλου στην έρευνα μπορεί να αλλάξει με την πάροδο του χρόνου και μπορεί να συμβεί νέα δεδομένα και θεωρίες να επιβεβαιώσουν φαινομενολογικά μοντέλα και να προωθηθούν στην κατάσταση μιας υπόθεσης. Ομοίως, η νέα γνώση μπορεί σταδιακά να έρθει σε σύγκρουση με υποθετικά μοντέλα του πρώτου τύπου, και μπορούν να μεταφραστούν στο δεύτερο. Ταξινόμηση περιεχομένου μοντέλων

8 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Έτσι, το μοντέλο κουάρκ περνά σταδιακά στην κατηγορία των υποθέσεων. Ο ατομισμός στη φυσική προέκυψε ως προσωρινή λύση, αλλά με την πορεία της ιστορίας έγινε ο πρώτος τύπος. Αλλά τα μοντέλα αιθέρα έχουν περάσει από τον τύπο 1 στον τύπο 2 και πλέον είναι εκτός της επιστήμης. Η ιδέα της απλοποίησης είναι πολύ δημοφιλής κατά την κατασκευή μοντέλων. Αλλά η απλοποίηση έρχεται με διάφορες μορφές. Ο Peierls προσδιορίζει τρεις τύπους απλοποιήσεων στη μοντελοποίηση. Προσέγγιση Ο τρίτος τύπος μοντέλων είναι η προσέγγιση («θεωρούμε κάτι πολύ μεγάλο ή πολύ μικρό»). Εάν είναι δυνατό να κατασκευαστούν εξισώσεις που να περιγράφουν το υπό μελέτη σύστημα, αυτό δεν σημαίνει ότι μπορούν να λυθούν ακόμη και με τη βοήθεια υπολογιστή. Μια κοινή τεχνική σε αυτή την περίπτωση είναι η χρήση προσεγγίσεων (μοντέλα τύπου 3). Μεταξύ αυτών είναι τα μοντέλα γραμμικής απόκρισης. Οι εξισώσεις αντικαθίστανται από γραμμικές. Ένα τυπικό παράδειγμα είναι ο νόμος του Ohm. Εάν χρησιμοποιήσουμε το μοντέλο ιδανικού αερίου για να περιγράψουμε αρκετά σπάνια αέρια, τότε αυτό είναι μοντέλο τύπου 3 (προσέγγιση). Σε υψηλότερες πυκνότητες αερίου, είναι επίσης χρήσιμο να φανταστούμε μια απλούστερη κατάσταση με ένα ιδανικό αέριο για ποιοτική κατανόηση και αξιολογήσεις, αλλά τότε αυτό είναι ήδη ο τύπος 4. Απλοποίηση Ο τέταρτος τύπος είναι η απλοποίηση («θα παραλείψουμε ορισμένες λεπτομέρειες για σαφήνεια»). σε αυτόν τον τύπο, λεπτομέρειες που μπορούν να επηρεάσουν σημαντικά και όχι πάντα ελεγχόμενα το αποτέλεσμα. Οι ίδιες εξισώσεις μπορούν να χρησιμεύσουν ως μοντέλο τύπου 3 (προσέγγιση) ή 4 (θα παραλείψουμε κάποιες λεπτομέρειες για σαφήνεια) - αυτό εξαρτάται από το φαινόμενο που χρησιμοποιείται το μοντέλο για τη μελέτη. Έτσι, εάν χρησιμοποιούνται μοντέλα γραμμικής απόκρισης απουσία πιο πολύπλοκων μοντέλων (δηλαδή, οι μη γραμμικές εξισώσεις δεν είναι γραμμικές, αλλά οι γραμμικές εξισώσεις που περιγράφουν το αντικείμενο απλώς αναζητούνται), τότε αυτά είναι ήδη φαινομενολογικά γραμμικά μοντέλα και ανήκουν στα ακόλουθα τύπου 4 (όλες οι μη γραμμικές λεπτομέρειες "για λόγους σαφήνειας" παραλείπονται). Παραδείγματα: εφαρμογή του μοντέλου ιδανικού αερίου σε ένα μη ιδανικό αέριο, εξίσωση κατάστασης van der Waals, τα περισσότερα μοντέλα στερεάς κατάστασης, υγρή και πυρηνική φυσική. Η διαδρομή από τη μικροπεριγραφή στις ιδιότητες των σωμάτων (ή μέσων) που αποτελούνται από μεγάλο αριθμό σωματιδίων, Σημαντική ταξινόμηση μοντέλων (συνέχεια)

Διαφάνεια 9

Περιγραφή διαφάνειας:

