مفهوم ارائه مدل ریاضی. ارائه برای درس "طراحی مدل های ریاضی". مبانی مدلسازی ریاضی

اسلاید 3

مدل سازی ریاضی

این یک توصیف تقریبی از برخی دسته از پدیده ها است که به زبان برخی از نظریه های ریاضی بیان شده است (با استفاده از یک سیستم معادلات جبری و نابرابری ها، معادلات دیفرانسیل یا انتگرال، توابع، سیستم گزاره های هندسی، بردارها و غیره).

اسلاید 4

طبقه بندی مدل

طبقه بندی رسمی مدل ها طبقه بندی رسمی مدل ها بر اساس طبقه بندی ابزارهای ریاضی مورد استفاده است. اغلب به شکل دوگانگی ساخته می شود. به عنوان مثال، یکی از مجموعه های محبوب دوگانگی این است: مدل های خطی یا غیرخطی[; سیستم های متمرکز یا توزیع شده؛ قطعی یا تصادفی؛ استاتیک یا پویا؛ گسسته یا پیوسته. و غیره هر مدل ساخته شده خطی یا غیرخطی، قطعی یا تصادفی است، ... طبیعتاً انواع مختلط نیز امکان پذیر است: از یک جهت متمرکز (از لحاظ پارامترها)، توزیع شده در دیگری و غیره.

اسلاید 5

طبقه بندی بر اساس روش نمایش یک شی مدل های ساختاری یا عملکردی مدل های ساختاری یک شی را به عنوان یک سیستم با ساختار و مکانیسم عملکرد خاص خود نشان می دهند. مدل‌های عملکردی از چنین نمایش‌هایی استفاده نمی‌کنند و فقط رفتار (عملکرد) ادراک خارجی یک شی را منعکس می‌کنند. در بیان افراطی خود، آنها را مدل های "جعبه سیاه" نیز می نامند. انواع مدل های ترکیبی نیز امکان پذیر است که گاهی اوقات به آنها مدل های جعبه خاکستری نیز گفته می شود.

اسلاید 6

مدل‌های ماهوی و رسمی تقریباً همه نویسندگانی که فرآیند مدل‌سازی ریاضی را توصیف می‌کنند، نشان می‌دهند که ابتدا یک ساختار ایده‌آل خاص، یک مدل ماهوی، ساخته می‌شود. و ساخت ریاضی نهایی را مدل رسمی یا صرفاً یک مدل ریاضی به دست آمده در نتیجه رسمی شدن این مدل معنادار می نامند. ساخت یک مدل معنادار را می توان با استفاده از مجموعه ای از ایده آل سازی های آماده انجام داد، یعنی عناصر ساختاری آماده ای را برای مدل سازی معنادار ارائه می کنند.

اسلاید 7

اسلاید 8

نوع 1: فرضیه (ممکن است اتفاق بیفتد)

این مدل‌ها «نماینده توصیفی آزمایشی از یک پدیده هستند و نویسنده یا به امکان آن اعتقاد دارد یا حتی آن را درست می‌داند». هیچ فرضیه ای در علم یک بار برای همیشه قابل اثبات نیست. ریچارد فاینمن این را خیلی واضح بیان کرد: اگر مدلی از نوع اول ساخته شود، به این معنی است که به طور موقت به عنوان حقیقت شناخته می شود و می توان روی مشکلات دیگر تمرکز کرد. با این حال، این نمی تواند یک نکته در تحقیق باشد، بلکه فقط یک مکث موقت است: وضعیت یک مدل از نوع اول فقط می تواند موقتی باشد.

اسلاید 9

نوع 2: مدل پدیدارشناختی (به گونه ای رفتار می کند که گویی...)

مدل های پدیدارشناختی وضعیت راه حل های موقتی دارند. اعتقاد بر این است که پاسخ هنوز ناشناخته است و جستجو برای "مکانیسم های واقعی" باید ادامه یابد. نقش مدل در پژوهش ممکن است در طول زمان تغییر کند و ممکن است داده‌ها و نظریه‌های جدید مدل‌های پدیدارشناختی را تأیید کنند و به وضعیت یک فرضیه ارتقا پیدا کنند. به همین ترتیب، دانش جدید می‌تواند به تدریج با مدل‌ها-فرضیه‌های نوع اول در تضاد باشد و آنها را به دومی تبدیل کند.

اسلاید 10

نوع 3: تقریب (ما چیزی را بسیار بزرگ یا بسیار کوچک در نظر می گیریم)

اگر بتوان معادلاتی ساخت که سیستم مورد مطالعه را توصیف می کند، به این معنی نیست که حتی با کمک کامپیوتر نیز می توان آنها را حل کرد. یک تکنیک رایج در این مورد استفاده از تقریب ها (مدل های نوع 3) است. از جمله آنها می توان به مدل های پاسخ خطی اشاره کرد. معادلات با معادلات خطی جایگزین می شوند.

اسلاید 11

نوع 4: ساده سازی (برای وضوح برخی جزئیات را حذف می کنیم)

در یک مدل نوع 4، جزئیاتی که می توانند به طور قابل توجهی و همیشه به طور قابل کنترلی روی نتیجه تأثیر بگذارند، کنار گذاشته می شوند. همین معادلات می توانند به عنوان مدلی از نوع 3 (تقریبی) یا 4 (برای وضوح برخی جزئیات را حذف می کنیم) - این بستگی به پدیده ای دارد که مدل برای مطالعه استفاده می شود. بنابراین، اگر مدل‌های پاسخ خطی در غیاب مدل‌های پیچیده‌تر مورد استفاده قرار گیرند، در این صورت اینها مدل‌های خطی پدیدارشناختی هستند.

اسلاید 12

نوع 5: مدل اکتشافی (بدون شواهد کمی، اما مدل بینش عمیق تری ارائه می دهد)

مدل اکتشافی فقط یک شباهت کیفی با واقعیت را حفظ می کند و پیش بینی ها را فقط "به ترتیب بزرگی" انجام می دهد. فرمول های ساده ای برای ضرایب ویسکوزیته، انتشار و هدایت حرارتی ارائه می دهد که به ترتیب بزرگی با واقعیت سازگار است.

اسلاید 13

نوع 6: قیاس (بیایید فقط برخی از ویژگی ها را در نظر بگیریم)

شباهت، برابری روابط؛ شباهت اشیاء، پدیده ها، فرآیندها، کمیت ها...، در هر ویژگی، و همچنین شناخت تنها با در نظر گرفتن برخی ویژگی ها.

اسلاید 14

نوع 7: آزمایش فکری (نکته اصلی رد احتمال است)

نوعی فعالیت شناختی که در آن یک موقعیت کلیدی برای یک نظریه علمی خاص نه در یک آزمایش واقعی، بلکه در تخیل انجام می شود. در برخی موارد، یک آزمایش فکری تضادهایی را بین نظریه و "آگاهی معمولی" آشکار می کند، که همیشه دلیلی بر نادرست بودن نظریه نیست.

اسلاید 15

نوع 8: نمایش فرصت (نکته اصلی نشان دادن ثبات درونی فرصت است)

اینها همچنین آزمایش‌های فکری با موجودات خیالی هستند که نشان می‌دهند پدیده مفروض با اصول اولیه و درونی سازگار است. این تفاوت اصلی با مدل های نوع 7 است که تضادهای پنهان را آشکار می کند. طبقه بندی محتوا بر اساس مراحل قبل از تحلیل و محاسبات ریاضی است. هشت نوع مدل از نظر R. Peierls هشت نوع از موقعیت های تحقیقاتی در مدل سازی هستند.

