مفهوم عرض النموذج الرياضي. عرض تقديمي للدرس "وضع النماذج الرياضية". أساسيات النمذجة الرياضية

الشريحة 3

نمذجة الرياضيات

هذا وصف تقريبي لفئة معينة من الظواهر، معبرًا عنها بلغة بعض النظريات الرياضية (باستخدام نظام المعادلات الجبرية والمتباينات، والمعادلات التفاضلية أو التكاملية، والوظائف، ونظام المقترحات الهندسية، والمتجهات، وما إلى ذلك).

الشريحة 4

تصنيف النموذج

التصنيف الرسمي للنماذج يعتمد التصنيف الرسمي للنماذج على تصنيف الأدوات الرياضية المستخدمة. غالبا ما يتم بناؤها في شكل ثنائيات. على سبيل المثال، إحدى مجموعات الثنائيات الشائعة هي: النماذج الخطية أو غير الخطية[; الأنظمة المركزة أو الموزعة؛ حتمية أو عشوائية. ثابت أو ديناميكي؛ منفصلة أو مستمرة. وما إلى ذلك وهلم جرا. كل نموذج تم إنشاؤه خطي أو غير خطي، حتمي أو عشوائي، ... وبطبيعة الحال، من الممكن أيضًا وجود أنواع مختلطة: مركزة في جانب واحد (من حيث المعلمات)، موزعة في جانب آخر، وما إلى ذلك.

الشريحة 5

التصنيف حسب طريقة تمثيل الكائن النماذج الهيكلية أو الوظيفية تمثل النماذج الهيكلية الكائن كنظام له هيكله الخاص وآلية عمله. لا تستخدم النماذج الوظيفية مثل هذه التمثيلات وتعكس فقط السلوك (الأداء) المتصور خارجيًا للكائن. في تعبيرها المتطرف، يطلق عليها أيضًا نماذج "الصندوق الأسود". من الممكن أيضًا إنشاء أنواع مجمعة من النماذج، والتي تسمى أحيانًا نماذج "الصندوق الرمادي".

الشريحة 6

النماذج الموضوعية والرسمية يشير جميع المؤلفين تقريبًا الذين يصفون عملية النمذجة الرياضية إلى أنه يتم أولاً بناء هيكل مثالي خاص، وهو نموذج موضوعي. ويسمى البناء الرياضي النهائي بالنموذج الرسمي أو مجرد نموذج رياضي تم الحصول عليه نتيجة لإضفاء الطابع الرسمي على هذا النموذج ذي المعنى. يمكن بناء نموذج ذي معنى باستخدام مجموعة من المثالية الجاهزة، أي أنها توفر عناصر هيكلية جاهزة للنمذجة ذات المعنى.

الشريحة 7

الشريحة 8

النوع الأول: الفرضية (قد يحدث)

هذه النماذج “تمثل وصفا مبدئيا لظاهرة ما، والمؤلف إما يؤمن بإمكانيتها أو حتى يعتبرها حقيقية”. لا يمكن إثبات أي فرضية في العلم مرة واحدة وإلى الأبد. لقد صاغ ريتشارد فاينمان ذلك بوضوح شديد: إذا تم بناء نموذج من النوع الأول، فهذا يعني أنه تم التعرف عليه مؤقتًا كحقيقة ويمكن للمرء التركيز على المشكلات الأخرى. ومع ذلك، لا يمكن أن تكون هذه نقطة بحثية، بل مجرد توقف مؤقت: فحالة نموذج من النوع الأول لا يمكن أن تكون إلا مؤقتة.

الشريحة 9

النوع الثاني: النموذج الظاهري (التصرف كما لو...)

تتمتع النماذج الظواهرية بمكانة الحلول المؤقتة. ويعتقد أن الإجابة لا تزال مجهولة وأن البحث عن «الآليات الحقيقية» يجب أن يستمر. قد يتغير دور النموذج في البحث بمرور الوقت، وقد يحدث أن تؤكد البيانات والنظريات الجديدة النماذج الظواهرية ويتم ترقيتها إلى حالة الفرضية. وبالمثل، يمكن للمعرفة الجديدة أن تتعارض تدريجياً مع نماذج فرضيات من النوع الأول، ويمكن ترجمتها إلى النوع الثاني.

الشريحة 10

النوع 3: التقريب (نعتبر شيئًا كبيرًا جدًا أو صغيرًا جدًا)

إذا كان من الممكن بناء معادلات تصف النظام قيد الدراسة، فهذا لا يعني أنه يمكن حلها حتى بمساعدة الكمبيوتر. الأسلوب الشائع في هذه الحالة هو استخدام التقديرات (نماذج النوع 3). ومن بينها نماذج الاستجابة الخطية. يتم استبدال المعادلات بمعادلات خطية.

الشريحة 11

النوع الرابع: التبسيط (سنحذف بعض التفاصيل للتوضيح)

في نموذج النوع 4، يتم تجاهل التفاصيل التي يمكن أن تؤثر بشكل كبير وليس دائمًا على النتيجة. يمكن أن تكون المعادلات نفسها بمثابة نموذج من النوع 3 (تقريبي) أو 4 (سنحذف بعض التفاصيل من أجل الوضوح) - وهذا يعتمد على الظاهرة التي يستخدم النموذج في دراستها. لذا، إذا تم استخدام نماذج الاستجابة الخطية في غياب نماذج أكثر تعقيدًا، فهذه نماذج خطية ظاهرية بالفعل.

الشريحة 12

النوع 5: النموذج الإرشادي (لا يوجد دليل كمي، ولكن النموذج يوفر رؤية أعمق)

يحتفظ النموذج الإرشادي فقط بتشابه نوعي مع الواقع ويقوم بالتنبؤات فقط "بحسب الحجم". ويقدم صيغًا بسيطة لمعاملات اللزوجة والانتشار والتوصيل الحراري، والتي تتوافق مع الواقع من حيث الحجم.

الشريحة 13

النوع 6: القياس (دعونا نأخذ في الاعتبار بعض الميزات فقط)

التشابه والمساواة في العلاقات؛ تشابه الأشياء والظواهر والعمليات والكميات...، في أي خصائص، وكذلك الإدراك مع الأخذ بعين الاعتبار بعض الميزات فقط.

الشريحة 14

النوع السابع: التجربة الفكرية (الشيء الرئيسي هو دحض الاحتمال)

نوع من النشاط المعرفي الذي يتم فيه تنفيذ الموقف الرئيسي لنظرية علمية معينة ليس في تجربة حقيقية، ولكن في الخيال. في بعض الحالات، تكشف التجربة الفكرية عن تناقضات بين النظرية و"الوعي العادي"، وهو ما لا يشكل دائمًا دليلاً على عدم صحة النظرية.

الشريحة 15

النوع الثامن: إظهار الفرصة (الشيء الرئيسي هو إظهار الاتساق الداخلي للفرصة)

وهي أيضًا تجارب فكرية مع كيانات خيالية، تثبت أن الظاهرة المفترضة متوافقة مع المبادئ الأساسية ومتسقة داخليًا. وهذا هو الفرق الرئيسي عن نماذج النوع 7، التي تكشف عن التناقضات الخفية. يعتمد تصنيف المحتوى على المراحل التي تسبق التحليل والحسابات الرياضية. ثمانية أنواع من النماذج وفقًا لـ R. Peierls هي ثمانية أنواع من المواقف البحثية في النمذجة.