πολύ μακρύ. Πολλές λεπτομέρειες πρέπει να απορριφθούν. Αυτό οδηγεί σε μοντέλα του τέταρτου τύπου. Ευρετικό μοντέλο Ο πέμπτος τύπος είναι ένα ευρετικό μοντέλο («δεν υπάρχει ποσοτική επιβεβαίωση, αλλά το μοντέλο συμβάλλει σε μια βαθύτερη εικόνα της ουσίας του θέματος»), ένα τέτοιο μοντέλο διατηρεί μόνο μια ποιοτική ομοιότητα με την πραγματικότητα και κάνει προβλέψεις μόνο «στο την τάξη μεγέθους». Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η προσέγγιση της μέσης ελεύθερης διαδρομής στην κινητική θεωρία. Παρέχει απλούς τύπους για τους συντελεστές ιξώδους, διάχυσης και θερμικής αγωγιμότητας, οι οποίοι είναι συνεπείς με την πραγματικότητα κατά σειρά μεγέθους. Αλλά όταν χτίζετε μια νέα φυσική, δεν είναι άμεσα δυνατό να αποκτήσετε ένα μοντέλο που να δίνει τουλάχιστον μια ποιοτική περιγραφή του αντικειμένου - ένα μοντέλο του πέμπτου τύπου. Σε αυτή την περίπτωση, ένα μοντέλο χρησιμοποιείται συχνά κατ' αναλογία, αντικατοπτρίζοντας την πραγματικότητα τουλάχιστον με κάποια λεπτομέρεια. Τύπος αναλογίας έξι - αναλογικό μοντέλο ("ας λάβουμε υπόψη μόνο ορισμένα χαρακτηριστικά"). Ο Peierls δίνει μια ιστορία της χρήσης των αναλογιών στην πρώτη εργασία του Heisenberg σχετικά με τη φύση των πυρηνικών δυνάμεων. Πείραμα σκέψης Ο έβδομος τύπος μοντέλου είναι το πείραμα σκέψης («το κύριο πράγμα είναι να διαψεύσουμε την πιθανότητα»). Αυτός ο τύπος μοντελοποίησης χρησιμοποιήθηκε συχνά από τον Αϊνστάιν, συγκεκριμένα, ένα από αυτά τα πειράματα οδήγησε στην κατασκευή της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας. Ας υποθέσουμε ότι στην κλασική φυσική κινούμαστε πίσω από ένα κύμα φωτός με την ταχύτητα του φωτός. Θα παρατηρήσουμε ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που μεταβάλλεται περιοδικά στο χώρο και σταθερό στο χρόνο. Σύμφωνα με τις εξισώσεις του Maxwell, αυτό δεν μπορεί να συμβεί. Ως εκ τούτου, ο Αϊνστάιν κατέληξε: είτε οι νόμοι της φύσης αλλάζουν όταν αλλάζει το σύστημα αναφοράς, είτε η ταχύτητα του φωτός δεν εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς και επέλεξε τη δεύτερη επιλογή. Επίδειξη δυνατότητας Ο όγδοος τύπος είναι η επίδειξη πιθανότητας («το κύριο πράγμα είναι να δείξουμε την εσωτερική συνέπεια της δυνατότητας»), αυτοί οι τύποι μοντέλων είναι επίσης πειράματα σκέψης με φανταστικές οντότητες, που αποδεικνύουν ότι το προτεινόμενο φαινόμενο είναι σύμφωνο με τις βασικές αρχές και Περιεχόμενη ταξινόμηση μοντέλων (συνέχεια)

10 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

εσωτερικά συνεπής. Αυτή είναι η κύρια διαφορά από τα μοντέλα τύπου 7, τα οποία αποκαλύπτουν κρυφές αντιφάσεις. Ένα από τα πιο διάσημα τέτοια πειράματα είναι η γεωμετρία Lobachevsky. (Ο Λομπατσέφσκι το ονόμασε «φανταστική γεωμετρία».) Ένα άλλο παράδειγμα είναι η μαζική παραγωγή επίσημων κινητικών μοντέλων χημικών και βιολογικών δονήσεων, αυτοκύματα. Το παράδοξο Einstein-Podolsky-Rosen επινοήθηκε ως ένα πείραμα σκέψης για να καταδείξει την ασυνέπεια της κβαντικής μηχανικής, αλλά με έναν απρογραμμάτιστο τρόπο με την πάροδο του χρόνου μετατράπηκε σε μοντέλο τύπου 8 - μια επίδειξη της δυνατότητας κβαντικής τηλεμεταφοράς πληροφοριών. Η ταξινόμηση περιεχομένου βασίζεται στα στάδια που προηγούνται της μαθηματικής ανάλυσης και υπολογισμών. Οκτώ τύποι μοντέλων σύμφωνα με τον Peierls είναι οκτώ τύποι ερευνητικών θέσεων στη μοντελοποίηση. Ταξινόμηση περιεχομένου μοντέλων (συνέχεια)

11 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

12 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

ουσιαστικά άχρηστο. Συχνά, ένα απλούστερο μοντέλο επιτρέπει την καλύτερη και βαθύτερη εξερεύνηση ενός πραγματικού συστήματος από ένα πιο σύνθετο (και, τυπικά, «πιο σωστό»). Εάν εφαρμόσουμε το μοντέλο του αρμονικού ταλαντωτή σε αντικείμενα μακριά από τη φυσική, η ουσιαστική του κατάσταση μπορεί να είναι διαφορετική. Για παράδειγμα, κατά την εφαρμογή αυτού του μοντέλου σε βιολογικούς πληθυσμούς, πιθανότατα θα πρέπει να ταξινομηθεί ως αναλογία τύπου 6 ("ας λάβουμε υπόψη μόνο ορισμένα χαρακτηριστικά"). Παράδειγμα (συνέχεια)

Διαφάνεια 13

Περιγραφή διαφάνειας:

Διαφάνεια 14

Περιγραφή διαφάνειας:

Τα πιο σημαντικά μαθηματικά μοντέλα έχουν συνήθως τη σημαντική ιδιότητα της καθολικότητας: θεμελιωδώς διαφορετικά πραγματικά φαινόμενα μπορούν να περιγραφούν από το ίδιο μαθηματικό μοντέλο. Για παράδειγμα, ένας αρμονικός ταλαντωτής περιγράφει όχι μόνο τη συμπεριφορά ενός φορτίου σε ένα ελατήριο, αλλά και άλλες ταλαντωτικές διεργασίες, συχνά εντελώς διαφορετικής φύσης: μικρές ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς, διακυμάνσεις στη στάθμη ενός υγρού σε ένα δοχείο σχήματος U. , ή μια αλλαγή στην ισχύ του ρεύματος σε ένα κύκλωμα ταλάντωσης. Έτσι, μελετώντας ένα μαθηματικό μοντέλο, μελετάμε αμέσως μια ολόκληρη κατηγορία φαινομένων που περιγράφονται από αυτό. Είναι αυτός ο ισομορφισμός των νόμων που εκφράζεται από μαθηματικά μοντέλα σε διάφορα τμήματα της επιστημονικής γνώσης που ενέπνευσε τον Ludwig von Bertalanffy να δημιουργήσει τη «γενική θεωρία των συστημάτων». Ευελιξία μοντέλων