اسلاید 16

مراحل اصلی مدلسازی ریاضی

1. ساخت مدل. در این مرحله، یک شی "غیر ریاضی" مشخص می شود - یک پدیده طبیعی، طراحی، طرح اقتصادی، فرآیند تولید و غیره. در این مورد، به عنوان یک قاعده، توصیف واضح وضعیت دشوار است. ابتدا ویژگی های اصلی پدیده و ارتباطات بین آنها در سطح کیفی شناسایی می شود. سپس وابستگی های کیفی یافت شده به زبان ریاضیات فرموله می شود، یعنی یک مدل ریاضی ساخته می شود. این سخت ترین مرحله مدل سازی است.

اسلاید 17

2. حل مسئله ریاضی که مدل به آن منتهی می شود. در این مرحله به توسعه الگوریتم‌ها و روش‌های عددی برای حل مسئله در رایانه توجه زیادی می‌شود که به کمک آن‌ها می‌توان با دقت لازم و در مدت زمان قابل قبول به نتیجه رسید. 3. تفسیر پیامدهای به دست آمده از مدل ریاضی. پیامدهای حاصل از مدل در زبان ریاضی به زبان مورد قبول در این رشته تفسیر می شود.

اسلاید 18

4. بررسی کفایت مدل. در این مرحله مشخص می شود که آیا نتایج تجربی با نتایج نظری مدل با دقت خاصی مطابقت دارد یا خیر. 5. اصلاح مدل. در این مرحله یا مدل پیچیده می شود تا با واقعیت سازگارتر باشد یا برای دستیابی به راه حل عملا قابل قبول ساده سازی می شود.

اسلاید 19

شرایط زیر باید رعایت شود:

مدل باید به اندازه کافی مهم ترین (از نقطه نظر فرمول مشخصی از مسئله) ویژگی های شیء را منعکس کند و از ویژگی های بی اهمیت آن انتزاع کند. مدل باید دارای محدوده خاصی از کاربرد باشد که توسط مفروضات اتخاذ شده در طول ساخت آن تعیین می شود. مدل باید به فرد اجازه دهد تا دانش جدیدی در مورد شی مورد مطالعه به دست آورد.

اسلاید 20

با تشکر از توجه شما

مشاهده همه اسلایدها

ادبیات 1. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. مدل سازی ریاضی: ایده ها. مواد و روش ها. مثال ها - M.: Nauka، Volkov E. A. روش های عددی. - M.: Nauka، Turchak L.I. مبانی روش های عددی. - M.: Nauka، Kopchenova N.V.، Maron I.A. ریاضیات محاسباتی در مثال ها و مسائل. - M.: Nauka، 1972.

کمی تاریخچه از دستکاری اشیا تا دستکاری مفاهیم در مورد اشیا؛ جایگزینی شی، فرآیند یا پدیده مورد مطالعه با معادل ساده تر و در دسترس تر برای تحقیق؛ عدم امکان در نظر گرفتن کل مجموعه عوامل تعیین کننده خصوصیات و رفتار شی

نقش مدل‌ها ساختمان زشت، شکننده است یا با منظره اطراف سازگاری ندارد.

رابطه بین مدل و مدل اصلی ایجاد یک مدل مستلزم حفظ برخی از ویژگی های اصلی است و این ویژگی ها ممکن است در مدل های مختلف متفاوت باشد. ساختمان مقوایی بسیار کوچکتر از ساختمان واقعی است، اما به ما اجازه می دهد ظاهر آن را قضاوت کنیم. پوستر سیستم گردش خون را قابل درک می کند، اگرچه ربطی به اندام ها و بافت ها ندارد. مدل هواپیما پرواز نمی کند، اما تنش های موجود در بدنه آن با شرایط پرواز مطابقت دارد.

چرا از مدل ها استفاده کنیم؟ 1. مدل برای تحقیق بیشتر از یک شی واقعی قابل دسترس است، 2. مطالعه یک مدل آسانتر و ارزانتر از اشیاء واقعی است، 3. برخی از اشیاء را نمی توان مستقیماً مطالعه کرد: برای مثال، ساختن یک مدل هنوز ممکن نیست. وسیله ای برای همجوشی گرما هسته ای یا انجام آزمایش در اعماق ستارگان، 4. آزمایش با گذشته غیرممکن است، آزمایش با آزمایش های اقتصادی یا اجتماعی غیرقابل قبول است.

هدف از مدل ها 1. با استفاده از یک مدل، می توانید مهم ترین عواملی را که ویژگی های یک شی را شکل می دهند، شناسایی کنید. از آنجایی که مدل فقط برخی از ویژگی های شی اصلی را منعکس می کند، با تغییر مجموعه ای از این ویژگی ها در مدل، می توان میزان تأثیر عوامل خاصی را بر کفایت رفتار مدل تعیین کرد.

یک مدل مورد نیاز است: 1. برای درک چگونگی ساختار یک شی خاص: ساختار، خواص، قوانین توسعه و تعامل آن با جهان خارج چیست. 2. به منظور یادگیری نحوه مدیریت یک شی یا فرآیند و تعیین بهترین روش های مدیریت برای اهداف و معیارهای داده شده. 3. به منظور پیش بینی رفتار یک شی و ارزیابی پیامدهای روش ها و اشکال مختلف تاثیر بر جسم (مدل های هواشناسی، مدل های توسعه زیست کره).

ویژگی یک مدل صحیح یک مدل خوب و درست ساخته شده دارای یک ویژگی قابل توجه است: مطالعه آن به فرد اجازه می دهد تا دانش جدیدی در مورد شی - اصل آن به دست آورد، علیرغم این واقعیت که فقط برخی از ویژگی های اصلی اصلی برای ایجاد مدل استفاده شده است.

مدل‌سازی مواد این مدل ویژگی‌های هندسی، فیزیکی، دینامیکی و عملکردی شی مورد مطالعه را زمانی که شی واقعی با کپی بزرگ‌شده یا کوچک‌شده‌اش مقایسه می‌شود، بازتولید می‌کند و امکان تحقیق در شرایط آزمایشگاهی با انتقال بعدی خواص فرآیندهای مورد مطالعه را فراهم می‌کند. و پدیده هایی از مدل به شیء بر اساس نظریه شباهت (سیاره نما، مدل های ساختمان ها و دستگاه ها و غیره). فرآیند تحقیق در این مورد ارتباط نزدیکی با تأثیر مادی بر مدل دارد، یعنی از یک آزمایش در مقیاس کامل تشکیل شده است. بنابراین، مدل سازی مواد در طبیعت خود یک روش تجربی است.

