Оптимальный размер заказа по формуле вильсона. Определение оптимального размера заказа Определение оптимального размера заказываемой партии

После того как сделан выбор системы пополнения запасов, необходимо количественно определить величину заказываемой партии, а также интервал времени, через который повторяется заказ.

Оптимальный размер партии поставляемых товаров и, соответственно, оптимальная частота завоза зависят от следующих факторов:

объем спроса (оборота);

расходы по доставке товаров;

расходы по хранению запаса.

В качестве критерия оптимальности выбирают минимум совокупных расходов по доставке и хранению.

Рис. 59. Двухбункерная система контроля за состоянием запасов

И расходы по доставке и расходы по хранению зависят от размера заказа, однако характер зависимости каждой из этих статей расходов от объема заказа, разный. Расходы по доставке товаров при увеличении размера заказа очевидно уменьшаются, так как перевозки осуществляются более крупными партиями и, следовательно, реже. График этой зависимости, имеющей форму гиперболы, представлен на рис. 60.

Расходы по хранению растут прямо пропорционально размеру заказа. Эта зависимость графически представлена на рис. 61.

Рис. 60. Зависимость расходов на транспортировку от размера заказа

Рис. 61. Зависимость расходов на хранение запасов от размера заказа

Сложив оба графика, получим кривую, отражающую характер зависимости совокупных издержек по транспортировке и хранению от размера заказываемой партии (рис. 62). Как видим, кривая суммарных издержек имеет точку минимума, в которой суммарные издержки будут минимальны. Абсцисса этой точки S опт дает значение оптимального размера заказа.

Рис. 62. Зависимость суммарных расходов на хранение и транспортировку от размера закаэа. Оптимальный размер заказа S опт

Задача определения оптимального размера заказа, наряду с графическим методом, может быть решена и аналитически. Для этого необходимо найти уравнение суммарной кривой, продифференцировать его и приравнять вторую производную к нулю. В результате получим формулу, известную в теории управления запасами, как формулу Уилсона, позволяющую рассчитать оптимальный размер заказа:

где Sопт - оптимальный размер заказываемой партии;

О - величина оборота;

Ст- издержки, связанные с доставкой;

Сх- издержки, связанные с хранением.

Вопросы для контроля знаний

1. Дайте определение понятию «материальный запас».

2. Перечислите расходы, связанные с необходимостью содержания материальных запасов.

3. Назовите основные причины, которые вынуждают предпринимателей создавать материальные запасы.

4. Перечислите известные Вам виды материальных запасов.

Рассмотрим работу склада, на котором хранятся товарные запасы, расходуемые на снабжение потребителей. Работа реального склада сопровождается множеством отклонений от идеального режима: заказана партия одного объема, а прибыла партия с другим объемом; по плану партия должна прибыть через две недели, а она пришла через 10 дней; при норме разгрузки одни сутки разгрузка партии длилась трое суток и т.д. Учесть все эти отклонения практически невозможно, поэтому при моделировании работы склада обычно делаются следующие предположения.

1. Скорость расходования запасов со склада – постоянная величина, которую обозначим М (единиц товарных запасов в единицу времени); в соответствии с этим график изменения величины запасов в части расходования является отрезком прямой.
2. Объем партии пополнения Q есть постоянная величина, так что система управления запасами – это система с фиксированным размером заказа.
3. Время разгрузки прибывшей партии пополнения запасов мало, будем считать его равным нулю.
4. Время от принятия решения о пополнении до прихода заказанной партии есть постоянная величина Δt , так что можно считать, что заказанная партия приходит мгновенно: если нужно, чтобы она пришла точно в определенный момент, то ее следует заказать в момент времени на At ранее.
5. На складе не происходит систематического накопления или перерасхода запасов. Если через Т обозначить время между двумя последовательными поставками, то обязательно выполнение равенства: Q = МТ. Из сказанного следует, что работа склада происходит одинаковыми циклами длительностью Т, и за время цикла величина запаса изменяется от максимального уровня S до минимального уровня s.
6. Наконец, будем считать обязательным выполнение требования, чтобы отсутствие запасов на складе было недопустимым, т.е. выполняется неравенство s > 0. С точки зрения уменьшения издержек склада на хранение отсюда вытекает, что s = 0 и, следовательно, S = Q.