15 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Υπάρχουν πολλά προβλήματα που σχετίζονται με τη μαθηματική μοντελοποίηση. Πρώτα, πρέπει να καταλήξετε σε ένα βασικό διάγραμμα του μοντελοποιημένου αντικειμένου, να το αναπαράγετε στο πλαίσιο των εξιδανικεύσεων αυτής της επιστήμης. Έτσι, ένα βαγόνι τρένου μετατρέπεται σε ένα σύστημα πλακών και πιο πολύπλοκων σωμάτων από διαφορετικά υλικά, κάθε υλικό καθορίζεται ως η τυπική μηχανική του εξιδανίκευση (πυκνότητα, συντελεστές ελαστικότητας, τυπικά χαρακτηριστικά αντοχής), μετά από την οποία συντάσσονται εξισώσεις, στην πορεία μερικές οι λεπτομέρειες απορρίπτονται ως ασήμαντες, γίνονται υπολογισμοί, σε σύγκριση με μετρήσεις, το μοντέλο βελτιστοποιείται και ούτω καθεξής. Ωστόσο, για να αναπτυχθούν τεχνολογίες μαθηματικής μοντελοποίησης, είναι χρήσιμο να αποσυναρμολογηθεί αυτή η διαδικασία στα κύρια συστατικά της. Παραδοσιακά, υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες προβλημάτων που σχετίζονται με τα μαθηματικά μοντέλα: άμεσα και αντίστροφα. Άμεση εργασία: η δομή του μοντέλου και όλες οι παράμετροί του θεωρούνται γνωστές, το κύριο καθήκον είναι η διεξαγωγή μελέτης του μοντέλου για την εξαγωγή χρήσιμης γνώσης για το αντικείμενο. Τι στατικό φορτίο θα αντέξει η γέφυρα; Πώς θα αντιδράσει σε ένα δυναμικό φορτίο (για παράδειγμα, στην πορεία μιας ομάδας στρατιωτών ή στο πέρασμα ενός τρένου με διαφορετικές ταχύτητες), πώς το αεροπλάνο θα ξεπεράσει το ηχητικό φράγμα, εάν θα διαλυθεί από το φτερούγισμα - αυτά είναι χαρακτηριστικά παραδείγματα άμεσου προβλήματος. Η ρύθμιση του σωστού άμεσου προβλήματος (κάνοντας τη σωστή ερώτηση) απαιτεί ιδιαίτερη δεξιότητα. Εάν δεν τεθούν οι σωστές ερωτήσεις, μια γέφυρα μπορεί να καταρρεύσει, ακόμα κι αν έχει κατασκευαστεί ένα καλό μοντέλο για τη συμπεριφορά της. Έτσι, το 1879, μια μεταλλική σιδηροδρομική γέφυρα πέρα ​​από τον ποταμό Tay κατέρρευσε στη Μεγάλη Βρετανία, οι σχεδιαστές της οποίας κατασκεύασαν ένα μοντέλο της γέφυρας, υπολόγισαν ότι είχε 20πλάσιο συντελεστή ασφαλείας για τη δράση του ωφέλιμου φορτίου, αλλά ξέχασαν το άνεμοι που πνέουν συνεχώς σε εκείνα τα μέρη. Και μετά από ενάμιση χρόνο κατέρρευσε. Στην απλούστερη περίπτωση (μια εξίσωση ταλαντωτή, για παράδειγμα), το άμεσο πρόβλημα είναι πολύ απλό και ανάγεται σε μια ρητή λύση αυτής της εξίσωσης. Αντίστροφο πρόβλημα: είναι γνωστά πολλά πιθανά μοντέλα, είναι απαραίτητο να επιλέξετε ένα συγκεκριμένο μοντέλο με βάση πρόσθετα δεδομένα Άμεσα και αντίστροφα προβλήματα μαθηματικής μοντελοποίησης

Μαθηματικό μοντέλοείναι ένα σύνολο μαθηματικών αντικειμένων και σχέσεων μεταξύ τους που αντικατοπτρίζει επαρκώς τις ιδιότητες και τη συμπεριφορά του υπό μελέτη αντικειμένου.

Τα μαθηματικά με τη γενικότερη έννοια της λέξης ασχολούνται με τον ορισμό και τη χρήση συμβολικών προτύπων. Ένα μαθηματικό μοντέλο καλύπτει μια κατηγορία απροσδιόριστων (αφηρημένων, συμβολικών) μαθηματικών αντικειμένων όπως αριθμοί ή διανύσματα, και τις σχέσεις μεταξύ αυτών των αντικειμένων.

Η μαθηματική σχέση είναι ένας υποθετικός κανόνας που συνδέει δύο ή περισσότερα συμβολικά αντικείμενα. Πολλές σχέσεις μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας μαθηματικές πράξεις που συνδέουν ένα ή περισσότερα αντικείμενα με ένα άλλο αντικείμενο ή σύνολο αντικειμένων (το αποτέλεσμα της πράξης). Ένα αφηρημένο μοντέλο, με τα αυθαίρετα αντικείμενα, σχέσεις και πράξεις του, ορίζεται από ένα συνεπές σύνολο κανόνων που εισάγουν τις πράξεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν και καθορίζουν τις γενικές σχέσεις μεταξύ των αποτελεσμάτων τους. Ένας εποικοδομητικός ορισμός εισάγει ένα νέο μαθηματικό μοντέλο χρησιμοποιώντας ήδη γνωστές μαθηματικές έννοιες (για παράδειγμα, ορίζοντας πρόσθεση και πολλαπλασιασμό πινάκων με όρους πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού αριθμών).