انواع مدل‌سازی ایده‌آل شهودی - مدل‌سازی اشیایی که نمی‌توانند رسمی شوند یا به آن نیاز ندارند. تجربه زندگی یک فرد را می توان مدل شهودی او از دنیای اطرافش در نظر گرفت.نشانه - مدل سازی که از تبدیل نشانه ها از انواع مختلف به عنوان مدل استفاده می کند: نمودارها، نمودارها، نقاشی ها، فرمول ها و غیره و شامل مجموعه ای از قوانین است که می توانید با آنها عمل کنید. با عناصر مدل

مدل سازی ریاضی، مطالعه یک شی بر اساس مدلی صورت می گیرد که به زبان ریاضیات فرموله شده و با استفاده از روش های ریاضی خاصی مورد مطالعه قرار می گیرد.مدل سازی ریاضی رشته ای از علم است که به مدل سازی پدیده های طبیعی، فناوری، اقتصادی و زندگی اجتماعی با استفاده از دستگاه های ریاضی و در حال حاضر پیاده سازی این مدل ها با استفاده از رایانه

طبقه بندی حصیر. مدل‌ها بر اساس هدف: شبیه‌سازی بهینه‌سازی توصیفی بر اساس ماهیت معادلات: خطی غیرخطی با در نظر گرفتن تغییرات سیستم در طول زمان: استاتیک پویا با خاصیت دامنه تعریف آرگومان‌ها: گسسته پیوسته براساس ماهیت فرآیند: تصادفی قطعی

شرح ارائه توسط اسلایدهای جداگانه:

1 اسلاید

توضیحات اسلاید:

2 اسلاید

توضیحات اسلاید:

مدل ریاضی یک نمایش ریاضی از واقعیت است، یکی از انواع مدل به عنوان یک سیستم، که مطالعه آن به فرد اجازه می دهد تا اطلاعاتی در مورد سیستم دیگری به دست آورد. فرآیند ساخت و مطالعه مدل های ریاضی را مدل سازی ریاضی می گویند. تمام علوم طبیعی و اجتماعی که از دستگاه های ریاضی استفاده می کنند اساساً به مدل سازی ریاضی می پردازند: آنها موضوع مورد مطالعه را با مدل ریاضی آن جایگزین می کنند و سپس دومی را مطالعه می کنند. ارتباط بین یک مدل ریاضی و واقعیت با استفاده از زنجیره ای از فرضیه ها، ایده آل سازی ها و ساده سازی ها انجام می شود. با استفاده از روش های ریاضی، به عنوان یک قاعده، یک شی ایده آل ساخته شده در مرحله مدل سازی معنادار توصیف می شود. اطلاعات کلی

3 اسلاید

توضیحات اسلاید:

هیچ تعریفی نمی تواند فعالیت واقعی مدل سازی ریاضی را به طور کامل پوشش دهد. با وجود این، تعاریف از این جهت مفید هستند که سعی می کنند اساسی ترین ویژگی ها را برجسته کنند. به گفته لیاپانوف، مدل‌سازی ریاضی یک مطالعه غیرمستقیم عملی یا نظری یک شی است که در آن خود شی مورد علاقه ما نیست که مستقیماً مورد مطالعه قرار می‌گیرد، بلکه یک سیستم کمکی مصنوعی یا طبیعی (مدل) است که در برخی مطابقت عینی است. با شی قابل شناخت، قادر به جایگزینی آن از جنبه های خاص و در حین مطالعه، در نهایت اطلاعاتی در مورد خود شی مدل شده ارائه می کند. در نسخه‌های دیگر، یک مدل ریاضی به‌عنوان یک شی جایگزین برای شی اصلی تعریف می‌شود، که مطالعه ویژگی‌های خاصی از شی اصلی را فراهم می‌کند، به‌عنوان «معادل» یک شی، که مهمترین ویژگی‌های آن را به شکل ریاضی منعکس می‌کند - قوانین مربوط به آن. به عنوان یک سیستم معادلات، یا روابط حسابی، یا اشکال هندسی، یا ترکیبی از هر دو، که مطالعه آنها با استفاده از ریاضیات باید به سؤالات مطرح شده در مورد خصوصیات پاسخ دهد. مجموعه خاصی از خواص یک شی در دنیای واقعی، به عنوان مجموعه ای از روابط ریاضی، معادلات، نابرابری ها که الگوهای اساسی ذاتی در فرآیند، شی یا سیستم مورد مطالعه را توصیف می کند. تعاریف

4 اسلاید

توضیحات اسلاید:

طبقه بندی رسمی مدل ها بر اساس طبقه بندی ابزارهای ریاضی مورد استفاده است. اغلب به شکل دوگانگی ساخته می شود. به عنوان مثال، یکی از مجموعه های محبوب دوگانگی این است: مدل های خطی یا غیرخطی; سیستم های متمرکز یا توزیع شده؛ قطعی یا تصادفی؛ استاتیک یا پویا؛ گسسته یا پیوسته و غیره. هر مدل ساخته شده خطی یا غیرخطی، قطعی یا تصادفی است، ... طبیعتاً انواع مختلط نیز امکان پذیر است: متمرکز از یک جهت (از لحاظ پارامترها)، مدل های توزیع شده از نظر دیگر، و غیره طبقه بندی رسمی مدل ها

5 اسلاید

توضیحات اسلاید:

همراه با طبقه‌بندی رسمی، مدل‌ها در نحوه نمایش یک شی متفاوت هستند: مدل‌های ساختاری یا عملکردی. مدل های ساختاری یک شی را به عنوان یک سیستم با ساختار و مکانیسم عملکرد خاص خود نشان می دهند. مدل‌های عملکردی از چنین نمایش‌هایی استفاده نمی‌کنند و فقط رفتار (عملکرد) ادراک خارجی یک شی را منعکس می‌کنند. در بیان افراطی خود، آنها را مدل های "جعبه سیاه" نیز می نامند. انواع مدل های ترکیبی نیز امکان پذیر است که گاهی اوقات به آنها مدل های جعبه خاکستری نیز گفته می شود. مدل‌های ریاضی سیستم‌های پیچیده را می‌توان به سه نوع تقسیم کرد: مدل‌های جعبه سیاه (پدیدارشناسی)، مدل‌های جعبه خاکستری (مخلوطی از مدل‌های پدیدارشناسی و مکانیکی)، مدل‌های جعبه سفید (مکانیستی، بدیهی). نمایش شماتیک مدل‌های جعبه سیاه، جعبه خاکستری و جعبه سفید طبقه‌بندی بر اساس نحوه نمایش شی

6 اسلاید

توضیحات اسلاید:

تقریباً تمام نویسندگانی که فرآیند مدل‌سازی ریاضی را توصیف می‌کنند، نشان می‌دهند که ابتدا یک ساختار ایده‌آل خاص، یک مدل معنادار ساخته می‌شود. در اینجا هیچ اصطلاح ثابتی وجود ندارد و سایر نویسندگان این شی ایده آل را مدل مفهومی، مدل نظری یا پیش مدل می نامند. در این حالت، ساخت ریاضی نهایی را مدل رسمی یا صرفاً یک مدل ریاضی که در نتیجه رسمی شدن این مدل معنادار (پیش مدل) به دست می آید، می گویند. ساخت یک مدل معنی دار می تواند با استفاده از مجموعه ای از ایده آل سازی های آماده انجام شود، مانند مکانیک، که در آن فنرهای ایده آل، بدنه های صلب، آونگ های ایده آل، رسانه های الاستیک و غیره عناصر ساختاری آماده ای را برای مدل سازی معنادار فراهم می کنند. با این حال، در حوزه‌هایی از دانش که تئوری‌های رسمی‌شده کاملاً تکمیل‌شده وجود ندارد (آخرین فیزیک، زیست‌شناسی، اقتصاد، جامعه‌شناسی، روان‌شناسی و بسیاری از حوزه‌های دیگر)، ایجاد مدل‌های معنادار به‌طور چشمگیری دشوارتر می‌شود. محتوا و مدل های رسمی

7 اسلاید

توضیحات اسلاید:

کار Peierls طبقه بندی مدل های ریاضی مورد استفاده در فیزیک و به طور گسترده تر در علوم طبیعی را ارائه می دهد. در کتاب A. N. Gorban و R. G. Khlebopros این طبقه بندی تحلیل و بسط یافته است. این طبقه بندی در درجه اول بر مرحله ساخت یک مدل معنادار متمرکز است. مدل های فرضیه نوع اول - فرضیه ها ("این می تواند باشد")، "نماینده توصیف آزمایشی یک پدیده است و نویسنده یا به امکان آن اعتقاد دارد یا حتی آن را درست می داند." به گفته Peierls، اینها برای مثال، مدل بطلمیوسی منظومه شمسی و مدل کوپرنیک (بهسازی شده توسط کپلر)، مدل اتمی رادرفورد و مدل انفجار بزرگ هستند. فرضیه های مدل در علم را نمی توان یکبار برای همیشه اثبات کرد، فقط در نتیجه آزمایش می توان از ابطال یا عدم ابطال آنها صحبت کرد. اگر مدلی از نوع اول ساخته شود، به این معنی است که به طور موقت به عنوان حقیقت پذیرفته شده و می توان روی مشکلات دیگر تمرکز کرد. با این حال، این نمی تواند یک نکته در تحقیق باشد، بلکه فقط یک مکث موقت است: وضعیت یک مدل از نوع اول فقط می تواند موقتی باشد. مدل پدیدارشناختی نوع دوم، مدل پدیدارشناختی است ("ما طوری رفتار می کنیم که انگار ...")، حاوی مکانیزمی برای توصیف پدیده است، اگرچه این مکانیسم به اندازه کافی قانع کننده نیست، نمی تواند به اندازه کافی توسط داده های موجود تأیید شود یا مناسب نیست. به خوبی با تئوری های موجود و دانش انباشته در مورد شی . بنابراین، مدل‌های پدیدارشناختی وضعیت راه‌حل‌های موقتی دارند. اعتقاد بر این است که پاسخ هنوز ناشناخته است و جستجو برای "مکانیسم های واقعی" باید ادامه یابد. Peierls شامل مدل کالری و مدل کوارک ذرات بنیادی به عنوان نوع دوم است. نقش مدل در پژوهش ممکن است در طول زمان تغییر کند و ممکن است داده‌ها و نظریه‌های جدید مدل‌های پدیدارشناختی را تأیید کنند و به وضعیت یک فرضیه ارتقا پیدا کنند. به همین ترتیب، دانش جدید می‌تواند به تدریج با مدل‌های فرضی نوع اول در تضاد باشد و می‌توان آنها را به مدل دوم ترجمه کرد. طبقه بندی محتوای مدل ها

8 اسلاید

توضیحات اسلاید:

بنابراین، مدل کوارک به تدریج وارد دسته فرضیه ها می شود. اتمیسم در فیزیک به عنوان یک راه حل موقت به وجود آمد، اما با سیر تاریخ به نوع اول تبدیل شد. اما مدل های اتر از نوع 1 به نوع 2 راه یافته اند و اکنون خارج از علم هستند. ایده ساده سازی هنگام ساخت مدل ها بسیار محبوب است. اما ساده‌سازی به اشکال مختلف ظاهر می‌شود. Peierls سه نوع ساده سازی در مدل سازی را شناسایی می کند. تقریب نوع سوم مدل ها تقریبی است ("ما چیزی را بسیار بزرگ یا بسیار کوچک در نظر می گیریم"). اگر بتوان معادلاتی ساخت که سیستم مورد مطالعه را توصیف می کند، به این معنی نیست که حتی با کمک کامپیوتر نیز می توان آنها را حل کرد. یک تکنیک رایج در این مورد استفاده از تقریب ها (مدل های نوع 3) است. از جمله آنها می توان به مدل های پاسخ خطی اشاره کرد. معادلات با معادلات خطی جایگزین می شوند. یک مثال استاندارد قانون اهم است. اگر از مدل گاز ایده آل برای توصیف گازهای کمیاب به اندازه کافی استفاده کنیم، این یک مدل نوع 3 است (تقریبی). در چگالی گازهای بالاتر، تصور وضعیت ساده‌تر با گاز ایده‌آل برای درک و ارزیابی کیفی نیز مفید است، اما این قبلاً نوع 4 است. در این نوع، جزئیاتی که می توانند به طور قابل توجهی و نه همیشه به طور قابل کنترل بر نتیجه تأثیر بگذارند. همین معادلات می توانند به عنوان مدلی از نوع 3 (تقریبی) یا 4 (برای وضوح برخی جزئیات را حذف می کنیم) - این بستگی به پدیده ای دارد که مدل برای مطالعه استفاده می شود. بنابراین، اگر از مدل‌های پاسخ خطی در غیاب مدل‌های پیچیده‌تر استفاده شود (یعنی معادلات غیرخطی خطی نیستند، اما معادلات خطی توصیف‌کننده جسم به سادگی جستجو می‌شوند)، اینها قبلاً مدل‌های خطی پدیدارشناسی هستند و به موارد زیر تعلق دارند. نوع 4 (همه جزئیات غیر خطی "برای وضوح" حذف شده است). مثال ها: کاربرد مدل گاز ایده آل برای گاز غیر ایده آل، معادله حالت واندروالس، اکثر مدل های فیزیک حالت جامد، مایع و هسته ای. مسیر از توصیف خرد تا خواص اجسام (یا رسانه ها) متشکل از تعداد زیادی ذره، طبقه بندی معنادار مدل ها (ادامه)

اسلاید 9

توضیحات اسلاید:

بسیار طولانی. بسیاری از جزئیات را باید کنار گذاشت. این منجر به مدل های نوع چهارم می شود. مدل اکتشافی نوع پنجم یک مدل اکتشافی است ("هیچ تایید کمی وجود ندارد، اما مدل به بینشی عمیق تر از ماهیت موضوع کمک می کند")، چنین مدلی فقط شباهت کیفی به واقعیت را حفظ می کند و پیش بینی ها را فقط "در" انجام می دهد. ترتیب قدر.» یک مثال معمولی تقریب مسیر آزاد میانگین در تئوری جنبشی است. فرمول های ساده ای برای ضرایب ویسکوزیته، انتشار و هدایت حرارتی ارائه می دهد که به ترتیب بزرگی با واقعیت سازگار است. اما هنگام ساختن یک فیزیک جدید، بلافاصله نمی توان مدلی را به دست آورد که حداقل یک توصیف کیفی از شی را ارائه دهد - مدلی از نوع پنجم. در این مورد، یک مدل اغلب با قیاس استفاده می شود و واقعیت را حداقل با جزئیاتی منعکس می کند. قیاس نوع شش - مدل قیاس ("بیایید فقط برخی از ویژگی ها را در نظر بگیریم"). پیرلز تاریخچه ای از استفاده از قیاس ها را در اولین مقاله هایزنبرگ در مورد ماهیت نیروهای هسته ای ارائه می دهد. آزمایش فکری نوع هفتم مدل، آزمایش فکری است ("مهمترین چیز این است که احتمال را رد کنیم"). این نوع مدل‌سازی اغلب توسط انیشتین استفاده می‌شد، به ویژه یکی از این آزمایش‌ها منجر به ساخت نظریه نسبیت خاص شد. فرض کنید در فیزیک کلاسیک ما در پشت یک موج نور با سرعت نور حرکت می کنیم. ما یک میدان الکترومغناطیسی را مشاهده خواهیم کرد که به طور متناوب در فضا تغییر می کند و در زمان ثابت است. با توجه به معادلات ماکسول، این اتفاق نمی تواند رخ دهد. از این رو انیشتین نتیجه گرفت: یا قوانین طبیعت با تغییر سیستم مرجع تغییر می کنند یا سرعت نور به سیستم مرجع بستگی ندارد و گزینه دوم را انتخاب کرد. نمایش امکان نوع هشتم، نمایش امکان است ("مهمترین چیز نشان دادن سازگاری درونی امکان است")، این نوع مدل ها همچنین آزمایش های فکری با موجودات خیالی هستند که نشان می دهد پدیده پیشنهادی با اصول اولیه سازگار است. و طبقه بندی محتوایی مدل ها (ادامه دارد)