Окончательный график идеальной работы склада в форме зависимости величины запасов у от времени t будет иметь вид, представленный на рис. 12.3.

Ранее отмечалось, что эффективность работы склада оценивается по его затратам на пополнение запасов и их хранение. Расходы, не зависящие от объема партии, называют накладными. Сюда входят почтово-телеграфные расходы, командировочные, некоторая часть транспортных расходов и др. Накладные расходы будем обозначать через К. Издержки хранения запасов будем считать пропорциональными величине хранящихся запасов и времени их хранения. Издержки на хранение одной единицы запасов в течение одной единицы времени называются величиной удельных издержек хранения; мы их будем обозначать через h.

Рис. 12.3.

При изменяющейся величине хранящихся запасов издержки хранения за некоторое время Т получают путем умножения величины h и Т на среднее значение величины запасов в течение этого времени Т. Таким образом, затраты склада за время Т при размере партии пополнения Q в случае идеального режима работы склада, представленного на рис. 12.3, равны

После деления этой функции на постоянную величину Т с учетом равенства Q = МТ получим выражение для величины затрат на пополнение и хранение запасов, приходящихся на единицу времени:

Это и будет целевой функцией, минимизация которой позволит указать оптимальный режим работы склада.

Найдем объем заказываемой партии Q, при котором минимизируется функция средних затрат склада за единицу времени, т.е. функция . На практике Q часто принимают дискретные значения, в частности, из-за использования транспортных средств определенной грузоподъемности; в этом случае оптимальное значение Q находят перебором допустимых значений Q. Мы будем считать, что ограничений па принимаемые значения Q нет, тогда задачу на минимум функции (легко показать, что она является выпуклой, рис. 12.4 можно решить методами дифференциального исчисления:

откуда находим точку минимума :

Эта формула называется формулой Уилсона (по имени английского ученого-экоиомиста, получившего ее в 20-х гг. прошлого столетия).

Оптимальный размер партии, рассчитываемый по формуле Уилсона, обладает характеристическим свойством: размер партии Q оптимален тогда и только тогда, когда издержки хранения за время цикла T равны накладным расходам К.

Рис. 12.4.

Действительно, если,то издержки хранения

за цикл равны

Если же издержки хранения за цикл равны накладным расходам, т.е.

Проиллюстрируем характеристическое свойство оптимального размера партии графически.

На рис. 12.4 видно, что минимальное значение функции достигается при том значении Q, при котором равны значения двух других функций, ее составляющих.

Используя формулу Уилсона (12.18), в сделанных ранее предположениях об идеальной работе склада можно получить ряд расчетных характеристик работы склада в оптимальном режиме.

Оптимальный средний уровень запаса:

Оптимальная периодичность пополнения запасов:

Оптимальные средние издержки хранения запасов в единицу времени:

(12.21)

Пример

Рассмотрим типовую задачу. На склад доставляют цемент на барже по 1500 т. В сутки со склада потребители забирают 50 т цемента. Накладные расходы по доставке партии цемента равны 2 тыс. руб. Издержки хранения 1 т цемента в течение суток равны 0,1 руб. Требуется определить: 1) длительность цикла, среднесуточные накладные расходы и среднесуточные издержки хранения; 2) эти же величины для размеров партии в 500 т и в 3000 т; 3) оптимальный размер заказываемой партии и расчетные характеристики работы склада в оптимальном режиме.

Параметры работы склада:

1. Длительность цикла (T ):

Среднесуточные накладные расходы:

Среднесуточные издержки хранения:

2. Аналогичные расчеты проведем для т:

3. Найдем оптимальный размер заказываемой партии по формуле Уилсона (12.18):

Оптимальный средний уровень запаса расчитывается по формуле (12.19):

Оптимальная периодичность пополнения запасов расчитывается по формуле (12.20):

Для расчета оптимальных средних издержек хранения запасов в единицу времени используется формула (12.21).

Определение: оптимальная партия заказа — это количество товара, которое необходимо заказать, чтобы оптимально удовлетворить текущий уровень спроса.