Ένα μαθηματικό μοντέλο θα αναπαράγει κατάλληλα επιλεγμένες πτυχές μιας φυσικής κατάστασης εάν μπορεί να δημιουργηθεί ένας κανόνας αντιστοιχίας που να συνδέει συγκεκριμένα φυσικά αντικείμενα και σχέσεις με συγκεκριμένα μαθηματικά αντικείμενα και σχέσεις. Η κατασκευή μαθηματικών μοντέλων για τα οποία δεν υπάρχουν ανάλογα στον φυσικό κόσμο μπορεί επίσης να είναι διδακτική ή/και ενδιαφέρουσα. Τα πιο γνωστά μαθηματικά μοντέλα είναι συστήματα ακεραίων και πραγματικών αριθμών και η Ευκλείδεια γεωμετρία. Οι καθοριστικές ιδιότητες αυτών των μοντέλων είναι λίγο πολύ άμεσες αφαιρέσεις φυσικών διεργασιών (μέτρηση, ταξινόμηση, σύγκριση, μέτρηση).

Τα αντικείμενα και οι πράξεις γενικότερων μαθηματικών μοντέλων συνδέονται συχνά με σύνολα πραγματικών αριθμών που μπορούν να συσχετιστούν με τα αποτελέσματα των φυσικών μετρήσεων.

Η μαθηματική μοντελοποίηση είναι μια μέθοδος ποιοτικής και (ή) ποσοτικής περιγραφής μιας διαδικασίας χρησιμοποιώντας ένα λεγόμενο μαθηματικό μοντέλο, στην κατασκευή του οποίου περιγράφεται μια πραγματική διαδικασία ή φαινόμενο χρησιμοποιώντας τη μία ή την άλλη κατάλληλη μαθηματική συσκευή. Η μαθηματική μοντελοποίηση αποτελεί αναπόσπαστο μέρος της σύγχρονης έρευνας.

Η μαθηματική μοντελοποίηση είναι μια τυπική επιστήμη, που βρίσκεται, όπως λέγεται συχνά, στον «κόμβο» πολλών επιστημών. Δεν μπορεί να κατασκευαστεί ένα επαρκές μαθηματικό μοντέλο χωρίς βαθιά γνώση του αντικειμένου που «εξυπηρετείται» από το μαθηματικό μοντέλο. Μερικές φορές εκφράζεται μια απατηλή ελπίδα ότι ένα μαθηματικό μοντέλο μπορεί να δημιουργηθεί από κοινού από έναν μαθηματικό που δεν γνωρίζει το αντικείμενο της μοντελοποίησης και έναν ειδικό στο «αντικείμενο» που δεν γνωρίζει μαθηματικά. Για την επιτυχία στον τομέα της μαθηματικής μοντελοποίησης, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τόσο τις μαθηματικές μεθόδους όσο και το αντικείμενο της μοντελοποίησης. Αυτό συνδέεται, για παράδειγμα, με την παρουσία μιας τέτοιας ειδικότητας όπως ο θεωρητικός φυσικός, του οποίου η κύρια δραστηριότητα είναι η μαθηματική μοντελοποίηση στη φυσική. Ο διαχωρισμός των ειδικών σε θεωρητικούς και πειραματιστές, που έχει καθιερωθεί στη φυσική, θα συμβεί αναμφίβολα σε άλλες επιστήμες, τόσο θεμελιώδεις όσο και εφαρμοσμένες.

Λόγω της ποικιλίας των μαθηματικών μοντέλων που χρησιμοποιούνται, η γενική τους ταξινόμηση είναι δύσκολη. Στη βιβλιογραφία, συνήθως δίνονται ταξινομήσεις, οι οποίες βασίζονται σε διαφορετικές προσεγγίσεις. Μία από αυτές τις προσεγγίσεις σχετίζεται με τη φύση της μοντελοποιημένης διαδικασίας, όταν διακρίνονται ντετερμινιστικά και πιθανοτικά μοντέλα. Μαζί με αυτή τη διαδεδομένη ταξινόμηση των μαθηματικών μοντέλων, υπάρχουν και άλλα.

Ταξινόμηση μαθηματικών μοντέλων με βάση τα χαρακτηριστικά της μαθηματικής συσκευής που χρησιμοποιείται . Διακρίνονται οι ακόλουθες ποικιλίες.

Τυπικά, τέτοια μοντέλα χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τη δυναμική συστημάτων που αποτελούνται από διακριτά στοιχεία. Από τη μαθηματική πλευρά, αυτά είναι συστήματα συνηθισμένων γραμμικών ή μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.

Τα μαθηματικά μοντέλα με ομαδοποιημένες παραμέτρους χρησιμοποιούνται ευρέως για να περιγράψουν συστήματα που αποτελούνται από διακριτά αντικείμενα ή συλλογές πανομοιότυπων αντικειμένων. Για παράδειγμα, το δυναμικό μοντέλο ενός λέιζερ ημιαγωγών χρησιμοποιείται ευρέως. Αυτό το μοντέλο περιλαμβάνει δύο δυναμικές μεταβλητές - τις συγκεντρώσεις των μειοψηφικών φορέων φορτίου και των φωτονίων στην ενεργή ζώνη λέιζερ.

Στην περίπτωση πολύπλοκων συστημάτων, ο αριθμός των δυναμικών μεταβλητών και, επομένως, των διαφορικών εξισώσεων μπορεί να είναι μεγάλος (έως 102... 103). Σε αυτές τις περιπτώσεις, είναι χρήσιμες διάφορες μέθοδοι μείωσης του συστήματος, με βάση τη χρονική ιεραρχία των διαδικασιών, την αξιολόγηση της επιρροής διαφόρων παραγόντων και την παραμέληση ασήμαντων μεταξύ τους κ.λπ.

Η μέθοδος της διαδοχικής επέκτασης του μοντέλου μπορεί να οδηγήσει στη δημιουργία ενός επαρκούς μοντέλου ενός πολύπλοκου συστήματος.