10 اسلاید

توضیحات اسلاید:

سازگار درونی این تفاوت اصلی با مدل های نوع 7 است که تضادهای پنهان را آشکار می کند. یکی از معروف‌ترین آزمایش‌ها، هندسه لوباچفسکی است. (لوباچفسکی آن را «هندسه خیالی» نامید.) مثال دیگر تولید انبوه مدل‌های جنبشی رسمی ارتعاشات شیمیایی و بیولوژیکی، امواج خودکار است. پارادوکس انیشتین-پودولسکی-روزن به عنوان یک آزمایش فکری برای نشان دادن ناسازگاری مکانیک کوانتومی تصور شد، اما به شکلی برنامه ریزی نشده در طول زمان به مدل نوع 8 تبدیل شد - نمایشی از امکان انتقال اطلاعات از راه دور کوانتومی. طبقه بندی محتوا بر اساس مراحل قبل از تحلیل و محاسبات ریاضی است. هشت نوع مدل از نظر Peierls هشت نوع از موقعیت های تحقیقاتی در مدل سازی هستند. طبقه بندی محتوای مدل ها (ادامه)

11 اسلاید

توضیحات اسلاید:

12 اسلاید

توضیحات اسلاید:

عملا بی فایده اغلب، یک مدل ساده تر امکان کاوش بهتر و عمیق تر از یک سیستم واقعی را نسبت به یک سیستم پیچیده تر (و به طور رسمی، "درست تر") می دهد. اگر مدل نوسانگر هارمونیک را برای اجسام دور از فیزیک اعمال کنیم، وضعیت ماهوی آن ممکن است متفاوت باشد. به عنوان مثال، هنگام اعمال این مدل برای جمعیت های بیولوژیکی، به احتمال زیاد باید به عنوان قیاس نوع 6 طبقه بندی شود («فقط برخی از ویژگی ها را در نظر بگیریم»). مثال (ادامه دارد)

اسلاید 13

توضیحات اسلاید:

اسلاید 14

توضیحات اسلاید:

مهم‌ترین مدل‌های ریاضی معمولاً دارای ویژگی مهم جهانی بودن هستند: پدیده‌های واقعی اساساً متفاوت را می‌توان با یک مدل ریاضی توصیف کرد. به عنوان مثال، یک نوسان ساز هارمونیک نه تنها رفتار یک بار روی فنر، بلکه سایر فرآیندهای نوسانی را که اغلب ماهیت کاملاً متفاوتی دارند، توصیف می کند: نوسانات کوچک آونگ، نوسانات سطح یک مایع در یک ظرف U شکل. ، یا تغییر در قدرت جریان در مدار نوسانی. بنابراین، با مطالعه یک مدل ریاضی، ما بلافاصله یک کلاس کامل از پدیده های توصیف شده توسط آن را مطالعه می کنیم. این هم‌شکل قوانین بیان شده توسط مدل‌های ریاضی در بخش‌های مختلف دانش علمی است که لودویگ فون برتالانفی را برای ایجاد «نظریه عمومی سیستم‌ها» الهام بخشید. تطبیق پذیری مدل ها

15 اسلاید

توضیحات اسلاید:

مشکلات زیادی در رابطه با مدل سازی ریاضی وجود دارد. ابتدا باید یک نمودار اساسی از شی مدل شده ارائه دهید، آن را در چارچوب ایده آل سازی های این علم بازتولید کنید. بنابراین، یک واگن قطار به سیستمی از صفحات و بدنه‌های پیچیده‌تر از مواد مختلف تبدیل می‌شود، هر ماده به عنوان ایده‌آل‌سازی مکانیکی استاندارد آن (چگالی، مدول الاستیک، ویژگی‌های مقاومت استاندارد) مشخص می‌شود، پس از آن معادلات در طول مسیر ترسیم می‌شوند. جزئیات به‌عنوان بی‌اهمیت کنار گذاشته می‌شوند، محاسبات انجام می‌شوند، در مقایسه با اندازه‌گیری‌ها، مدل اصلاح می‌شود و غیره. با این حال، برای توسعه فناوری‌های مدل‌سازی ریاضی، جدا کردن این فرآیند در اجزای اصلی آن مفید است. به طور سنتی، دو دسته اصلی از مسائل مرتبط با مدل های ریاضی وجود دارد: مستقیم و معکوس. وظیفه مستقیم: ساختار مدل و تمام پارامترهای آن شناخته شده در نظر گرفته می شود، وظیفه اصلی انجام مطالعه مدل برای استخراج دانش مفید در مورد شی است. پل چه بار استاتیکی را تحمل می کند؟ چگونه به یک بار دینامیک (مثلاً به راهپیمایی گروهی از سربازان یا عبور قطار با سرعت های مختلف) واکنش نشان می دهد، چگونه هواپیما بر دیوار صوتی غلبه می کند، آیا از بال زدن جدا می شود - اینها نمونه های معمولی از یک مشکل مستقیم هستند. تنظیم مشکل مستقیم درست (پرسیدن سوال درست) به مهارت خاصی نیاز دارد. اگر سؤالات درست پرسیده نشود، ممکن است یک پل فرو بریزد، حتی اگر مدل خوبی برای رفتار آن ساخته شده باشد. بنابراین، در سال 1879، یک پل آهنی فلزی بر روی رودخانه تای در بریتانیای کبیر فروریخت، طراحان آن مدلی از پل را ساختند، آن را محاسبه کردند که دارای ضریب ایمنی 20 برابری برای عملکرد محموله است، اما این پل را فراموش کردند. بادهایی که مدام در آن مکان ها می وزد. و بعد از یک سال و نیم فرو ریخت. در ساده ترین حالت (مثلاً معادله یک نوسانگر)، مسئله مستقیم بسیار ساده است و به حل صریح این معادله کاهش می یابد. مسئله معکوس: بسیاری از مدل های ممکن شناخته شده است، لازم است یک مدل خاص بر اساس داده های اضافی انتخاب شود مسائل مستقیم و معکوس مدل سازی ریاضی.

مدل ریاضیمجموعه ای از اشیاء ریاضی و روابط بین آنهاست که به اندازه کافی خصوصیات و رفتار شی مورد مطالعه را منعکس می کند.

ریاضیات به معنای عام کلمه به تعریف و استفاده از مدل های نمادین می پردازد. یک مدل ریاضی دسته ای از اشیاء ریاضی تعریف نشده (انتزاعی، نمادین) مانند اعداد یا بردارها و روابط بین این اشیاء را پوشش می دهد.