Размер оптимальной партии заказа зависит от большого количества факторов:

Спрос на товар (востребованность товара у покупателей);
Период заказа;
Остаток на складе;
Страховой запас;
Периодичность поставок;
Минимальная партия заказа;
Кратность поставок;
Уровень сервиса, %;
Срок годности (при заказе нужно учитывать риск просрочки товара)

В общем случае оптимальная партия заказа — это разница между оптимальным запасом на период поставки (сколько нужно хранить товара для обеспечения спроса) и остатком товара (какой будет остаток товара на дату поставки).

Основным фактором, влияющим на объем заказа, является спрос на товар.

Модель оптимальной партии заказа на примере в программе Forecast NOW!

Например, товар продавался в количестве 50 шт. в неделю, но в связи с увеличением цены, спрос на него снизился до 40 шт. в неделю. Соответственно, оптимальный запас, и оптимальная партия заказа могут быть снижены, исходя из этих изменений.

Программа Forecast NOW! позволяет учесть изменения спроса и многие другие факторы, влияющие на заказ. При этом все формулы рассчитываются автоматически, необходимо только проверить и изменить нужные параметры.

Рассмотрим по шагам, как можно учесть факторы, влияющие на модель оптимальной партии заказа в программе Forecast NOW! :

Шаг 1. Заходим во вкладку «Параметры» и проверяем нужные нам параметры у товаров для заказа или изменяем отдельные показатели параметров.

Вкладка «Параметры» имеет 6 разделов:

Основные параметры,
Особенности поставок,
Расписание поставок,
Прогнозирование,
Сезонность,
Тренд.

Шаг 2. Добавляем нужные товары, параметры которых мы хотим проверить или изменить.

Зеленой стрелкой на рисунке ниже отмечено добавление продукта. Далее, красной стрелкой отмечен параметр — срок годности. Этот параметр, так же, как и другие, при необходимости можно изменить. Например, для тестовой позиции «Печенье для завтрака» поставим срок годности 7 дней (красная стрелка). Если это значение параметра нужно ввести для всех товаров, добавленных в таблицу, то необходимо нажать на кнопку «Применить для всех» (синяя стрелка).

При установленном сроке годности программа не закажет товара больше, чем оптимальная потребность на этот период (в примере по «Печенью для завтрака» - 7 дней)

Шаг 3. Переходим в следующую вкладку — «Особенности поставок». Точно также просматриваем параметры и отмечаем то, что необходимо принять во внимание в расчет размера партии оптимального заказа.

Здесь можно, например, задать ограничения поставщика по кратности (если товар можно заказать только партиями определенного размера) и минимальной партии заказа.

Для сезонных товаров обязательно в расчете оптимальной партии заказа нужно проставить параметры во вкладке «Сезонность».

Сезонность лучше рассчитывать по группе товаров с похожей сезонностью:

Если спрос на товары меняется прогнозируемо, но не связано с сезонностью, то нужно отметить параметры во вкладках «Прогнозирование» и «Тренд».

Давайте проверим, как изменение параметров сказывается на размере оптимального заказа. Для начала не будем учитывать никаких дополнительных параметров, перейдем во вкладку «Заказ» и сформируем заказ.

Выбираем нужные товары и нажимаем «Сформировать заказ».

В заказе три продукта: Мармелад «Маленькая принцесса», Зефир и Вафли. Программа рассчитала, что на данный момент необходимо заказать только вафли шоколадные в количестве 29 единиц. Теперь перейдем во вкладку «Параметры» и посмотрим, что по этим наименованиям учитывается в расчете и что нужно учесть.

В основных параметрах проставим срок годности продукции (красная стрелка) и добавим этот параметр к расчетным, поставив галочку над нужным столбцом и нажав на кнопку «Применить для всех».

Переходим в следующую вкладку «Особенности поставок». Обратим внимание на такие параметры, как минимальный запас, который необходим для того, чтобы ограничить систему, и даже в случае отсутствия спроса на товар, поддерживать по нему запас и кратность.

Теперь посмотрим, как изменится оптимальный размер заказа по данным товарам, исходя из новых параметров. Для этого перейдем во вкладку «Заказ» и опять сформируем заказ.

Объем заказа изменился. Параметры заказа изменились. До введения новых параметров требовалось заказать только Вафли в количестве 29 единиц, теперь в заказ входят Вафли — 28 единиц (Заказ округлился). и Зефир в количестве 35 уп.