Τα μοντέλα αυτού του τύπου περιγράφουν τις διαδικασίες διάχυσης, θερμικής αγωγιμότητας, διάδοσης κυμάτων διαφόρων φύσεων κ.λπ. Αυτές οι διεργασίες δεν μπορούν να είναι μόνο φυσικής φύσης. Τα μαθηματικά μοντέλα με κατανεμημένες παραμέτρους είναι ευρέως διαδεδομένα στη βιολογία, τη φυσιολογία και άλλες επιστήμες. Τις περισσότερες φορές, οι εξισώσεις της μαθηματικής φυσικής, συμπεριλαμβανομένων των μη γραμμικών, χρησιμοποιούνται ως βάση ενός μαθηματικού μοντέλου.

Ο θεμελιώδης ρόλος της αρχής της μεγαλύτερης δράσης στη φυσική είναι γνωστός. Για παράδειγμα, όλα τα γνωστά συστήματα εξισώσεων που περιγράφουν φυσικές διεργασίες μπορούν να προέρχονται από ακραίες αρχές. Ωστόσο, σε άλλες επιστήμες, οι ακραίες αρχές παίζουν σημαντικό ρόλο.

Η ακραία αρχή χρησιμοποιείται κατά την προσέγγιση των εμπειρικών εξαρτήσεων με μια αναλυτική έκφραση. Η γραφική αναπαράσταση μιας τέτοιας εξάρτησης και ο συγκεκριμένος τύπος αναλυτικής έκφρασης που περιγράφει αυτή την εξάρτηση καθορίζονται χρησιμοποιώντας την ακραία αρχή, που ονομάζεται μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (μέθοδος Gauss), η ουσία της οποίας είναι η εξής.

Ας γίνει ένα πείραμα, σκοπός του οποίου είναι να μελετήσει την εξάρτηση κάποιου φυσικού μεγέθους Υαπό φυσική ποσότητα Χ.Υποτίθεται ότι οι τιμές x και yσυνδέονται με λειτουργική εξάρτηση

Το είδος αυτής της εξάρτησης πρέπει να καθοριστεί από την εμπειρία. Ας υποθέσουμε ότι ως αποτέλεσμα του πειράματος λάβαμε έναν αριθμό πειραματικών σημείων και σχεδιάσαμε την εξάρτηση στοαπό Χ. Συνήθως, τα πειραματικά σημεία σε ένα τέτοιο γράφημα δεν βρίσκονται αρκετά σωστά, δίνουν κάποια διασπορά, δηλαδή αποκαλύπτουν τυχαίες αποκλίσεις από το ορατό γενικό μοτίβο. Αυτές οι αποκλίσεις συνδέονται με σφάλματα μέτρησης, τα οποία είναι αναπόφευκτα σε κάθε πείραμα. Τότε προκύπτει το τυπικό πρόβλημα πρακτικής εξομάλυνσης της πειραματικής εξάρτησης.

Για την επίλυση αυτού του προβλήματος, χρησιμοποιείται συνήθως μια μέθοδος υπολογισμού γνωστή ως μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (ή μέθοδος Gaussian).

Φυσικά, οι αναφερόμενοι τύποι μαθηματικών μοντέλων δεν εξαντλούν ολόκληρη τη μαθηματική συσκευή που χρησιμοποιείται στη μαθηματική μοντελοποίηση. Η μαθηματική συσκευή της θεωρητικής φυσικής και, ειδικότερα, το πιο σημαντικό τμήμα της - η φυσική των στοιχειωδών σωματιδίων - είναι ιδιαίτερα ποικίλη.

Οι περιοχές εφαρμογής τους χρησιμοποιούνται συχνά ως βασική αρχή για την ταξινόμηση των μαθηματικών μοντέλων. Αυτή η προσέγγιση υπογραμμίζει τους ακόλουθους τομείς εφαρμογής:

φυσικές διαδικασίες?

τεχνικές εφαρμογές, συμπεριλαμβανομένων των διαχειριζόμενων συστημάτων, τεχνητής νοημοσύνης·

διαδικασίες ζωής (βιολογία, φυσιολογία, ιατρική).

μεγάλα συστήματα που σχετίζονται με την ανθρώπινη αλληλεπίδραση (κοινωνική, οικονομική, περιβαλλοντική).

ανθρωπιστικές επιστήμες (γλωσσολογία, τέχνη).

(Οι τομείς εφαρμογής υποδεικνύονται με σειρά που αντιστοιχεί στο μειούμενο επίπεδο επάρκειας του μοντέλου).

Τύποι μαθηματικών μοντέλων: ντετερμινιστικά και πιθανολογικά, θεωρητικά και πειραματικά παραγοντικά. Γραμμική και μη γραμμική, δυναμική και στατική. συνεχής και διακριτή, λειτουργική και δομική.

Ταξινόμηση μαθηματικών μοντέλων (TO - τεχνικό αντικείμενο)

Η δομή ενός μοντέλου είναι ένα διατεταγμένο σύνολο στοιχείων και οι σχέσεις τους. Μια παράμετρος είναι μια τιμή που χαρακτηρίζει την ιδιότητα ή τον τρόπο λειτουργίας ενός αντικειμένου. Οι παράμετροι εξόδου χαρακτηρίζουν τις ιδιότητες ενός τεχνικού αντικειμένου και οι εσωτερικές παράμετροι χαρακτηρίζουν τις ιδιότητες των στοιχείων του. Οι εξωτερικές παράμετροι είναι παράμετροι του εξωτερικού περιβάλλοντος που επηρεάζουν τη λειτουργία ενός τεχνικού αντικειμένου.

Τα μαθηματικά μοντέλα υπόκεινται σε απαιτήσεις επάρκειας, αποτελεσματικότητας και ευελιξίας. Αυτές οι απαιτήσεις είναι αντιφατικές.