یک رابطه ریاضی یک قانون فرضی است که دو یا چند شی نمادین را به هم متصل می کند. بسیاری از روابط را می توان با استفاده از عملیات ریاضی توصیف کرد که یک یا چند شی را با یک شی یا مجموعه ای از اشیاء دیگر (نتیجه عملیات) متصل می کند. یک مدل انتزاعی، با اشیاء، روابط و عملیات دلخواه خود، توسط مجموعه‌ای از قواعد منسجم تعریف می‌شود که عملیات‌هایی را که می‌توان استفاده کرد معرفی می‌کند و روابط کلی را بین نتایج آنها ایجاد می‌کند. یک تعریف سازنده یک مدل ریاضی جدید را با استفاده از مفاهیم ریاضی از قبل شناخته شده معرفی می کند (به عنوان مثال، تعریف جمع و ضرب ماتریس بر حسب جمع و ضرب).

یک مدل ریاضی جنبه‌های انتخاب‌شده مناسبی از یک موقعیت فیزیکی را در صورتی که بتوان یک قانون تطابق ایجاد کرد که اشیاء فیزیکی و روابط خاص را با اشیاء و روابط ریاضی خاص پیوند می‌دهد، بازتولید می‌کند. ساخت مدل های ریاضی که هیچ مشابهی برای آنها در دنیای فیزیکی وجود ندارد نیز می تواند آموزنده و/یا جالب باشد. رایج ترین مدل های ریاضی شناخته شده سیستم های اعداد صحیح و واقعی و هندسه اقلیدسی هستند. ویژگی های تعیین کننده این مدل ها انتزاعات کم و بیش مستقیم فرآیندهای فیزیکی (شمارش، ترتیب، مقایسه، اندازه گیری) است.

اشیاء و عملیات مدل‌های ریاضی عمومی‌تر اغلب با مجموعه‌هایی از اعداد واقعی مرتبط هستند که می‌توانند با نتایج اندازه‌گیری‌های فیزیکی مرتبط باشند.

مدل سازی ریاضی روشی برای توصیف کیفی و (یا) کمی یک فرآیند با استفاده از یک مدل به اصطلاح ریاضی است که در ساخت آن یک فرآیند یا پدیده واقعی با استفاده از یک یا آن دستگاه ریاضی کافی توصیف می شود. مدل سازی ریاضی بخشی جدایی ناپذیر از تحقیقات مدرن است.

مدل‌سازی ریاضی یک رشته معمولی است که، همانطور که اغلب گفته می‌شود، در "تقاطع" چندین علم قرار دارد. یک مدل ریاضی کافی بدون دانش عمیق از شیئی که توسط مدل ریاضی "خدمت" می شود، ساخته نمی شود. گاهی اوقات این امید واهی ابراز می شود که یک مدل ریاضی می تواند به طور مشترک توسط یک ریاضیدانی که موضوع مدل سازی را نمی داند و یک متخصص در "شیء" که ریاضیات نمی داند ایجاد کند. برای موفقیت در زمینه مدل سازی ریاضی، شناخت روش های ریاضی و موضوع مدل سازی ضروری است. این به عنوان مثال با حضور چنین تخصص به عنوان یک فیزیکدان نظری مرتبط است که فعالیت اصلی آن مدل سازی ریاضی در فیزیک است. تقسیم متخصصان به نظریه پردازان و تجربی گرایان که در فیزیک جا افتاده است، بدون شک در سایر علوم اعم از بنیادی و کاربردی رخ خواهد داد.

با توجه به تنوع مدل های ریاضی مورد استفاده، طبقه بندی کلی آنها مشکل است. در ادبیات، معمولاً طبقه بندی هایی ارائه می شود که بر اساس رویکردهای مختلف است. یکی از این رویکردها مربوط به ماهیت فرآیند مدل‌سازی شده است، زمانی که مدل‌های قطعی و احتمالی متمایز می‌شوند. در کنار این طبقه بندی گسترده مدل های ریاضی، مدل های دیگری نیز وجود دارد.

طبقه بندی مدل های ریاضی بر اساس ویژگی های دستگاه ریاضی مورد استفاده . انواع زیر را می توان تشخیص داد.

به طور معمول، چنین مدل هایی برای توصیف پویایی سیستم های متشکل از عناصر گسسته استفاده می شود. از نظر ریاضی، اینها سیستم های معادلات دیفرانسیل خطی یا غیرخطی معمولی هستند.

مدل های ریاضی با پارامترهای توده ای به طور گسترده برای توصیف سیستم های متشکل از اشیاء مجزا یا مجموعه ای از اشیاء یکسان استفاده می شود. به عنوان مثال، مدل دینامیکی یک لیزر نیمه هادی به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرد. این مدل شامل دو متغیر دینامیکی است - غلظت حامل‌های بار اقلیت و فوتون‌ها در ناحیه فعال لیزر.

در مورد سیستم های پیچیده، تعداد متغیرهای دینامیکی و در نتیجه معادلات دیفرانسیل می تواند زیاد باشد (تا 102... 103). در این موارد، روش‌های مختلف کاهش سیستم بر اساس سلسله مراتب زمانی فرآیندها، ارزیابی تأثیر عوامل مختلف و نادیده گرفتن عوامل بی‌اهمیت در میان آنها و غیره مفید است.

روش بسط مدل متوالی می تواند منجر به ایجاد یک مدل مناسب از یک سیستم پیچیده شود.

مدل‌هایی از این نوع فرآیندهای انتشار، هدایت حرارتی، انتشار امواج با طبیعت‌های مختلف و غیره را توصیف می‌کنند. این فرآیندها نه تنها می‌توانند ماهیت فیزیکی داشته باشند. مدل های ریاضی با پارامترهای پراکنده در زیست شناسی، فیزیولوژی و سایر علوم گسترده است. اغلب، معادلات فیزیک ریاضی، از جمله معادلات غیر خطی، به عنوان پایه یک مدل ریاضی استفاده می شود.

نقش اساسی اصل بزرگترین عمل در فیزیک به خوبی شناخته شده است. به عنوان مثال، تمام سیستم های معادلات شناخته شده که فرآیندهای فیزیکی را توصیف می کنند، می توانند از اصول افراطی استخراج شوند. اما در سایر علوم، اصول افراطی نقش بسزایی دارند.

اصل افراطی هنگام تقریب وابستگی های تجربی توسط یک عبارت تحلیلی استفاده می شود. نمایش گرافیکی چنین وابستگی و نوع خاص بیان تحلیلی که این وابستگی را توصیف می کند با استفاده از اصل افراطی به نام روش حداقل مربعات (روش گاوس) تعیین می شود که ماهیت آن به شرح زیر است.

اجازه دهید آزمایشی انجام شود که هدف آن بررسی وابستگی برخی از کمیت های فیزیکی است Yاز کمیت فیزیکی ایکس.فرض بر این است که مقادیر x و yبا وابستگی عملکردی مرتبط است

نوع این وابستگی را باید از روی تجربه مشخص کرد. فرض کنید در نتیجه آزمایش تعدادی نقطه آزمایشی به دست آوردیم و وابستگی را رسم کردیم دراز جانب ایکس. به طور معمول، نقاط آزمایشی در چنین نموداری کاملاً درست قرار ندارند، آنها مقداری پراکندگی می دهند، یعنی انحرافات تصادفی را از الگوی عمومی قابل مشاهده نشان می دهند. این انحرافات با خطاهای اندازه گیری همراه است که در هر آزمایشی اجتناب ناپذیر است. سپس مشکل تمرین معمولی هموارسازی وابستگی تجربی بوجود می آید.

برای حل این مشکل معمولاً از یک روش محاسبه معروف به روش حداقل مربعات (یا روش گاوسی) استفاده می شود.