الشريحة 16

المراحل الرئيسية للنمذجة الرياضية

1. بناء نموذج. في هذه المرحلة، يتم تحديد بعض الأشياء "غير الرياضية" - ظاهرة طبيعية، تصميم، خطة اقتصادية، عملية إنتاج، إلخ. في هذه الحالة، كقاعدة عامة، يكون الوصف الواضح للموقف صعبًا. أولاً، يتم تحديد السمات الرئيسية للظاهرة والعلاقات بينها على المستوى النوعي. ثم تتم صياغة التبعيات النوعية الموجودة بلغة الرياضيات، أي يتم بناء نموذج رياضي. هذه هي أصعب مرحلة في النمذجة.

الشريحة 17

2. حل المشكلة الرياضية التي يؤدي إليها النموذج. في هذه المرحلة، يتم إيلاء الكثير من الاهتمام لتطوير الخوارزميات والأساليب العددية لحل المشكلة على الكمبيوتر، والتي يمكن من خلالها العثور على النتيجة بالدقة المطلوبة وفي وقت مقبول. 3. تفسير النتائج المتحصل عليها من النموذج الرياضي. يتم تفسير النتائج المشتقة من النموذج في لغة الرياضيات باللغة المقبولة في المجال.

الشريحة 18

4. التحقق من كفاية النموذج. يتم في هذه المرحلة تحديد ما إذا كانت النتائج التجريبية تتفق مع النتائج النظرية للنموذج ضمن دقة معينة. 5. تعديل النموذج. وفي هذه المرحلة إما أن يكون النموذج معقدا بحيث يكون أكثر ملاءمة للواقع، أو يتم تبسيطه من أجل التوصل إلى حل مقبول عمليا.

الشريحة 19

يجب استيفاء المتطلبات التالية:

يجب أن يعكس النموذج بشكل مناسب الخصائص الأكثر أهمية (من وجهة نظر صياغة معينة للمشكلة)، مع التجريد من خصائصه غير المهمة؛ يجب أن يكون للنموذج نطاق معين من قابلية التطبيق، تحدده الافتراضات المعتمدة أثناء بنائه؛ يجب أن يسمح النموذج بالحصول على معرفة جديدة حول الكائن قيد الدراسة.

الشريحة 20

شكرًا لكم على اهتمامكم

عرض جميع الشرائح

أدب 1. Samarsky A. A.، Mikhailov A. P. النمذجة الرياضية: الأفكار. طُرق. أمثلة - م.: ناوكا، فولكوف إي.أ. الطرق العددية. – م.: ناوكا، تورتشاك إل. آي. أساسيات الطرق العددية. – م: ناوكا، كوبشينوفا إن في، مارون آي إيه الرياضيات الحسابية في الأمثلة والمسائل. - م: ناوكا، 1972.

القليل من التاريخ من التلاعب بالأشياء إلى التلاعب بالمفاهيم حول الأشياء؛ استبدال الكائن أو العملية أو الظاهرة المدروسة بمعادل أبسط وأكثر سهولة للبحث؛ استحالة مراعاة مجموعة العوامل الكاملة التي تحدد الخصائص و سلوك الكائن

دور النماذج المبنى قبيح أو هش أو لا يتناسب مع المناظر الطبيعية المحيطة به إظهار أنظمة الدورة الدموية في الطبيعة أمر غير إنساني قد تكون الفولتية، على سبيل المثال في الأجنحة، عالية جدًا جمع الدوائر الكهربائية للقياسات غير اقتصادي

العلاقة بين النموذج والأصل يتضمن إنشاء نموذج الحفاظ على بعض خصائص الأصل، وقد تختلف هذه الخصائص باختلاف النماذج. مبنى الكرتون أصغر بكثير من المبنى الحقيقي، لكنه يسمح لنا بالحكم على مظهره؛ الملصق يجعل الدورة الدموية مفهومة، على الرغم من أنها لا علاقة لها بالأعضاء والأنسجة؛ نموذج الطائرة لا يطير، لكن الضغوط الموجودة في جسمها تتوافق مع ظروف الطيران.

لماذا استخدام النماذج؟ 1. النموذج متاح للبحث أكثر من الكائن الحقيقي، 2. دراسة النموذج أسهل وأرخص من دراسة الكائنات الحقيقية، 3. لا يمكن دراسة بعض الكائنات بشكل مباشر: ليس من الممكن بعد، على سبيل المثال، بناء نموذج جهاز للاندماج النووي الحراري أو إجراء تجارب في أعماق النجوم، 4. التجارب مع الماضي مستحيلة، التجارب الاقتصادية أو الاجتماعية غير مقبولة

الغرض من النماذج 1. باستخدام النموذج، يمكنك تحديد أهم العوامل التي تشكل خصائص الكائن. وبما أن النموذج لا يعكس إلا بعض خصائص الكائن الأصلي، فإنه من خلال تغيير مجموعة هذه الخصائص داخل النموذج يمكن تحديد درجة تأثير عوامل معينة على مدى كفاية سلوك النموذج

هناك حاجة إلى نموذج: 1. لفهم كيفية بناء كائن معين: ما هو هيكله وخصائصه وقوانين تطوره وتفاعله مع العالم الخارجي. 2. من أجل تعلم كيفية إدارة كائن أو عملية وتحديد أفضل أساليب الإدارة لأهداف ومعايير معينة. 3. من أجل التنبؤ بسلوك جسم ما وتقييم عواقب الأساليب وأشكال التأثير المختلفة على الجسم (نماذج الأرصاد الجوية، نماذج تطور المحيط الحيوي).

خاصية النموذج الصحيح النموذج الجيد الذي تم إنشاؤه بشكل صحيح له خاصية رائعة: دراسته تتيح للمرء اكتساب معرفة جديدة حول الكائن - الأصل، على الرغم من حقيقة أنه تم استخدام بعض الخصائص الأساسية للأصل فقط لإنشاء النموذج

نمذجة المواد: يستنسخ النموذج الخصائص الهندسية والفيزيائية والديناميكية والوظيفية الأساسية للكائن قيد الدراسة، عند مقارنة الكائن الحقيقي بنسخته المكبرة أو المصغرة، مما يسمح بالبحث في ظروف المختبر مع النقل اللاحق لخصائص العمليات و الظواهر التي تتم دراستها من النموذج إلى الكائن على أساس نظرية التشابه (القبة السماوية، نماذج المباني والأجهزة، الخ). ترتبط عملية البحث في هذه الحالة ارتباطًا وثيقًا بالتأثير المادي على النموذج، أي أنها تتكون من تجربة واسعة النطاق. وبالتالي، فإن نمذجة المواد هي بطبيعتها طريقة تجريبية.