Ανάλογα με τον βαθμό αφαίρεσης κατά την περιγραφή των φυσικών ιδιοτήτων ενός τεχνικού συστήματος, διακρίνονται τρία κύρια ιεραρχικά επίπεδα: ανώτερο ή μετα-επίπεδο, μεσαίο ή μακρο επίπεδο, κατώτερο ή μικρο επίπεδο.

Το μετα-επίπεδο αντιστοιχεί στα αρχικά στάδια σχεδιασμού, στα οποία πραγματοποιείται η επιστημονική και τεχνική1 αναζήτηση και πρόβλεψη, η ανάπτυξη μιας ιδέας και τεχνικής λύσης και η ανάπτυξη μιας τεχνικής πρότασης. Για τη δημιουργία μαθηματικών μοντέλων μετα-επίπεδου, χρησιμοποιούνται μέθοδοι μορφολογικής σύνθεσης, θεωρία γραφημάτων, μαθηματική λογική, θεωρία αυτόματου ελέγχου, θεωρία ουρών και θεωρία μηχανών πεπερασμένης κατάστασης.

Σε μακροεπίπεδο, ένα αντικείμενο θεωρείται ως ένα δυναμικό σύστημα με ομαδοποιημένες παραμέτρους. Τα μαθηματικά μοντέλα μακροεπίπεδου είναι συστήματα συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων. Αυτά τα μοντέλα χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό των παραμέτρων ενός τεχνικού αντικειμένου και των λειτουργικών του στοιχείων.

Σε μικροεπίπεδο, ένα αντικείμενο αναπαρίσταται ως ένα συνεχές Περιβάλλον με κατανεμημένες παραμέτρους. Για να περιγραφούν οι διαδικασίες λειτουργίας τέτοιων αντικειμένων, χρησιμοποιούνται μερικές διαφορικές εξισώσεις. Σε μικροεπίπεδο σχεδιάζονται λειτουργικά αδιαίρετα στοιχεία ενός τεχνικού συστήματος που ονομάζονται βασικά στοιχεία. Στην περίπτωση αυτή, το βασικό στοιχείο θεωρείται ως ένα σύστημα που αποτελείται από πολλά παρόμοια λειτουργικά στοιχεία της ίδιας φυσικής φύσης, που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και επηρεάζονται από το εξωτερικό περιβάλλον και άλλα στοιχεία του τεχνικού αντικειμένου, που είναι το εξωτερικό περιβάλλον σε σχέση στο βασικό στοιχείο.

Με βάση τη μορφή αναπαράστασης των μαθηματικών μοντέλων, διακρίνονται αμετάβλητα, αλγοριθμικά, αναλυτικά και γραφικά μοντέλα του σχεδιαστικού αντικειμένου.

ΣΕ αμετάβλητομορφή, ένα μαθηματικό μοντέλο αντιπροσωπεύεται από ένα σύστημα εξισώσεων χωρίς σύνδεση με τη μέθοδο επίλυσης αυτών των εξισώσεων.

ΣΕ αλγοριθμικήμορφή, οι σχέσεις μοντέλου συνδέονται με την επιλεγμένη μέθοδο αριθμητικής λύσης και γράφονται με τη μορφή αλγορίθμου - ακολουθίας υπολογισμών. Μεταξύ των αλγοριθμικών μοντέλων υπάρχουν μίμηση, μοντέλα σχεδιασμένα να προσομοιώνουν φυσικές και πληροφοριακές διεργασίες που συμβαίνουν σε ένα αντικείμενο κατά τη λειτουργία του υπό την επίδραση διαφόρων περιβαλλοντικών παραγόντων.

Αναλυτικόςτο μοντέλο αντιπροσωπεύει ρητές εξαρτήσεις των αναζητούμενων μεταβλητών σε δεδομένες τιμές (συνήθως την εξάρτηση των παραμέτρων εξόδου του αντικειμένου από εσωτερικές και εξωτερικές παραμέτρους). Τέτοια μοντέλα λαμβάνονται με βάση φυσικούς νόμους ή ως αποτέλεσμα της άμεσης ολοκλήρωσης των αρχικών διαφορικών εξισώσεων. Τα αναλυτικά μαθηματικά μοντέλα καθιστούν δυνατή την εύκολη και απλή επίλυση προβλημάτων καθορισμού βέλτιστων παραμέτρων. Επομένως, εάν είναι δυνατό να αποκτήσετε ένα μοντέλο σε αυτή τη μορφή, είναι πάντα σκόπιμο να το εφαρμόσετε, ακόμη και αν είναι απαραίτητο να πραγματοποιήσετε μια σειρά από βοηθητικές διαδικασίες.Τα μοντέλα αυτά λαμβάνονται συνήθως με τη μέθοδο του πειραματικού σχεδιασμού (υπολογιστικό ή φυσικό ).

ΓραφικόςΤο μοντέλο (κυκλώματος) παρουσιάζεται με τη μορφή γραφημάτων, ισοδύναμων κυκλωμάτων, δυναμικών μοντέλων, διαγραμμάτων κ.λπ. Για να χρησιμοποιηθούν γραφικά μοντέλα, πρέπει να υπάρχει ένας κανόνας σαφούς αντιστοιχίας μεταξύ των συμβατικών εικόνων των στοιχείων του γραφικού μοντέλου και των συνιστωσών του αμετάβλητου μαθηματικού μοντέλου.

Η διαίρεση των μαθηματικών μοντέλων σε λειτουργικά και δομικά καθορίζεται από τη φύση των εμφανιζόμενων ιδιοτήτων ενός τεχνικού αντικειμένου.