البته، انواع مدل های ریاضی ذکر شده، کل دستگاه ریاضی مورد استفاده در مدل سازی ریاضی را خسته نمی کند. دستگاه ریاضی فیزیک نظری و به ویژه مهمترین بخش آن - فیزیک ذرات بنیادی - بسیار متنوع است.

حوزه های کاربرد آنها اغلب به عنوان اصل اساسی برای طبقه بندی مدل های ریاضی استفاده می شود. این رویکرد حوزه های کاربردی زیر را برجسته می کند:

فرآیندهای فیزیکی؛

کاربردهای فنی، از جمله سیستم های مدیریت شده، هوش مصنوعی؛

فرآیندهای زندگی (زیست شناسی، فیزیولوژی، پزشکی)؛

سیستم های بزرگ مرتبط با تعامل انسانی (اجتماعی، اقتصادی، محیطی)؛

علوم انسانی (زبان شناسی، هنر).

(مناطق کاربرد به ترتیب مربوط به سطح رو به کاهش کفایت مدل نشان داده شده است).

انواع مدل های ریاضی: قطعی و احتمالی، فاکتوریل نظری و تجربی. خطی و غیرخطی، پویا و ایستا. پیوسته و گسسته، عملکردی و ساختاری.

طبقه بندی مدل های ریاضی (TO - شی فنی)

ساختار یک مدل مجموعه منظمی از عناصر و روابط آنهاست. پارامتر مقداری است که ویژگی یا حالت عملکرد یک شی را مشخص می کند. پارامترهای خروجی ویژگی های یک شی فنی را مشخص می کنند و پارامترهای داخلی ویژگی های عناصر آن را مشخص می کنند. پارامترهای خارجی پارامترهای محیط خارجی هستند که بر عملکرد یک شی فنی تأثیر می‌گذارند.

مدل های ریاضی تابع الزامات کفایت، کارایی و تطبیق پذیری هستند. این الزامات متناقض هستند.

بسته به درجه انتزاع در هنگام توصیف ویژگی های فیزیکی یک سیستم فنی، سه سطح سلسله مراتبی اصلی متمایز می شود: سطح بالایی یا فرا، سطح متوسط ​​یا کلان، سطح پایین یا خرد.

سطح متا مربوط به مراحل اولیه طراحی است که در آن جستجو و پیش بینی علمی و فنی، توسعه یک مفهوم و راه حل فنی و توسعه یک پیشنهاد فنی انجام می شود. برای ساخت مدل‌های ریاضی فراسطحی، از روش‌های سنتز ریخت‌شناسی، نظریه گراف، منطق ریاضی، نظریه کنترل خودکار، نظریه صف و نظریه ماشین حالت محدود استفاده می‌شود.

در سطح کلان، یک شی به عنوان یک سیستم پویا با پارامترهای توده ای در نظر گرفته می شود. مدل‌های ریاضی سطح کلان سیستم‌هایی از معادلات دیفرانسیل معمولی هستند. این مدل ها برای تعیین پارامترهای یک شی فنی و عناصر عملکردی آن استفاده می شوند.

در سطح خرد، یک شی به عنوان یک محیط پیوسته با پارامترهای توزیع شده نشان داده می شود. برای توصیف فرآیندهای عملکردی چنین اجسامی، از معادلات دیفرانسیل جزئی استفاده می شود. در سطح خرد، عناصر غیرقابل تقسیم عملکردی یک سیستم فنی طراحی می شوند که به آنها عناصر اساسی می گویند. در این حالت، عنصر اساسی به عنوان یک سیستم متشکل از بسیاری از عناصر عملکردی مشابه با ماهیت فیزیکی یکسان، در تعامل با یکدیگر و تحت تأثیر محیط خارجی و سایر عناصر شی فنی در نظر گرفته می شود که محیط خارجی در رابطه هستند. به عنصر اساسی

بر اساس شکل نمایش مدل های ریاضی، مدل های ثابت، الگوریتمی، تحلیلی و گرافیکی شی طراحی متمایز می شوند.

که در ثابتیک مدل ریاضی با سیستمی از معادلات بدون ارتباط با روش حل این معادلات نشان داده می شود.

که در الگوریتمیشکل، روابط مدل با روش حل عددی انتخاب شده مرتبط است و در قالب یک الگوریتم نوشته می شود - دنباله ای از محاسبات. در میان مدل های الگوریتمی وجود دارد تقلیدمدل‌هایی که برای شبیه‌سازی فرآیندهای فیزیکی و اطلاعاتی که در یک شی در طول عملیات آن تحت تأثیر عوامل مختلف محیطی رخ می‌دهند، طراحی شده‌اند.

تحلیلیمدل وابستگی صریح متغیرهای مورد نظر را به مقادیر داده شده نشان می دهد (معمولاً وابستگی پارامترهای خروجی شی به پارامترهای داخلی و خارجی). چنین مدل هایی بر اساس قوانین فیزیکی یا در نتیجه ادغام مستقیم معادلات دیفرانسیل اصلی به دست می آیند. مدل های ریاضی تحلیلی حل مسائل مربوط به تعیین پارامترهای بهینه را به راحتی و به سادگی امکان پذیر می سازد. بنابراین در صورت امکان به دست آوردن یک مدل به این شکل، همیشه توصیه می شود که آن را پیاده سازی کنید، حتی اگر نیاز به انجام تعدادی روش کمکی باشد، این مدل ها معمولاً با روش برنامه ریزی تجربی (محاسباتی یا فیزیکی) به دست می آیند. ).

گرافیکمدل (مدار) در قالب نمودارها، مدارهای معادل، مدل های دینامیکی، نمودارها و ... ارائه می شود. برای استفاده از مدل‌های گرافیکی، باید یک قاعده مطابقت بدون ابهام بین تصاویر متعارف عناصر مدل گرافیکی و اجزای مدل ریاضی ثابت وجود داشته باشد.

تقسیم مدل های ریاضی به عملکردی و ساختاری با ماهیت ویژگی های نمایش داده شده یک شی فنی تعیین می شود.

ساختاریمدل‌ها فقط ساختار اشیاء را نشان می‌دهند و فقط هنگام حل مسائل سنتز ساختاری استفاده می‌شوند. پارامترهای مدل‌های سازه‌ای، ویژگی‌های عناصر عملکردی یا ساختاری هستند که یک شی فنی را تشکیل می‌دهند و به‌وسیله آن‌ها یک گونه از ساختار شی با دیگری متفاوت است. این پارامترها را متغیرهای مورفولوژیکی می نامند. مدل‌های ساختاری به شکل جداول، ماتریس و نمودار هستند. امیدوارکننده ترین آنها استفاده از نمودارهای درختی از نوع AND-OR-tree است. چنین مدل هایی به طور گسترده ای در سطح متا هنگام انتخاب راه حل فنی مورد استفاده قرار می گیرند.

عملکردیمدل ها فرآیندهای عملکرد اشیاء فنی را توصیف می کنند و شکل سیستم های معادلات را دارند. آنها ویژگی های ساختاری و عملکردی یک شی را در نظر می گیرند و به حل مسائل مربوط به سنتز پارامتری و ساختاری اجازه می دهند. آنها به طور گسترده در تمام سطوح طراحی استفاده می شوند. در سطح متا، وظایف عملکردی امکان حل مشکلات پیش بینی را فراهم می کند، در سطح کلان - انتخاب ساختار و بهینه سازی پارامترهای داخلی یک شی فنی، در سطح خرد - بهینه سازی پارامترهای عناصر اساسی.

با توجه به روش های به دست آوردن، مدل های ریاضی تابعی به نظری و تجربی تقسیم می شوند.

نظریمدل ها بر اساس توصیف فرآیندهای فیزیکی عملکرد یک شی به دست می آیند، و تجربی- بر اساس رفتار یک شی در محیط خارجی، در نظر گرفتن آن به عنوان "جعبه سیاه". آزمایش‌ها در این مورد می‌توانند فیزیکی (روی یک شی فنی یا مدل فیزیکی آن) یا محاسباتی (روی یک مدل ریاضی نظری) باشند.

هنگام ساخت مدل های نظری، از رویکردهای فیزیکی و رسمی استفاده می شود.

رویکرد فیزیکی به استفاده مستقیم از قوانین فیزیکی برای توصیف اشیاء، به عنوان مثال، قوانین نیوتن، هوک، کیرشهوف و غیره می رسد.

رویکرد رسمی از اصول کلی ریاضی استفاده می کند و در ساخت مدل های نظری و تجربی استفاده می شود. مدل های آزمایشی رسمی هستند. آنها کل مجموعه خصوصیات فیزیکی عناصر سیستم فنی مورد مطالعه را در نظر نمی گیرند، بلکه فقط ارتباطی را که در طی آزمایش کشف شده است، بین پارامترهای فردی سیستم ایجاد می کنند که می تواند متغیر و (یا) اندازه گیری شود. چنین مدل‌هایی توصیف کافی از فرآیندهای مورد مطالعه را تنها در یک منطقه محدود از فضای پارامتر ارائه می‌دهند که در آن پارامترها در آزمایش متفاوت بودند. بنابراین، مدل های ریاضی تجربی ماهیت خاصی دارند، در حالی که قوانین فیزیکی منعکس کننده قوانین کلی پدیده ها و فرآیندهایی هستند که هم در کل سیستم فنی و هم در هر یک از عناصر آن به طور جداگانه رخ می دهند. در نتیجه، مدل های ریاضی تجربی را نمی توان به عنوان قوانین فیزیکی پذیرفت. در عین حال، روش های مورد استفاده برای ساخت این مدل ها به طور گسترده ای در آزمون فرضیه های علمی استفاده می شود.

مدل های تابعی ریاضی می توانند خطی و غیرخطی باشند. خطیمدل‌ها فقط شامل توابع خطی از کمیت‌هایی هستند که وضعیت یک شی را در طول عملیات آن مشخص می‌کنند و مشتقات آنها. ویژگی های بسیاری از عناصر اشیاء واقعی غیرخطی هستند. مدل‌های ریاضی چنین اجسامی شامل توابع غیرخطی این مقادیر و مشتقات آن‌ها و مربوط به غیر خطی .

اگر مدل‌سازی ویژگی‌های اینرسی شی و (یا) تغییرات در زمان جسم یا محیط خارجی را در نظر بگیرد، مدل نامیده می‌شود. پویا. وگرنه مدلش هست ایستا. نمایش ریاضی یک مدل پویا در حالت کلی را می توان با یک سیستم معادلات دیفرانسیل و یک استاتیک - توسط یک سیستم معادلات جبری بیان کرد.

اگر تأثیر محیط خارجی بر روی جسم تصادفی باشد و با توابع تصادفی توصیف شود. در این صورت لازم است ساخت احتمالیمدل ریاضی. با این حال، چنین مدلی بسیار پیچیده است و استفاده از آن در طراحی اشیاء فنی مستلزم صرف وقت کامپیوتری زیادی است. بنابراین، در مرحله نهایی طراحی استفاده می شود.

بیشتر رویه‌های طراحی بر روی مدل‌های قطعی انجام می‌شوند. یک مدل ریاضی قطعی با یک مطابقت یک به یک بین تأثیر خارجی بر یک سیستم پویا و پاسخ آن به این تأثیر مشخص می شود. در یک آزمایش محاسباتی در حین طراحی، برخی از ضربه های معمولی استاندارد بر روی یک جسم معمولاً مشخص می شوند: گام به گام، پالسی، هارمونیک، خطی تکه تکه، نمایی و غیره که به آنها ضربه های آزمایشی می گویند.

ادامه جدول «طبقه بندی مدل های ریاضی

الگوریتمترسیم یک مدل ریاضی:

• یک بیانیه مختصر از شرایط مشکل بنویسید:

الف) دریابید که چند مقدار در مشکل دخیل است.

ب) ارتباط بین این مقادیر را شناسایی کنید.

2. یک نقاشی برای مسئله (در مسائل مربوط به حرکت یا در مسائل محتوای هندسی) یا یک جدول بسازید.

3. X را به عنوان یکی از کمیت ها (ترجیحاً کمیت کمتر) تعیین کنید.

4. با در نظر گرفتن اتصالات، یک مدل ریاضی ایجاد کنید.

مسأله 1. (شماره 86 (1)).

این آپارتمان دارای 3 اتاق با مساحت 42 متر مربع می باشد. اتاق اول 2 برابر کوچکتر از اتاق دوم است و اتاق دوم 3 متر مربع است. متر بیش از یک سوم مساحت هر اتاق در این آپارتمان چقدر است؟

مسأله 2. (شماره 86 (2)).

ساشا برای کتاب، خودکار و دفترچه 11200 روبل پرداخت کرد. یک خودکار 3 برابر گرانتر از یک نوت بوک است و 700 روبل قیمت دارد. ارزان تر از کتاب قیمت یک نوت بوک چقدر است؟

مسأله 3. (شماره 86 (3)).

موتورسوار مسافتی را بین دو شهر مسافت طی کرد

980 کیلومتر در 4 روز. در روز اول 80 کیلومتر کمتر از روز دوم، در روز سوم - نیمی از مسافت طی شده در دو روز اول و در روز چهارم - 140 کیلومتر باقی مانده را طی کرد. موتورسوار روز سوم چقدر مسافت را طی کرد؟

مسئله 4. (شماره 86 (4))

محیط چهارضلعی 46 dm است. ضلع اول آن 2 برابر کوچکتر از ضلع دوم و 3 برابر کوچکتر از ضلع سوم و ضلع چهارم آن 4 سانتی متر از ضلع اول بزرگتر است. طول اضلاع این چهارضلعی چقدر است؟

مسأله 5. (شماره 87)

یکی از اعداد 17 کوچکتر از دومی است و مجموع آنها 75 است. بزرگتر از این اعداد را بیابید.

مسئله 6. (شماره 99)

20 شرکت کننده در سه بخش این کنسرت به اجرای برنامه پرداختند. در قسمت دوم 3 برابر کمتر از قسمت اول و در قسمت سوم 5 شرکت کننده بیشتر از قسمت دوم بود. در هر بخش چند شرکت کننده کنسرت اجرا کردند؟

من می توانم (یا نه):

مهارت ها

نکته ها

0 یا 1

تعداد کمیت های درگیر در یک مشکل را شناسایی کنید

ارتباط بین کمیت ها را شناسایی کنید

منظورش را می فهمم

ب) "کل"

من می توانم یک مدل ریاضی بسازم

من می توانم با استفاده از یک مدل ریاضی معین یک مسئله جدید ایجاد کنم

مشق شب:

1) № 87 (2, 3, 4), № 102 (1);

2) یک مسئله برای مدل ریاضی مسئله بنویسید