أنواع النمذجة المثالية بديهية - نمذجة الأشياء التي لا يمكن إضفاء الطابع الرسمي عليها أو التي لا تحتاج إليها. يمكن اعتبار تجربة حياة الشخص نموذجًا بديهيًا للعالم من حوله.نمذجة الإشارة التي تستخدم تحويلات الإشارات من أنواع مختلفة كنماذج: الرسوم البيانية والرسوم البيانية والرسومات والصيغ وغيرها، وتحتوي على مجموعة من القوانين التي يمكنك العمل من خلالها مع عناصر النموذج

النمذجة الرياضية، يتم دراسة كائن ما على أساس نموذج تمت صياغته بلغة الرياضيات ودراسته باستخدام طرق رياضية معينة، النمذجة الرياضية هي مجال من مجالات العلوم التي تتناول نمذجة الظواهر الطبيعية والتكنولوجية والاقتصادية الحياة الاجتماعية باستخدام الأجهزة الرياضية، وفي الوقت الحاضر، تنفيذ هذه النماذج باستخدام الكمبيوتر

تصنيف حصيرة. النماذج حسب الغرض: المحاكاة الوصفية الأمثل حسب طبيعة المعادلات: خطية غير خطية مع مراعاة التغيرات في النظام مع مرور الوقت: ثابتة ديناميكية بواسطة خاصية مجال تعريف الوسائط: منفصلة مستمرة حسب طبيعة العملية: العشوائية الحتمية

وصف العرض التقديمي من خلال الشرائح الفردية:

1 شريحة

وصف الشريحة:

2 شريحة

وصف الشريحة:

النموذج الرياضي هو تمثيل رياضي للواقع، وهو أحد المتغيرات للنموذج كنظام، والذي تتيح دراسته الحصول على معلومات حول نظام آخر. تسمى عملية بناء ودراسة النماذج الرياضية بالنمذجة الرياضية. جميع العلوم الطبيعية والاجتماعية التي تستخدم الأجهزة الرياضية تعمل بشكل أساسي في النمذجة الرياضية: فهي تستبدل موضوع الدراسة بنموذجها الرياضي ثم تدرس الأخير. يتم الربط بين النموذج الرياضي والواقع باستخدام سلسلة من الفرضيات والمثاليات والتبسيطات. باستخدام الأساليب الرياضية، كقاعدة عامة، يتم وصف الكائن المثالي الذي تم إنشاؤه في مرحلة النمذجة ذات المغزى. معلومات عامة

3 شريحة

وصف الشريحة:

لا يوجد تعريف يمكن أن يغطي النشاط الفعلي للنمذجة الرياضية بشكل كامل. وعلى الرغم من ذلك، فإن التعريفات مفيدة لأنها تحاول تسليط الضوء على الميزات الأكثر أهمية. وفقًا لـ Lyapunov، النمذجة الرياضية هي دراسة عملية أو نظرية غير مباشرة لكائن ما، حيث لا يتم دراسة الكائن نفسه الذي يهمنا بشكل مباشر، ولكن بعض الأنظمة الاصطناعية أو الطبيعية المساعدة (النموذج)، والتي تكون في بعض المراسلات الموضوعية مع الكائن الذي يمكن التعرف عليه، القادر على استبداله في بعض النواحي، وفي نهاية المطاف، أثناء دراسته، توفير معلومات حول الكائن النموذجي نفسه. في إصدارات أخرى، يتم تعريف النموذج الرياضي على أنه كائن بديل للكائن الأصلي، مما يوفر دراسة بعض خصائص الأصل، باعتباره "معادلاً" للكائن، مما يعكس في شكل رياضي أهم خصائصه - قوانين "التي تطيعها، الروابط المتأصلة في الأجزاء المكونة لها"، كنظام من المعادلات، أو العلاقات الحسابية، أو الأشكال الهندسية، أو مزيج من الاثنين معًا، والتي يجب أن تجيب دراستها عن طريق الرياضيات على الأسئلة المطروحة حول خصائص مجموعة معينة من خصائص كائن ما في العالم الحقيقي، كمجموعة من العلاقات الرياضية والمعادلات وعدم المساواة التي تصف الأنماط الأساسية المتأصلة في العملية أو الكائن أو النظام قيد الدراسة. تعريفات

4 شريحة

وصف الشريحة:

يعتمد التصنيف الرسمي للنماذج على تصنيف الأدوات الرياضية المستخدمة. غالبا ما يتم بناؤها في شكل ثنائيات. على سبيل المثال، إحدى مجموعات الثنائيات الشائعة هي: النماذج الخطية أو غير الخطية؛ الأنظمة المركزة أو الموزعة؛ حتمية أو عشوائية. ثابت أو ديناميكي؛ منفصلة أو مستمرة وما إلى ذلك. كل نموذج تم إنشاؤه خطي أو غير خطي، حتمي أو عشوائي، ... وبطبيعة الحال، من الممكن أيضًا وجود أنواع مختلطة: مركزة في جانب واحد (من حيث المعلمات)، ونماذج موزعة في جانب آخر، وما إلى ذلك. التصنيف الرسمي للنماذج

5 شريحة

وصف الشريحة:

إلى جانب التصنيف الرسمي، تختلف النماذج في الطريقة التي تمثل بها الكائن: النماذج الهيكلية أو الوظيفية. تمثل النماذج الهيكلية كائنًا كنظام له هيكله الخاص وآلية عمله. لا تستخدم النماذج الوظيفية مثل هذه التمثيلات وتعكس فقط السلوك (الأداء) المتصور خارجيًا للكائن. في تعبيرها المتطرف، يطلق عليها أيضًا نماذج "الصندوق الأسود". من الممكن أيضًا إنشاء أنواع مجمعة من النماذج، والتي تسمى أحيانًا نماذج "الصندوق الرمادي". يمكن تقسيم النماذج الرياضية للأنظمة المعقدة إلى ثلاثة أنواع: نماذج الصندوق الأسود (الظواهر)، نماذج الصندوق الرمادي (خليط من النماذج الظواهرية والميكانيكية)، نماذج الصندوق الأبيض (الميكانيكية، البديهية). تمثيل تخطيطي لنماذج الصندوق الأسود والصندوق الرمادي والصندوق الأبيض التصنيف حسب طريقة تمثيل الكائن

6 شريحة

وصف الشريحة:

يشير جميع المؤلفين تقريبًا الذين يصفون عملية النمذجة الرياضية إلى أنه يتم أولاً بناء هيكل مثالي خاص، وهو نموذج ذو معنى. لا توجد مصطلحات ثابتة هنا، ويسمي مؤلفون آخرون هذا الكائن المثالي بالنموذج المفاهيمي، أو النموذج التأملي، أو النموذج المسبق. في هذه الحالة، يسمى البناء الرياضي النهائي بالنموذج الرسمي أو ببساطة نموذج رياضي تم الحصول عليه نتيجة إضفاء الطابع الرسمي على هذا النموذج ذي المعنى (النموذج المسبق). يمكن بناء نموذج ذي معنى باستخدام مجموعة من المثالية الجاهزة، كما هو الحال في الميكانيكا، حيث توفر النوابض المثالية والأجسام الصلبة والبندول المثالي والوسائط المرنة وما إلى ذلك عناصر هيكلية جاهزة للنمذجة ذات المعنى. ومع ذلك، في مجالات المعرفة التي لا توجد فيها نظريات رسمية مكتملة بالكامل (أحدث مجالات الفيزياء، وعلم الأحياء، والاقتصاد، وعلم الاجتماع، وعلم النفس، ومعظم المجالات الأخرى)، يصبح إنشاء نماذج ذات معنى أكثر صعوبة بشكل كبير. المحتوى والنماذج الرسمية

7 شريحة

وصف الشريحة:

يوفر عمل بيرلز تصنيفًا للنماذج الرياضية المستخدمة في الفيزياء، وعلى نطاق أوسع، في العلوم الطبيعية. في كتاب A. N. Gorban و R. G. Khlebopros، يتم تحليل هذا التصنيف وتوسيعه. ويركز هذا التصنيف في المقام الأول على مرحلة بناء نموذج ذو معنى. نماذج الفرضيات من النوع الأول - الفرضيات ("قد يكون هذا")، "تمثل وصفًا مبدئيًا لظاهرة ما، وإما أن يؤمن المؤلف بإمكانيتها، أو حتى يعتبرها صحيحة". وفقًا لبييرلز، هذه هي، على سبيل المثال، النموذج البطلمي للنظام الشمسي والنموذج الكوبرنيكي (الذي تم تحسينه بواسطة كيبلر)، ونموذج رذرفورد الذري ونموذج الانفجار الكبير. لا يمكن إثبات الفرضيات النموذجية في العلم بشكل نهائي، ولا يمكننا الحديث عن دحضها أو عدم دحضها إلا نتيجة للتجربة. إذا تم بناء نموذج من النوع الأول، فهذا يعني أنه يتم قبوله مؤقتًا كحقيقة ويمكن للمرء التركيز على المشكلات الأخرى. ومع ذلك، لا يمكن أن تكون هذه نقطة بحثية، بل مجرد توقف مؤقت: فحالة نموذج من النوع الأول لا يمكن أن تكون إلا مؤقتة. النموذج الفينومينولوجي النوع الثاني هو النموذج الفينومينولوجي ("نتصرف كما لو ...")، ويحتوي على آلية لوصف الظاهرة، على الرغم من أن هذه الآلية ليست مقنعة بما فيه الكفاية، أو لا يمكن تأكيدها بشكل كاف من خلال البيانات المتاحة، أو أنها لا تناسبها. جيد مع النظريات الموجودة والمعرفة المتراكمة حول الكائن. ولذلك، فإن النماذج الظواهرية لها مكانة الحلول المؤقتة. يُعتقد أن الإجابة لا تزال مجهولة، ويجب أن يستمر البحث عن «الآليات الحقيقية». ويدرج بيرلز، على سبيل المثال، نموذج السعرات الحرارية ونموذج الكوارك للجسيمات الأولية كنوع ثان. قد يتغير دور النموذج في البحث بمرور الوقت، وقد يحدث أن تؤكد البيانات والنظريات الجديدة النماذج الظواهرية ويتم ترقيتها إلى حالة الفرضية. وبالمثل، يمكن أن تتعارض المعرفة الجديدة تدريجيًا مع نماذج الفرضيات من النوع الأول، ويمكن ترجمتها إلى النوع الثاني. تصنيف محتوى النماذج

8 شريحة

وصف الشريحة:

وهكذا فإن نموذج الكوارك ينتقل تدريجياً إلى فئة الفرضيات؛ نشأت النظرية الذرية في الفيزياء كحل مؤقت، لكنها مع مرور التاريخ أصبحت النوع الأول. لكن نماذج الأثير شقت طريقها من النوع 1 إلى النوع 2، وهي الآن خارج نطاق العلم. تحظى فكرة التبسيط بشعبية كبيرة عند بناء النماذج. لكن التبسيط يأتي في أشكال مختلفة. يحدد بيرلز ثلاثة أنواع من التبسيط في النمذجة. التقريب النوع الثالث من النماذج هو التقريب ("نعتبر شيئًا كبيرًا جدًا أو صغيرًا جدًا"). إذا كان من الممكن بناء معادلات تصف النظام قيد الدراسة، فهذا لا يعني أنه يمكن حلها حتى بمساعدة الكمبيوتر. الأسلوب الشائع في هذه الحالة هو استخدام التقديرات (نماذج النوع 3). ومن بينها نماذج الاستجابة الخطية. يتم استبدال المعادلات بمعادلات خطية. والمثال القياسي هو قانون أوم. إذا استخدمنا نموذج الغاز المثالي لوصف الغازات المتخلخلة بدرجة كافية، فهذا نموذج من النوع 3 (تقريبي). عند كثافات الغاز الأعلى، من المفيد أيضًا تخيل موقف أبسط مع غاز مثالي للفهم والتقييم النوعي، ولكن هذا هو بالفعل النوع 4. التبسيط النوع الرابع هو التبسيط ("سنحذف بعض التفاصيل من أجل الوضوح")، في هذا النوع، التفاصيل التي يمكن أن تؤثر بشكل كبير وليس دائمًا على النتيجة. يمكن أن تكون المعادلات نفسها بمثابة نموذج من النوع 3 (تقريبي) أو 4 (سنحذف بعض التفاصيل من أجل الوضوح) - وهذا يعتمد على الظاهرة التي يستخدم النموذج في دراستها. لذلك، إذا تم استخدام نماذج الاستجابة الخطية في غياب نماذج أكثر تعقيدًا (أي أن المعادلات غير الخطية ليست خطية، ولكن يتم البحث ببساطة عن المعادلات الخطية التي تصف الكائن)، فهذه نماذج خطية ظاهرية بالفعل، وتنتمي إلى ما يلي النوع 4 (تم حذف كافة التفاصيل غير الخطية "من أجل الوضوح"). أمثلة: تطبيق نموذج الغاز المثالي على الغاز غير المثالي، ومعادلة فان دير فالس للحالة، ومعظم نماذج الحالة الصلبة، والفيزياء السائلة والنووية. المسار من الوصف الجزئي إلى خصائص الأجسام (أو الوسائط) المكونة من عدد كبير من الجسيمات، التصنيف الهادف للنماذج (تابع)

الشريحة 9

وصف الشريحة:

طويل جدا. يجب التخلص من العديد من التفاصيل. وهذا يؤدي إلى نماذج من النوع الرابع. النموذج الإرشادي النوع الخامس هو النموذج الإرشادي ("لا يوجد تأكيد كمي، لكن النموذج يساهم في نظرة أعمق لجوهر المادة")، مثل هذا النموذج يحتفظ فقط بتشابه نوعي مع الواقع ويقوم بالتنبؤات فقط "في ترتيب الحجم." والمثال النموذجي هو متوسط ​​تقريب المسار الحر في النظرية الحركية. ويقدم صيغًا بسيطة لمعاملات اللزوجة والانتشار والتوصيل الحراري، والتي تتوافق مع الواقع من حيث الحجم. ولكن عند بناء فيزياء جديدة، ليس من الممكن على الفور الحصول على نموذج يعطي على الأقل وصفًا نوعيًا للكائن - نموذج من النوع الخامس. في هذه الحالة، غالبًا ما يتم استخدام النموذج عن طريق القياس، مما يعكس الواقع ببعض التفاصيل على الأقل. النوع السادس من القياس - نموذج القياس ("دعونا نأخذ في الاعتبار بعض الميزات فقط"). يقدم بيرلز تاريخًا لاستخدام القياسات في أول ورقة بحثية لهايزنبرج حول طبيعة القوى النووية. التجربة الفكرية النوع السابع من النماذج هو التجربة الفكرية ("الشيء الرئيسي هو دحض الاحتمال"). غالبًا ما استخدم أينشتاين هذا النوع من النمذجة، على وجه الخصوص، أدت إحدى هذه التجارب إلى بناء النظرية النسبية الخاصة. لنفترض أننا في الفيزياء الكلاسيكية نتحرك خلف موجة ضوئية بسرعة الضوء. سوف نلاحظ وجود مجال كهرومغناطيسي يتغير بشكل دوري في الفضاء وثابت في الزمن. وفقا لمعادلات ماكسويل، لا يمكن أن يحدث هذا. ومن هنا استنتج أينشتاين: إما أن قوانين الطبيعة تتغير بتغير النظام المرجعي، أو أن سرعة الضوء لا تعتمد على النظام المرجعي، واختار الخيار الثاني. إثبات الاحتمال النوع الثامن هو إثبات الاحتمال ("الشيء الرئيسي هو إظهار الاتساق الداخلي للاحتمال")، هذه الأنواع من النماذج هي أيضًا تجارب فكرية مع كيانات خيالية، مما يدل على أن الظاهرة المقترحة تتفق مع المبادئ الأساسية وتصنيف المحتوى للنماذج (تابع)

10 شريحة

وصف الشريحة:

متسقة داخليا. وهذا هو الفرق الرئيسي عن نماذج النوع 7، التي تكشف عن التناقضات الخفية. واحدة من أشهر هذه التجارب هي هندسة لوباتشيفسكي. (أطلق عليها لوباتشيفسكي اسم «الهندسة التخيلية»). ومثال آخر هو الإنتاج الضخم للنماذج الحركية الرسمية للاهتزازات الكيميائية والبيولوجية، والموجات الذاتية. تم تصور مفارقة أينشتاين-بودولسكي-روزين على أنها تجربة فكرية لإثبات عدم اتساق ميكانيكا الكم، ولكن بطريقة غير مخطط لها مع مرور الوقت تحولت إلى نموذج من النوع 8 - وهو دليل على إمكانية النقل الآني الكمي للمعلومات. يعتمد تصنيف المحتوى على المراحل التي تسبق التحليل والحسابات الرياضية. ثمانية أنواع من النماذج وفقًا لبييرلز هي ثمانية أنواع من المواقف البحثية في النمذجة. تصنيف محتوى النماذج (تابع)

11 شريحة

وصف الشريحة:

12 شريحة

وصف الشريحة:

عديمة الفائدة تقريبا. في كثير من الأحيان، يسمح النموذج الأبسط باستكشاف نظام حقيقي بشكل أفضل وأعمق من النموذج الأكثر تعقيدا (و"الأكثر صحة" رسميا). وإذا طبقنا نموذج المذبذب التوافقي على أشياء بعيدة عن الفيزياء، فإن وضعه الموضوعي قد يكون مختلفا. على سبيل المثال، عند تطبيق هذا النموذج على المجموعات البيولوجية، فمن المرجح أن يتم تصنيفه على أنه تشبيه من النوع 6 ("دعونا نأخذ في الاعتبار بعض الميزات فقط"). مثال (تابع)

الشريحة 13

وصف الشريحة:

الشريحة 14

وصف الشريحة:

عادةً ما تتمتع النماذج الرياضية الأكثر أهمية بخاصية عالمية مهمة: حيث يمكن وصف الظواهر الحقيقية المختلفة بشكل أساسي بواسطة نفس النموذج الرياضي. على سبيل المثال، لا يصف المذبذب التوافقي سلوك الحمل على الزنبرك فحسب، بل يصف أيضًا العمليات التذبذبية الأخرى، التي غالبًا ما تكون ذات طبيعة مختلفة تمامًا: التذبذبات الصغيرة للبندول، والتقلبات في مستوى السائل في وعاء على شكل حرف U أو تغير في شدة التيار في الدائرة التذبذبية. وهكذا، من خلال دراسة نموذج رياضي واحد، فإننا ندرس على الفور فئة كاملة من الظواهر التي وصفها. إن هذا التماثل في القوانين الذي تعبر عنه النماذج الرياضية في قطاعات مختلفة من المعرفة العلمية هو الذي ألهم لودفيج فون بيرتالانفي لإنشاء "النظرية العامة للأنظمة". براعة النماذج

15 شريحة

وصف الشريحة:

هناك العديد من المشاكل المرتبطة بالنمذجة الرياضية. أولا، تحتاج إلى التوصل إلى مخطط أساسي للكائن النموذجي، وإعادة إنتاجه في إطار مثالية هذا العلم. وهكذا تتحول عربة القطار إلى نظام من الصفائح والأجسام الأكثر تعقيدًا من مواد مختلفة، يتم تحديد كل مادة على أنها المثالية الميكانيكية القياسية الخاصة بها (الكثافة، معاملات المرونة، خصائص القوة القياسية)، وبعد ذلك يتم رسم المعادلات، على طول الطريق بعض يتم تجاهل التفاصيل باعتبارها غير مهمة، ويتم إجراء الحسابات، ومقارنتها بالقياسات، ويتم تحسين النموذج، وما إلى ذلك. ومع ذلك، لتطوير تقنيات النمذجة الرياضية، فمن المفيد تفكيك هذه العملية إلى مكوناتها الرئيسية. تقليديا، هناك فئتان رئيسيتان من المشاكل المرتبطة بالنماذج الرياضية: المباشرة والعكسية. المهمة المباشرة: تعتبر بنية النموذج وجميع معلماته معروفة، والمهمة الرئيسية هي إجراء دراسة للنموذج لاستخراج المعرفة المفيدة حول الكائن. ما هو الحمل الساكن الذي سيتحمله الجسر؟ كيف ستتفاعل مع الحمل الديناميكي (على سبيل المثال، مسيرة سرية من الجنود، أو مرور قطار بسرعات مختلفة)، وكيف ستتغلب الطائرة على حاجز الصوت، وما إذا كانت ستنهار بسبب الرفرفة - هذه أمثلة نموذجية لمشكلة مباشرة. يتطلب تحديد المشكلة المباشرة الصحيحة (طرح السؤال الصحيح) مهارة خاصة. إذا لم يتم طرح الأسئلة الصحيحة، فقد ينهار الجسر، حتى لو تم بناء نموذج جيد لسلوكه. وهكذا، في عام 1879، انهار جسر معدني للسكك الحديدية عبر نهر تاي في بريطانيا العظمى، وقام مصمموه ببناء نموذج للجسر، وحسبوا أنه يحتوي على عامل أمان 20 ضعفًا لعمل الحمولة، لكنهم نسوا الأمر. تهب الرياح باستمرار في تلك الأماكن. وبعد عام ونصف انهار. في أبسط الحالات (معادلة مذبذبة واحدة، على سبيل المثال)، تكون المشكلة المباشرة بسيطة للغاية ويتم اختزالها إلى حل صريح لهذه المعادلة. المشكلة العكسية: العديد من النماذج المحتملة معروفة، ومن الضروري اختيار نموذج معين بناءً على بيانات إضافية. المشاكل المباشرة والعكسية للنمذجة الرياضية

نموذج رياضيهي مجموعة من الكائنات الرياضية والعلاقات بينها والتي تعكس بشكل مناسب خصائص وسلوك الكائن قيد الدراسة.

تتعامل الرياضيات بالمعنى العام للكلمة مع تعريف واستخدام النماذج الرمزية. يغطي النموذج الرياضي فئة من الكائنات الرياضية غير المحددة (المجردة والرمزية) مثل الأرقام أو المتجهات، والعلاقات بين هذه الكائنات.

العلاقة الرياضية هي قاعدة افتراضية تربط بين كائنين رمزيين أو أكثر. يمكن وصف العديد من العلاقات باستخدام العمليات الرياضية التي تربط كائنًا واحدًا أو أكثر بكائن آخر أو مجموعة من الكائنات (نتيجة العملية). يتم تعريف النموذج المجرد، بأشياءه وعلاقاته وعملياته العشوائية، من خلال مجموعة متسقة من القواعد التي تقدم العمليات التي يمكن استخدامها وتحدد العلاقات العامة بين نتائجها. يقدم التعريف البناء نموذجًا رياضيًا جديدًا باستخدام مفاهيم رياضية معروفة بالفعل (على سبيل المثال، تعريف إضافة المصفوفة والضرب من حيث جمع الأرقام والضرب).

سوف يقوم النموذج الرياضي بإعادة إنتاج جوانب مختارة بشكل مناسب من الوضع المادي إذا كان من الممكن إنشاء قاعدة مراسلة تربط أشياء وعلاقات مادية محددة بأشياء وعلاقات رياضية محددة. إن بناء النماذج الرياضية التي لا يوجد لها نظائر في العالم المادي يمكن أن يكون مفيدًا و/أو مثيرًا للاهتمام أيضًا. النماذج الرياضية الأكثر شيوعا هي أنظمة الأعداد الصحيحة والأعداد الحقيقية والهندسة الإقليدية. الخصائص المميزة لهذه النماذج هي تجريدات مباشرة للعمليات الفيزيائية (العد والترتيب والمقارنة والقياس).

غالبًا ما ترتبط كائنات وعمليات النماذج الرياضية الأكثر عمومية بمجموعات من الأعداد الحقيقية التي يمكن ربطها بنتائج القياسات الفيزيائية.

النمذجة الرياضية هي طريقة للوصف النوعي و (أو) الكمي للعملية باستخدام ما يسمى بالنموذج الرياضي، حيث يتم وصف عملية أو ظاهرة حقيقية باستخدام جهاز رياضي مناسب أو آخر. النمذجة الرياضية هي جزء لا يتجزأ من البحث الحديث.

النمذجة الرياضية هي نظام نموذجي، كما يقال الآن في كثير من الأحيان، عند "تقاطع" العديد من العلوم. لا يمكن بناء نموذج رياضي مناسب دون معرفة عميقة بالكائن الذي "يخدمه" النموذج الرياضي. في بعض الأحيان يتم التعبير عن أمل وهمي في إمكانية إنشاء نموذج رياضي بشكل مشترك من قبل عالم رياضيات لا يعرف موضوع النمذجة ومتخصص في "الكائن" الذي لا يعرف الرياضيات. لكي تكون ناجحًا في مجال النمذجة الرياضية، من الضروري معرفة كل من الأساليب الرياضية وموضوع النمذجة. ويرتبط هذا، على سبيل المثال، بوجود مثل هذا التخصص كعالم فيزياء نظرية، ونشاطه الرئيسي هو النمذجة الرياضية في الفيزياء. إن تقسيم المتخصصين إلى منظرين وتجريبيين، الذي استقر في الفيزياء، سيحدث بلا شك في العلوم الأخرى، الأساسية والتطبيقية.

ونظرًا لتنوع النماذج الرياضية المستخدمة، فإن تصنيفها العام صعب. في الأدبيات، عادة ما يتم تقديم التصنيفات، والتي تعتمد على أساليب مختلفة. ويرتبط أحد هذه الأساليب بطبيعة العملية النموذجية، عند التمييز بين النماذج الحتمية والاحتمالية. وإلى جانب هذا التصنيف الواسع النطاق للنماذج الرياضية، هناك نماذج أخرى.

تصنيف النماذج الرياضية على أساس خصائص الجهاز الرياضي المستخدم . يمكن تمييز الأصناف التالية.

عادةً ما تُستخدم هذه النماذج لوصف ديناميكيات الأنظمة التي تتكون من عناصر منفصلة. من الجانب الرياضي، هذه أنظمة من المعادلات التفاضلية الخطية أو غير الخطية العادية.

تُستخدم النماذج الرياضية ذات المعلمات المجمعة على نطاق واسع لوصف الأنظمة التي تتكون من كائنات منفصلة أو مجموعات من كائنات متطابقة. على سبيل المثال، يتم استخدام النموذج الديناميكي لليزر أشباه الموصلات على نطاق واسع. يتضمن هذا النموذج متغيرين ديناميكيين - تركيزات حاملات الشحنة الأقلية والفوتونات في المنطقة النشطة بالليزر.

في حالة الأنظمة المعقدة، يمكن أن يكون عدد المتغيرات الديناميكية، وبالتالي المعادلات التفاضلية، كبيرًا (يصل إلى 102...103). في هذه الحالات، تكون الطرق المختلفة لتقليل النظام مفيدة، بناءً على التسلسل الهرمي الزمني للعمليات، وتقييم تأثير العوامل المختلفة وإهمال العوامل غير المهمة فيما بينها، وما إلى ذلك.

يمكن أن تؤدي طريقة التوسع المتتالي للنموذج إلى إنشاء نموذج مناسب لنظام معقد.

تصف النماذج من هذا النوع عمليات الانتشار، والتوصيل الحراري، وانتشار الموجات ذات الطبيعة المختلفة، وما إلى ذلك. ولا يمكن أن تكون هذه العمليات ذات طبيعة فيزيائية فقط. النماذج الرياضية ذات المعلمات الموزعة منتشرة على نطاق واسع في علم الأحياء وعلم وظائف الأعضاء والعلوم الأخرى. في أغلب الأحيان، يتم استخدام معادلات الفيزياء الرياضية، بما في ذلك المعادلات غير الخطية، كأساس للنموذج الرياضي.

إن الدور الأساسي لمبدأ الفعل الأعظم في الفيزياء معروف جيدًا. على سبيل المثال، جميع أنظمة المعادلات المعروفة التي تصف العمليات الفيزيائية يمكن استخلاصها من المبادئ المتطرفة. ومع ذلك، في العلوم الأخرى، تلعب المبادئ المتطرفة دورا هاما.

يتم استخدام المبدأ المتطرف عند تقريب التبعيات التجريبية من خلال تعبير تحليلي. يتم تحديد التمثيل الرسومي لمثل هذا الاعتماد والنوع المحدد من التعبير التحليلي الذي يصف هذا الاعتماد باستخدام المبدأ المتطرف، الذي يسمى طريقة المربعات الصغرى (طريقة غاوس)، وجوهره كما يلي.

لنقم بإجراء تجربة، والغرض منها هو دراسة الاعتماد على بعض الكمية الفيزيائية يمن الكمية المادية X.ومن المفترض أن القيم س و صمرتبطة بالاعتماد الوظيفي

ويجب تحديد نوع هذا الاعتماد من خلال الخبرة. لنفترض أنه نتيجة للتجربة حصلنا على عدد من النقاط التجريبية ورسمنا التبعية فيمن X. عادة، لا يتم تحديد النقاط التجريبية على هذا الرسم البياني بشكل صحيح تماما، فهي تعطي بعض التشتت، أي أنها تكشف عن انحرافات عشوائية عن النمط العام المرئي. وترتبط هذه الانحرافات بأخطاء القياس، والتي لا مفر منها في أي تجربة. ثم تنشأ مشكلة الممارسة النموذجية المتمثلة في تسهيل الاعتماد التجريبي.

لحل هذه المشكلة، عادة ما يتم استخدام طريقة حسابية تُعرف بطريقة المربعات الصغرى (أو الطريقة الغوسية).

وبطبيعة الحال، فإن الأنواع المدرجة من النماذج الرياضية لا تستنفد الجهاز الرياضي بأكمله المستخدم في النمذجة الرياضية. إن الجهاز الرياضي للفيزياء النظرية، وعلى وجه الخصوص، القسم الأكثر أهمية - فيزياء الجسيمات الأولية - متنوع بشكل خاص.

غالبًا ما تُستخدم مجالات تطبيقها كمبدأ أساسي لتصنيف النماذج الرياضية. ويسلط هذا النهج الضوء على مجالات التطبيق التالية:

العمليات الفيزيائية

التطبيقات التقنية، بما في ذلك الأنظمة المدارة، والذكاء الاصطناعي؛

العمليات الحياتية (علم الأحياء، علم وظائف الأعضاء، الطب)؛

النظم الكبيرة المرتبطة بالتفاعل البشري (الاجتماعية والاقتصادية والبيئية)؛

العلوم الإنسانية (اللسانيات والفن).

(يتم الإشارة إلى مجالات التطبيق بالترتيب الذي يتوافق مع المستوى المتناقص لملاءمة النموذج).

أنواع النماذج الرياضية: الحتمية والاحتمالية والنظرية والتجريبية. خطية وغير خطية، ديناميكية وثابتة. مستمرة ومنفصلة، ​​وظيفية وهيكلي.

تصنيف النماذج الرياضية (TO - الكائن الفني)

هيكل النموذج عبارة عن مجموعة مرتبة من العناصر وعلاقاتها. المعلمة هي القيمة التي تميز خاصية أو وضع التشغيل للكائن. تميز معلمات الإخراج خصائص الكائن الفني، وتميز المعلمات الداخلية خصائص عناصره. المعلمات الخارجية هي معلمات البيئة الخارجية التي تؤثر على عمل الكائن الفني.

تخضع النماذج الرياضية لمتطلبات الملاءمة والكفاءة والتنوع. هذه المتطلبات متناقضة.

اعتمادا على درجة التجريد عند وصف الخصائص الفيزيائية للنظام التقني، يتم التمييز بين ثلاثة مستويات هرمية رئيسية: المستوى العلوي أو المستوى الفوقي، المستوى المتوسط ​​أو الكلي، المستوى الأدنى أو الجزئي.

يتوافق المستوى التلوي مع المراحل الأولية للتصميم، حيث يتم إجراء البحث والتنبؤ العلمي والتقني1، وتطوير المفهوم والحل الفني، وتطوير الاقتراح الفني. لبناء نماذج رياضية على المستوى الفوقي، يتم استخدام طرق التوليف المورفولوجي ونظرية الرسم البياني والمنطق الرياضي ونظرية التحكم الآلي ونظرية الطابور ونظرية آلة الحالة المحدودة.

على المستوى الكلي، يعتبر الكائن بمثابة نظام ديناميكي ذو معلمات مجمعة. النماذج الرياضية على المستوى الكلي هي أنظمة من المعادلات التفاضلية العادية. تُستخدم هذه النماذج لتحديد معلمات الكائن الفني وعناصره الوظيفية.

على المستوى الجزئي، يتم تمثيل الكائن كبيئة مستمرة ذات معلمات موزعة. لوصف العمليات الوظيفية لهذه الكائنات، يتم استخدام المعادلات التفاضلية الجزئية. على المستوى الجزئي، يتم تصميم عناصر غير قابلة للتجزئة وظيفيًا للنظام الفني، تسمى العناصر الأساسية. في هذه الحالة، يعتبر العنصر الأساسي بمثابة نظام يتكون من العديد من العناصر الوظيفية المتشابهة ذات الطبيعة المادية نفسها، وتتفاعل مع بعضها البعض وتتأثر بالبيئة الخارجية والعناصر الأخرى للكائن الفني، وهي البيئة الخارجية فيما يتعلق إلى العنصر الأساسي.

بناءً على شكل تمثيل النماذج الرياضية، يتم تمييز النماذج الثابتة والخوارزمية والتحليلية والرسومية لكائن التصميم.

في ثابتالنموذج الرياضي يتمثل في نظام من المعادلات دون الارتباط بطريقة حل هذه المعادلات.

في خوارزميفي النموذج، ترتبط علاقات النموذج بطريقة الحل العددي المحددة ويتم كتابتها في شكل خوارزمية - سلسلة من العمليات الحسابية. من بين النماذج الخوارزمية هناك تقليدنماذج مصممة لمحاكاة العمليات الفيزيائية والمعلوماتية التي تحدث في الجسم أثناء تشغيله تحت تأثير العوامل البيئية المختلفة.

تحليليةيمثل النموذج اعتمادات صريحة للمتغيرات المطلوبة على قيم معينة (عادةً اعتماد معلمات إخراج الكائن على المعلمات الداخلية والخارجية). يتم الحصول على مثل هذه النماذج على أساس القوانين الفيزيائية، أو نتيجة للتكامل المباشر للمعادلات التفاضلية الأصلية. تتيح النماذج الرياضية التحليلية حل مشكلات تحديد المعلمات المثالية بسهولة وبساطة. ولذلك، إذا كان من الممكن الحصول على نموذج بهذا الشكل، فمن المستحسن دائما تنفيذه، حتى لو كان ذلك ضروريا للقيام بعدد من الإجراءات المساعدة، وعادة ما يتم الحصول على مثل هذه النماذج عن طريق أسلوب التخطيط التجريبي (الحسابي أو المادي) ).

رسم بيانييتم تقديم نموذج (الدائرة) في شكل رسوم بيانية، ودوائر مكافئة، ونماذج ديناميكية، ورسوم بيانية، وما إلى ذلك. لاستخدام النماذج الرسومية، يجب أن تكون هناك قاعدة للتوافق الذي لا لبس فيه بين الصور التقليدية لعناصر النموذج الرسومي ومكونات النموذج الرياضي الثابت.

يتم تحديد تقسيم النماذج الرياضية إلى وظيفية وهيكلية حسب طبيعة الخصائص المعروضة للكائن الفني.

الهيكليتعرض النماذج فقط بنية الأشياء وتستخدم فقط عند حل مشاكل التركيب الهيكلي. معلمات النماذج الهيكلية هي خصائص العناصر الوظيفية أو الهيكلية التي تشكل كائنًا تقنيًا والتي يختلف بها متغير واحد من بنية الكائن عن الآخر. تسمى هذه المعلمات المتغيرات المورفولوجية. تأخذ النماذج الهيكلية شكل جداول ومصفوفات ورسوم بيانية. والأكثر واعدة هو استخدام الرسوم البيانية الشجرية من النوع AND-OR-tree. تُستخدم هذه النماذج على نطاق واسع على المستوى التعريفي عند اختيار الحل التقني.

وظيفيتصف النماذج عمليات عمل الأشياء التقنية ولها شكل أنظمة المعادلات. أنها تأخذ في الاعتبار الخصائص الهيكلية والوظيفية للكائن وتسمح بحل مشاكل كل من التوليف البارامتري والهيكلي. يتم استخدامها على نطاق واسع على جميع مستويات التصميم. على المستوى التعريفي، تسمح المهام الوظيفية بحل مشاكل التنبؤ، على المستوى الكلي - اختيار الهيكل وتحسين المعلمات الداخلية للكائن الفني، على المستوى الجزئي - تحسين معلمات العناصر الأساسية.