ΚατασκευαστικόςΤα μοντέλα εμφανίζουν μόνο τη δομή των αντικειμένων και χρησιμοποιούνται μόνο κατά την επίλυση προβλημάτων δομικής σύνθεσης. Οι παράμετροι των δομικών μοντέλων είναι τα χαρακτηριστικά των λειτουργικών ή δομικών στοιχείων που συνθέτουν ένα τεχνικό αντικείμενο και κατά τα οποία μια παραλλαγή της δομής του αντικειμένου διαφέρει από την άλλη. Αυτές οι παράμετροι ονομάζονται μορφολογικές μεταβλητές. Τα δομικά μοντέλα έχουν τη μορφή πινάκων, πινάκων και γραφημάτων. Το πιο πολλά υποσχόμενο είναι η χρήση γραφημάτων δέντρων του τύπου AND-OR-tree. Τέτοια μοντέλα χρησιμοποιούνται ευρέως σε μετα-επίπεδο κατά την επιλογή μιας τεχνικής λύσης.

Λειτουργικόςτα μοντέλα περιγράφουν τις διαδικασίες λειτουργίας των τεχνικών αντικειμένων και έχουν τη μορφή συστημάτων εξισώσεων. Λαμβάνουν υπόψη τις δομικές και λειτουργικές ιδιότητες ενός αντικειμένου και επιτρέπουν την επίλυση προβλημάτων τόσο παραμετρικής όσο και δομικής σύνθεσης. Χρησιμοποιούνται ευρέως σε όλα τα επίπεδα σχεδιασμού. Σε μετα-επίπεδο, οι λειτουργικές εργασίες επιτρέπουν την επίλυση προβλημάτων πρόβλεψης, σε μακροοικονομικό επίπεδο - επιλογή της δομής και βελτιστοποίηση των εσωτερικών παραμέτρων ενός τεχνικού αντικειμένου, σε μικρο επίπεδο - βελτιστοποίηση των παραμέτρων των βασικών στοιχείων.

Σύμφωνα με τις μεθόδους λήψης, τα λειτουργικά μαθηματικά μοντέλα χωρίζονται σε θεωρητικά και πειραματικά.

Θεωρητικόςτα μοντέλα λαμβάνονται με βάση μια περιγραφή των φυσικών διεργασιών της λειτουργίας ενός αντικειμένου και πειραματικός- με βάση τη συμπεριφορά ενός αντικειμένου στο εξωτερικό περιβάλλον, θεωρώντας το ως «μαύρο κουτί». Τα πειράματα σε αυτή την περίπτωση μπορεί να είναι φυσικά (σε ένα τεχνικό αντικείμενο ή το φυσικό του μοντέλο) ή υπολογιστικά (σε ένα θεωρητικό μαθηματικό μοντέλο).

Κατά την κατασκευή θεωρητικών μοντέλων, χρησιμοποιούνται φυσικές και τυπικές προσεγγίσεις.

Η φυσική προσέγγιση καταλήγει στην άμεση εφαρμογή φυσικών νόμων για την περιγραφή αντικειμένων, για παράδειγμα, τους νόμους του Newton, του Hooke, του Kirchhoff κ.λπ.

Η επίσημη προσέγγιση χρησιμοποιεί γενικές μαθηματικές αρχές και χρησιμοποιείται στην κατασκευή τόσο θεωρητικών όσο και πειραματικών μοντέλων. Τα πειραματικά μοντέλα είναι επίσημα. Δεν λαμβάνουν υπόψη ολόκληρο το σύμπλεγμα των φυσικών ιδιοτήτων των στοιχείων του υπό μελέτη τεχνικού συστήματος, αλλά μόνο δημιουργούν μια σύνδεση, που ανακαλύφθηκε κατά το πείραμα, μεταξύ επιμέρους παραμέτρων του συστήματος, η οποία μπορεί να μεταβληθεί και (ή) να μετρηθεί. Τέτοια μοντέλα παρέχουν μια επαρκή περιγραφή των υπό μελέτη διεργασιών μόνο σε μια περιορισμένη περιοχή του χώρου παραμέτρων στην οποία οι παράμετροι μεταβλήθηκαν στο πείραμα. Επομένως, τα πειραματικά μαθηματικά μοντέλα είναι ιδιαίτερης φύσης, ενώ οι φυσικοί νόμοι αντικατοπτρίζουν τους γενικούς νόμους των φαινομένων και των διαδικασιών που συμβαίνουν τόσο σε ολόκληρο το τεχνικό σύστημα όσο και σε κάθε ένα από τα στοιχεία του ξεχωριστά. Κατά συνέπεια, τα πειραματικά μαθηματικά μοντέλα δεν μπορούν να γίνουν αποδεκτά ως φυσικοί νόμοι. Ταυτόχρονα, οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή αυτών των μοντέλων χρησιμοποιούνται ευρέως για τον έλεγχο επιστημονικών υποθέσεων.

Τα λειτουργικά μαθηματικά μοντέλα μπορεί να είναι γραμμικά και μη γραμμικά. ΓραμμικόςΤα μοντέλα περιέχουν μόνο γραμμικές συναρτήσεις μεγεθών που χαρακτηρίζουν την κατάσταση ενός αντικειμένου κατά τη λειτουργία του και τις παράγωγές τους. Τα χαρακτηριστικά πολλών στοιχείων πραγματικών αντικειμένων είναι μη γραμμικά. Τα μαθηματικά μοντέλα τέτοιων αντικειμένων περιλαμβάνουν μη γραμμικές συναρτήσεις αυτών των μεγεθών και των παραγώγων τους και σχετίζονται με μη γραμμικό .

Εάν η μοντελοποίηση λαμβάνει υπόψη τις αδρανειακές ιδιότητες του αντικειμένου και (ή) αλλαγές στο χρόνο του αντικειμένου ή του εξωτερικού περιβάλλοντος, τότε το μοντέλο καλείται δυναμικός. Αλλιώς το μοντέλο είναι στατικός. Η μαθηματική αναπαράσταση ενός δυναμικού μοντέλου στη γενική περίπτωση μπορεί να εκφραστεί με ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων και μια στατική - από ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων.