Автоматический расчет оптимального заказа с учетом всех нужных параметров гарантирует, что на складе не образуется излишком товаров, а спрос всегда будет поддерживаться на необходимом уровне. Корректируя разные условия поставок, спроса и хранения товаров можно автоматически корректировать размер оптимальной партии заказа.

объем спроса (оборота);

транспортно-заготовительные расходы;

расходы на хранение запаса.

В качестве критерия оптимальности выбирают минимум суммы расходов транспортно-заготовительных и на хранение.

Транспортно-заготовительные расходы при увеличении размера заказа уменьшаются, так как закупки и перевозки товаров осуществляются более крупными партиями и, следовательно, реже.

Расходы по хранению растут прямо пропорционально размеру заказа.

Для решения данной задачи необходимо минимизировать функцию, представляющую сумму расходов транспортно-заготовительных и на хранение, т.е. определить условия, при которых

Собщ = Схран + Странсп,

где Собщ - общие затраты на транспортировку и хранение; Схран - затраты на хранение запаса; Стсп - транспортно-заготовительные расходы.

Предположим, что за определенный период времени величина оборота составляет Q. Размер одной заказываемой партии S. Допустим, что новая партия завозится после того, как предыдущая полностью закончилась. Тогда средняя величина запаса составит S/2. Введем размер тарифа (М) за хранение товара. Он измеряется долей, которую составляют издержки по хранению за период Т в стоимости среднего запаса за тот же период.

Стоимость хранения товаров за период Т можно рассчитать по следующей формуле:

Схран = М (S/2).

Размер транспортно-заготовительных расходов за период Т определится по формуле:

Схран = K (Q/S)

где К - транспортно-заготовительные расходы, связанные с размещением и доставкой одного заказа; Q/S - количество заказов за период времени. Подставив данные в основную функцию, получим:

Со6щ = М (S/2) + K (Q/S).

Минимум Собщ имеется в точке, в которой ее первая производная по S равна нулю, а вторая производная больше нуля.

Найдем первую производную:

объем спроса (оборота);

расходы по доставке товаров;

расходы по хранению запаса.

В качестве критерия оптимальности выбирают минимум совокупных расходов по доставке и хранению.

Рис. 1.

График этой зависимости, имеющей форму гиперболы, представлен на рис.1.

График этой зависимости, имеющей форму гиперболы, представлен на рис. 2.

Расходы по хранению растут прямо пропорционально размеру заказа. Эта зависимость графически представлена на рис. 3.

Рис. 2.

Рис. 3.

Сложив оба графика, получим кривую, отражающую характер зависимости совокупных издержек по транспортировке и хранению от размера заказываемой партии (рис. 4). Как видим, кривая суммарных издержек имеет точку минимума, в которой суммарные издержки будут минимальны. Абсцисса этой точки Sопт дает значение оптимального размера заказа.

Рис. 4.

Таким образом, задача определения оптимального размера заказа, наряду с графическим методом, может быть решена и аналитически. Для этого необходимо найти уравнение суммарной кривой, продифференцировать его и приравнять вторую производную к нулю.

В результате получим формулу, известную в теории управления запасами, как формулу Уилсона, позволяющую рассчитать оптимальный размер заказа:

где Sопт - оптимальный размер заказываемой партии;

О - величина оборота;

Ст - издержки, связанные с доставкой;

Сх - издержки, связанные с хранением.

Задача определения оптимального размера заказа может быть решена графическим методом и аналитическим. Рассмотрим аналитический метод.

"Для этого необходимо минимизировать функцию, представляющую сумму транспортно-заготовительных расходов и расходов на хранение от размера заказа, т.е. определить условия, при которых:

С общ. = С хран. + трансп. Min

где, С общ. - общие затраты на транспортировку и хранение запаса;

С хран. - затраты на хранение запаса;

С трансп. - транспортно - заготовительные расходы.

Предположим, что за определенный период времени величина оборота составляет Q. Размер одной заказываемой и доставляемой партии S. Допустим, что новая партия завозится после того, как предыдущая полностью закончилась. Тогда средняя величина запаса составит S/2.

Введем размер тарифа М за хранение запаса. М измеряется долей, которую составляют издержки по хранению за период Т в стоимости среднего запаса за этот же период. Например, если М = 0,1, то это означает, что издержки по хранению запаса за период составили 10 % от стоимости среднего запаса за этот же период. Можно сказать также, что издержки по хранению единицы товара в течение периода составили 10 5 от ее стоимости.

С хран. = М х S/2

Размер транспортно-заготовительных расходов за период Т определится умножением количества заказов за этот период на величину расходов, связанных с размещением и доставкой одного заказа.

С трансп. = К х Q/S

К - транспортно-заготовительные расходы, связанные с размещением и доставкой одного заказа; Q/S - количество завозов за период времени.

Выполнив ряд преобразований, найдем оптимальный размер единовременно доставляемой партии (S опт.), при котором величина суммарных затрат на хранение и завоз будет минимальной.

С общ. = М х S/2 + К х Q/S

Далее находим значение S, обращающее производную целевой функции в ноль, откуда выводится формула, позволяющая рассчитать оптимальный размер заказа, в теории управления запасами известная как формула Уилсона.

Рассмотрим пример расчета оптимального размера заказываемой партии. В качестве исходных данных примем следующие величины. Стоимость единицы товара - 40 руб. (0,04 тыс. руб.).

Месячный оборот склада по данной товарной позиции: Q = 500 единиц/мес. или Q = 20 тыс. руб. /мес. Доля затрат на хранение товара составляет 10 % от его стоимости, т.е. М = 0,1.

Транспортно - заготовительные расходы, связанные с размещением и доставкой одного заказа: К = 0,25 тыс. руб.

Тогда оптимальный размер завозимой партии составит:

Очевидно, что товар в течение месяца целесообразно завозить дважды:

20 тыс. руб. / 10 тыс. руб. = 2 раза.

В этом случае транспортно - заготовительные расходы и расходы по хранению:

С общ. = 0,1 Ч 10/2 + 0,25 Ч 20/10 = 1 тыс. руб.

Игнорирование полученных результатов приведет к завышенным расходам.

Ошибка в определении объема заказываемой партии на 20% в нашем случае увеличит месячные расходы предприятия на транспортировку и хранение на 2%. Это соизмеримо со ставкой депозитного вклада.

Другими словами, названная ошибка равносильна недопустимому поведению финансиста, продержавшего без движения деньги в течение месяца и не давшего им "поработать" на депозитном вкладе".

Точка возобновления заказа определяется по формуле:

Тз = Рз х Тц + Зр

где, Рз - средний расход товара в расчете на единицу продолжительности заказа;

Тц - продолжительность цикла заказа (временной интервал между размещением заказа и его получением);

Зр - размер резервного (гарантийного) запаса.

Рассмотрим пример расчета точки возобновления заказа.

Предприятие закупает у поставщика хлопчатобумажную ткань. Годовой объем спроса ткани составляет 8 200 м. Принимаем, что годовой спрос равен объему закупок. На предприятии ткань расходуется равномерно, и требуется резервный запас ткани, равный 150 м. (Примем в расчете, что в году 50 недель).

Средний расход ткани на единицу продолжительности заказа составит:

Рз = 8 200 м. / 50 недель = 164 м.

Точка возобновления заказа будет равна:

Тз = 164 м. Х 1 нед. + 150 м. = 314 м.

Это означает, что когда уровень запаса ткани на складе достигает 314 м., то следует сделать очередной заказ поставщику.

Стоит отметить, что у многих предприятий есть доступная и очень важная информация, которая может быть использована при контроле ТМЗ. Группировки материальных затрат должны проводиться для всех видов ТМЗ в целях выявления среди них наиболее значимых.

В результате ранжирования по стоимости отдельных видов сырья и материалов среди них может быть выделена конкретная группа, контроль за состоянием которой имеет первоочередное значение для управления оборотными средствами предприятия. Для наиболее значимых и дорогостоящих видов сырья целесообразно определить наиболее рациональный размер заказа и задать величину резервного (страхового) запаса.

Необходимо сопоставить экономию, которую может получить предприятие за счет оптимального размера заказа, с дополнительными транспортными затратами, которые возникают при реализации этого предложения.

Например, ежедневная поставка сырья и материалов может потребовать содержания значительного парка грузовых автомашин. Транспортно-эксплуатационные издержки могут превысить экономию, которую дает оптимизация размеров запасов.

транспортировка размер заказ товар

При этом возможно создание консигнационного склада используемого сырья поблизости от предприятия.

В управлении запасами продукции на складе могут быть использованы такие же приемы, как и при управлении ТМЦ, в частности метод АВС.

При помощи представленных выше методик, а также на основе анализа запросов потребителей и производственных возможностей может быть определен наиболее рациональный график поступления готовой продукции на склад и размер страхового запаса.

Затраты на хранение, учет и другие расходы, связанные с обеспечением ритмичности поставки произведенной продукции, необходимо сопоставить с преимуществами, которые дает бесперебойное снабжение традиционных покупателей и выполнение периодических срочных заказов.

Запасы играют как положительную, так и отрицательную роль в деятельности логистической системы. Положительная роль заключается в том, что они обеспечивают непрерывность процессов производства и сбыта продукции, являясь своеобразным буфером, сглаживающим непредвиденные колебания спроса, нарушение сроков поставки ресурсов, повышают надежность логистического менеджмента .

Негативной стороной создания запасов является то, что в них иммобилизуются значительные финансовые средства, которые могли бы быть использованы предприятием на другие цели, например, инвестиции в новые технологии, исследование рынка, улучшение экономических показателей деятельности предприятия.

Кроме того, большие уровни запасов готовой продукции препятствуют улучшению ее качества, так как предприятие, прежде всего, заинтересовано в реализации уже имеющейся продукции до вложения инвестиций в повышении ее качества. Исходя из этого, возникает проблема обеспечения непрерывности логистических и технологических процессов при минимальном уровне затрат, связанных с формированием и управлением различными видами запасов в логистической системе.

Один из методов эффективного управления запасами - определение оптимальных партий поставок груза, который позволяет оптимизировать расходы на транспортировку, хранение груза, а также избежать избытка или недостатка груза на складе.

Оптимальный размер партии q определяется по критерию минимума затрат на транспортировку продукции и хранение запасов.

Величина суммарных затрат рассчитывается по формуле (3.1):

где n - количество партий, доставляемых за расчетный период

где - средняя величина запаса (в тоннах), которая определяется из предположения, что новая партия завозится после того, как предыдущая полностью израсходована.

В этом случае величина рассчитывается по следующей формуле:

Функция общих затрат С имеет минимум в точке, где ее первая производная по q равна нулю, т.е.

В качестве размеров годового объема потребления продукции принимаем данные, полученные в результате прогнозирования методом регрессионного анализа : тыс. т/год; тариф на перевозку одной партии у.е./т; расходы, связанные с хранением запаса у.е./т.

Подставив заданные значения, получим:

При этом общие затраты составят:

Решение данной задачи графическим способом заключается в построении графиков зависимости , и , предварительно выполнив необходимые расчеты по определению , и .

Определим значение , и при изменении q в пределах от 900 до 800 с шагом 1200. Результат расчетов занесем в таблицу 3.1.

Таблица 3.1.

Значения , и

Размер партии, q Затраты, у.е.
	6171,75	4937,4	4488,55	4114,5

	10171,75	9937,4	9988,55	10114,5

По данным таблицы 3.1 построены графики зависимости затрат (транспортных, складских и суммарных) от размера партии (рис. 3.1).

Рисунок 3.1 Зависимость затрат от размера партии

Анализ графиков на рисунке 3.1 показывает, что затраты на транспортировку уменьшаются с увеличением размера партии, что связано с уменьшением количества рейсов. Затраты, связанные с хранением, возрастают прямо пропорционально размеру партии.

График суммарных затрат имеет минимум при значении q приблизительно равном 993 т, которое и является оптимальным значением размера партии поставки. Соответствующие минимальные суммарные затраты составляют 9937 у.е.

Произведем расчет оптимального размера партии в условиях дефицита при величине расходов, связанных с дефицитом

В условиях дефицита значение , рассчитанное по формуле (3.8) корректируется на коэффициент k , учитывающий расходы, связанные с дефицитом.

Величина расходов, связанных с дефицитом;

принимаем

Подставив значения, получим:

Из этого следует, что в условиях возможного дефицита размер оптимальной партии поставки необходимо увеличить на 15%.