وفقا لطرق الحصول على النماذج الرياضية الوظيفية تنقسم إلى نظرية وتجريبية.

نظرييتم الحصول على النماذج بناءً على وصف العمليات الفيزيائية لعمل الكائن، و تجريبي- استنادا إلى سلوك كائن ما في البيئة الخارجية، واعتباره "صندوقا أسود". يمكن أن تكون التجارب في هذه الحالة مادية (على كائن تقني أو نموذجه المادي) أو حسابية (على نموذج رياضي نظري).

عند بناء النماذج النظرية، يتم استخدام الأساليب المادية والرسمية.

يتلخص النهج الفيزيائي في التطبيق المباشر للقوانين الفيزيائية لوصف الأشياء، على سبيل المثال، قوانين نيوتن، وهوك، وكيرشوف، وما إلى ذلك.

يستخدم النهج الرسمي مبادئ رياضية عامة ويستخدم في بناء النماذج النظرية والتجريبية. النماذج التجريبية رسمية. إنهم لا يأخذون في الاعتبار مجموعة الخصائص الفيزيائية الكاملة لعناصر النظام الفني قيد الدراسة، ولكنهم يقومون فقط بإنشاء اتصال تم اكتشافه أثناء التجربة بين المعلمات الفردية للنظام، والتي يمكن تغييرها و (أو) قياسها. توفر مثل هذه النماذج وصفًا مناسبًا للعمليات قيد الدراسة فقط في منطقة محدودة من مساحة المعلمة التي تنوعت فيها المعلمات في التجربة. ولذلك فإن النماذج الرياضية التجريبية ذات طبيعة خاصة، بينما تعكس القوانين الفيزيائية القوانين العامة للظواهر والعمليات التي تحدث سواء في النظام الفني بأكمله أو في كل عنصر من عناصره على حدة. وبالتالي، لا يمكن قبول النماذج الرياضية التجريبية كقوانين فيزيائية. وفي الوقت نفسه، تُستخدم الأساليب المستخدمة لبناء هذه النماذج على نطاق واسع في اختبار الفرضيات العلمية.

يمكن أن تكون النماذج الرياضية الوظيفية خطية وغير خطية. خطيتحتوي النماذج فقط على الدوال الخطية للكميات التي تميز حالة الجسم أثناء تشغيله ومشتقاتها. خصائص العديد من عناصر الأشياء الحقيقية غير خطية. وتشمل النماذج الرياضية لمثل هذه الأشياء الدوال غير الخطية لهذه الكميات ومشتقاتها وتتعلق بها غير خطية .

إذا كانت النمذجة تأخذ في الاعتبار خصائص القصور الذاتي للكائن و (أو) التغيرات في وقت الكائن أو البيئة الخارجية، فسيتم تسمية النموذج متحرك. وإلا فإن النموذج ثابتة. يمكن التعبير عن التمثيل الرياضي للنموذج الديناميكي في الحالة العامة من خلال نظام المعادلات التفاضلية، والثابت - من خلال نظام المعادلات الجبرية.

إذا كان تأثير البيئة الخارجية على الكائن عشوائيًا ويوصف بوظائف عشوائية. في هذه الحالة، لا بد من البناء احتماليةنموذج رياضي. ومع ذلك، فإن مثل هذا النموذج معقد للغاية واستخدامه في تصميم الأشياء التقنية يتطلب الكثير من وقت الكمبيوتر. ولذلك، يتم استخدامه في المرحلة النهائية من التصميم.

يتم تنفيذ معظم إجراءات التصميم على نماذج حتمية. يتميز النموذج الرياضي الحتمي بالتوافق الفردي بين التأثير الخارجي على النظام الديناميكي واستجابته لهذا التأثير. في تجربة حسابية أثناء التصميم، عادةً ما يتم تحديد بعض التأثيرات النموذجية القياسية على كائن ما: تدريجية، نابضة، توافقية، خطية متعددة التعريف، أسية، إلخ. وتسمى تأثيرات الاختبار.

استمرار الجدول "تصنيف النماذج الرياضية

خوارزميةرسم نموذج رياضي :

• اكتب بيانًا موجزًا ​​لظروف المشكلة:

أ) معرفة عدد الكميات المتضمنة في المشكلة؛

ب) تحديد الروابط بين هذه الكميات.

2. عمل رسم للمسألة (في المسائل المتعلقة بالحركة أو في المسائل ذات المحتوى الهندسي) أو جدول.

3. قم بتعيين X كإحدى الكميات (ويفضل كمية أقل).

4. مع الأخذ بعين الاعتبار الارتباطات، قم بإنشاء نموذج رياضي.

المشكلة ١. (رقم ٨٦ (١)).

تتكون الشقة من 3 غرف بمساحة إجمالية 42 متر مربع. الغرفة الأولى أصغر مرتين من الثانية والثانية بمساحة 3 أمتار مربعة. م أكثر من الثلث. ما هي مساحة كل غرفة في هذه الشقة؟

المشكلة الثانية. (رقم 86 (2)).

دفعت ساشا 11200 روبل مقابل الكتاب والقلم والدفتر. القلم أغلى بثلاث مرات من جهاز الكمبيوتر المحمول ويكلف 700 روبل. أرخص من كتاب. كم تكلفة دفتر الملاحظات؟

مشكلة 3.(رقم 86 (3)).

قطع سائق الدراجة النارية مسافة بين مدينتين تساوي

980 كم في 4 أيام. في اليوم الأول قطع 80 كيلومترا أقل مما قطعه في اليوم الثاني، وفي اليوم الثالث - نصف المسافة التي قطعها في اليومين الأولين، وفي اليوم الرابع - 140 كيلومترا المتبقية. ما المسافة التي قطعها سائق الدراجة النارية في اليوم الثالث؟

المشكلة 4. (رقم 86 (4))

محيط الشكل الرباعي 46 dm. ضلعها الأول أصغر مرتين من الضلع الثاني وأصغر 3 مرات من الضلع الثالث، والضلع الرابع أكبر من الضلع الأول بـ 4 سم. ما أطوال أضلاع هذا الشكل الرباعي؟

المسألة الخامسة. (رقم 87)

أحد الرقمين أقل من الثاني بمقدار ١٧، ومجموعهما ٧٥. أوجد أكبر هذين الرقمين.

المشكلة السادسة. (رقم 99)

قام 20 مشاركًا بأداء ثلاثة أجزاء من الحفل. في الجزء الثاني كان عدد المشاركين أقل بثلاث مرات من الأول، وفي الجزء الثالث كان هناك 5 مشاركين أكثر من الثاني. كم عدد المشاركين في الحفل الذي أدوا في كل قسم؟

أستطيع (أو لا):

مهارات

نقاط

0 أو 1

تحديد عدد الكميات المتضمنة في المشكلة

تحديد الروابط بين الكميات

أنا أفهم ما يعنيه

ب) "المجموع"

يمكنني عمل نموذج رياضي

يمكنني إنشاء مشكلة جديدة باستخدام نموذج رياضي معين

العمل في المنزل:

1) № 87 (2, 3, 4), № 102 (1);

2) قم بتكوين مشكلة للنموذج الرياضي للمشكلة