Εάν η επίδραση του εξωτερικού περιβάλλοντος στο αντικείμενο είναι τυχαία και περιγράφεται από τυχαίες συναρτήσεις. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί πιθανολογικόςμαθηματικό μοντέλο. Ωστόσο, ένα τέτοιο μοντέλο είναι πολύ περίπλοκο και η χρήση του στη σχεδίαση τεχνικών αντικειμένων απαιτεί πολύ χρόνο υπολογιστή. Ως εκ τούτου, χρησιμοποιείται στο τελικό στάδιο του σχεδιασμού.

Οι περισσότερες διαδικασίες σχεδιασμού εκτελούνται σε ντετερμινιστικά μοντέλα. Ένα ντετερμινιστικό μαθηματικό μοντέλο χαρακτηρίζεται από μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ μιας εξωτερικής επιρροής σε ένα δυναμικό σύστημα και της απόκρισής του σε αυτή την επιρροή. Σε ένα υπολογιστικό πείραμα κατά τη διάρκεια του σχεδιασμού, ορισμένες τυπικές τυπικές κρούσεις σε ένα αντικείμενο καθορίζονται συνήθως: σταδιακά, παλμικές, αρμονικές, τμηματικές γραμμικές, εκθετικές κ.λπ. Ονομάζονται δοκιμαστικές κρούσεις.

Συνέχεια του Πίνακα «Ταξινόμηση μαθηματικών μοντέλων

Αλγόριθμοςσυντάσσοντας ένα μαθηματικό μοντέλο:

• Γράψτε μια σύντομη δήλωση των συνθηκών του προβλήματος:

Α) Μάθετε πόσες ποσότητες εμπλέκονται στο πρόβλημα.

Β) προσδιορίστε τις συνδέσεις μεταξύ αυτών των ποσοτήτων.

2. Κάντε ένα σχέδιο για το πρόβλημα (σε προβλήματα που αφορούν κίνηση ή σε προβλήματα γεωμετρικού περιεχομένου) ή έναν πίνακα.

3. Ορίστε το Χ ως μία από τις ποσότητες (κατά προτίμηση μικρότερη ποσότητα).

4. Λαμβάνοντας υπόψη τις συνδέσεις, δημιουργήστε ένα μαθηματικό μοντέλο.

Πρόβλημα 1. (Αρ. 86 (1)).

Το διαμέρισμα αποτελείται από 3 δωμάτια συνολικής επιφάνειας 42 τ.μ. Το πρώτο δωμάτιο είναι 2 φορές μικρότερο από το δεύτερο και το δεύτερο είναι 3 τ.μ. m περισσότερο από το ένα τρίτο. Ποια είναι η επιφάνεια κάθε δωματίου σε αυτό το διαμέρισμα;

Πρόβλημα 2. (Αρ. 86 (2)).

Η Σάσα πλήρωσε 11.200 ρούβλια για το βιβλίο, το στυλό και το σημειωματάριο. Ένα στυλό είναι 3 φορές πιο ακριβό από ένα σημειωματάριο και κοστίζει 700 ρούβλια. φθηνότερο από ένα βιβλίο. Πόσο κοστίζει ένα notebook;

Πρόβλημα 3.(Αρ. 86 (3)).

Ο μοτοσικλετιστής διένυσε απόσταση μεταξύ δύο πόλεων ίση με

980 χλμ, σε 4 μέρες. Την πρώτη μέρα ταξίδεψε 80 χιλιόμετρα λιγότερα από τη δεύτερη μέρα, την τρίτη μέρα - τη μισή απόσταση που διένυσε τις δύο πρώτες ημέρες και την τέταρτη μέρα - τα υπόλοιπα 140 χιλιόμετρα. Πόσο μακριά έκανε ο μοτοσικλετιστής την τρίτη μέρα;

Πρόβλημα 4. (Αρ. 86 (4))

Η περίμετρος του τετράπλευρου είναι 46 dm. Η πρώτη του πλευρά είναι 2 φορές μικρότερη από τη δεύτερη και 3 φορές μικρότερη από την τρίτη πλευρά και η τέταρτη πλευρά είναι 4 εκατοστά μεγαλύτερη από την πρώτη πλευρά. Ποια είναι τα μήκη των πλευρών αυτού του τετράπλευρου;

Πρόβλημα 5. (Αρ. 87)

Ένας από τους αριθμούς είναι 17 μικρότερος από τον δεύτερο και το άθροισμά τους είναι 75. Βρείτε τον μεγαλύτερο από αυτούς τους αριθμούς.

Πρόβλημα 6. (Αρ. 99)

Σε τρία μέρη της συναυλίας συμμετείχαν 20 συμμετέχοντες. Στο δεύτερο μέρος οι συμμετέχοντες ήταν 3 φορές λιγότεροι από το πρώτο και στο τρίτο μέρος οι συμμετέχοντες ήταν 5 περισσότεροι από το δεύτερο. Πόσοι συμμετέχοντες έπαιξαν σε κάθε ενότητα;

Μπορώ (ή όχι):

Δεξιότητες

Πόντοι

0 ή 1

Προσδιορίστε τον αριθμό των ποσοτήτων που εμπλέκονται σε ένα πρόβλημα

Προσδιορίστε τις συνδέσεις μεταξύ των ποσοτήτων

Καταλαβαίνω τι σημαίνει

Β) "Σύνολο"

Μπορώ να φτιάξω ένα μαθηματικό μοντέλο

Μπορώ να δημιουργήσω ένα νέο πρόβλημα χρησιμοποιώντας ένα δεδομένο μαθηματικό μοντέλο

Εργασία για το σπίτι:

1) № 87 (2, 3, 4), № 102 (1);

2) Να συνθέσετε ένα πρόβλημα για το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος